# 行列式 Determinants

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# 拉普拉斯展開 (Cofactor Expansion)

## 餘因子與子行列式

設 $A$ 為 $n$ 階方陣，且令 $M_{ij}$，為 $A$ 中除去第 $i$ 列及第 $j$ 行後的 $(n-1)\times(n-1)$ 子矩陣，則子矩陣 $M_i$ 的行列式 $\mid M_{ij} \mid$ 稱為元素 $a_{ij}$ 的 **子行列式** (minor)。
令$C =(-1)^{i+j}\times \mid M_{ij}\mid$，則 $C_{ij}$ 稱為 $a_{ij}$ 的 **餘因子** (cofactor)。

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}$$

$$M_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\7 & 9 \\
\end{bmatrix}$$

$$C_{12} = (-1)^{1+2} \mid M_{12}\mid = -\begin{bmatrix} 4 & 6 \\7 & 9 \\\end{bmatrix}=-6$$

## 行列式

根據 $j_{th}$ 展開

$$det (A) = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+ \cdots +a_{nj}C_{nj}$$

根據 $i_{th}$ 展開

$$det (A) = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+ \cdots +a_{in}C_{in}$$

### 範例

這題是根據 **第一行** 做拉普拉斯展開 ：

$$
\begin{aligned}
det (A) = \begin{vmatrix}
3 & 1 & 0 \\
-2 & -4 & 3 \\
5 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}
&=3\begin{vmatrix}
-4 & 3 \\
4 & -2 \\
\end{vmatrix}
-(-2)\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
4 & -2 \\
\end{vmatrix}
+5\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
-4 & 3 \\
\end{vmatrix} \\
&=3(-4)-(-2)(-2)+5(3) \\
&=-1
\end{aligned}
$$

## 三角矩陣行列式

若矩陣 $A$ 是三角矩陣，則 $dat(A)=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$ 。

$$\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}
&=a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & 0 & 0 \\
a_{32} & a_{33} & 0 \\
a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\\
&=a_{11}a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{33} & 0 \\
a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{44} \end{vmatrix}\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}
\end{aligned}$$

# row reduction

:::info
設 $A$ 為方形矩陣，若 $A$ 有 $0$ 行或 $0$ 列，則 $dat(A)=0$ 。
:::

:::info
設 $A$ 為方形矩陣，則 $dat(A)=dat(A^T)$ 。
:::

:::info
若 $A$ 其中一列為 $k$ 倍，則 $dat(B)=k\ dat(A)$ 。
:::

$$\begin{vmatrix}
k a_{11} & k a_{12} & k a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
=k
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$$

:::info
若 $A$ 其中兩列互換，則 $dat(B)=-dat(A)$ 。
:::

$$\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
=-
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$$

:::info
若將 $A$ 其中一列乘上 $k$ 倍並加到其他列，則 $dat(B)=dat(A)$ 。
:::

$$\begin{vmatrix}
a_{11}+ka_{21} & a_{12}+ka_{22} & a_{13}+ka_{23} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
$$

# 克萊姆法則 (Cramer’s Rule)

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