# [線性代數] 各種矩陣
這裡存放著各種矩陣的解釋及定義。

[TOC]

# 子矩陣 (Submatrix)
若 $A$ 矩陣刪除其中幾個raw或column，形成一個 $B$ 矩陣，則我們說 $B$ 矩陣是 $A$ 矩陣的**子矩陣**。

$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix}
\quad \text{is a submatrix of}\quad
B = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix}
$$

# 零矩陣 $O$ (Zero matrix)
若矩陣內元素**全部為零**，則我們說這個矩陣為**零矩陣**。
$$
O_{mn} =
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & o_{mn}
\end{bmatrix}
$$
零矩陣還有以下兩個特性：
* 任何矩陣**加上零矩陣**還是**原本的矩陣**
$$
A + O = A
$$
* 任何矩陣**乘上零矩陣**會變成**零矩陣**
$$
A \cdot O = O
$$

:::warning
:astonished: 若A、B矩陣**大小不同**，雖然乘上零矩陣都會變成O，不過這兩個矩陣**並不相等**，因為**大小不同**。
:::

# 單位矩陣 $I$ (Identity Macrix)
在**主對角線上全是 1** 且**其他位置皆為 0** 的矩陣稱為 **單位矩陣** 。
$$
I =
\begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix} \text{$or$}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} \text{$or$}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} \text{$or$}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
$$

<!-- 若 $A$ 是一個正方形矩陣，並且如果可以找到相同大小的矩陣 $B$ 使得$AB = BA = I$ ，則稱 $A$ 是可逆的（或非奇異的），而B稱為A的逆。 如果找不到這樣的矩陣B，則稱A是奇異的。 -->

# 反矩陣 $A^{-1}$ (Inverse Matrix)
若 $A$ 是一個 **正方形矩陣**，並且如果可以找到 **相同大小** 的矩陣 $B$ 使得$AB = BA = I$ ，則 $A$ 和 $B$ 互為反矩陣。
$$
A \cdot A^{-1} = I
$$

# 奇異矩陣
若找不到 $A$ 的反矩陣，則我們稱 $A$ 為 **奇異矩陣**。

# 轉移矩陣 (Stochatic Matrix)

# 增廣矩陣 (Augmented matrix)

一個線性方程組轉可以換成由等號左側的係數組成的**係數矩陣 (Coefficeint matrix)** 和右側的常數組成的**可變向量 (Variable vector)**，兩個合在一起就變成**增廣矩陣 (Augmented matrix)**
$$
\overbrace{
\left[
\begin{array}{c:c}
\underbrace{
\begin{matrix}
2 & 2 & 2 \\
-2 & 5 & 2 \\
8 & 2 & 5 \\
\end{matrix}}_\text{Coefficeint matrix}&
\underbrace{
\begin{matrix}
4 \\
1 \\
7 \\
\end{matrix}}_\text{Variable vector}
\end{array}
\right]}^\text{Augmented matrix}
$$
中間那條虛線通常可以省略不寫
$$
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & 4 \\
-2 & 5 & 2 & 1 \\
8 & 2 & 5 & 7 \\
\end{bmatrix}
$$

# 階梯型矩陣 (row echelon form)
如果滿足以下三個條件，則稱矩陣為階梯型矩陣：
* 每個 zero row 都位於最下方。
* leading entry 越在左方的 row 必須在陣列的越上方。
* leading entry 的下方必須是 0。

$$
\begin{bmatrix}
1 & * & * & * \\
0 & 1 & * & * \\
0 & 0 & 1 & * \\
\end{bmatrix}\text{$or$}
\begin{bmatrix}
1 & * & * & * \\
0 & 1 & * & * \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\text{$or$}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & * & * & * & * & *\\
0 & 0 & 1 & * & * & * & *\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & *\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
$$

# 簡化列階梯形矩陣 (reduced row echelon form)
如果滿足條件，則稱矩陣為簡化的行梯形形式
* 矩陣為階梯型形式。
* 每個 row 的 leading entry 必須是 1。
* leading entry 的上下必須是 0。

:::info
:nerd_face: **小幫手**：上面的條件是用我自己的話解釋的，如果看不懂我寫什麼，請看這裡：
:::spoiler 文言文版
### 階梯型矩陣
* 每個非零行都位於每個零行上方。
* 非零行的前導條目位於該列右側的一列中，其中包含任何先前行的前導條目。
* 如果一列包含某行的開頭條目，則該開頭條目之下的該列的所有條目均為0。

### 簡化列階梯形矩陣
* 矩陣為行梯形形式。
* 如果某列包含某個行的開頭條目，則該列的所有其他條目均為0。
* 每個非零行的開頭條目為1。
:::

# 對角矩陣
# 三角矩陣
# 對稱矩陣
$$ A^T = A $$

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