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# 線形代数(4): 階数
## 階数の定義
### 小行列式による定義
#### 定義4.1: 小行列式による階数の定義
行列$A$の$0$でない小行列式の最大次数を$A$の**階数（ランク）** と呼び、$\mathrm{rank}^{(\det)}~A$と表す。（つまり、正則な小行列の最大次数）

#### 定理4.1: 基本変形とランク
1. $\mathrm{rank}^{(\det)}~A$は、$A$の行基本変形で不変
2. $\mathrm{rank}^{(\det)}~A$は、$A$の列基本変形で不変

##### 系：　階数標準形と階数
階数標準形の単位行列の次数$r$は階数と等しい

### 列ベクトルによる定義

一般に、ベクトル$b_1,\cdots,b_k$に対して、$$c_1b_1+\cdots +c_kb_k~~~~(c_1,\cdots,c_k\in\mathbb{K})$$の形のベクトルを$b_1,\cdots,b_k$の**線型結合**と呼ぶ。
また、ベクトル$b_1,\cdots,b_k$に対して、$$c_1b_1+\cdots +c_kb_k = 0 ~~(c_1,\cdots,c_k\in\mathbb{K})\Rightarrow c_1,\cdots,c_k = 0$$が成り立つ時、$b_1,\cdots,b_k$は**線型独立**であるという。（そうでない時、**線形従属**であるという）

今後、$m\times n$型行列$A$を列ベクトルの集まりと見て、$A=[a_1,\cdots,a_n]$とかく。

#### 定義4.2: 列ベクトルによる階数の定義

行列の線型独立な列ベクトルの最大本数を$A$の**階数**（**ランク**）と呼び、$\mathrm{rank}^{(col)}~A$と表す。

#### 定理4.3: 基本変形と階数
1. $\mathrm{rank}^{(col)}~A$は、$A$の行基本変形で不変
2. $\mathrm{rank}^{(col)}~A$は、$A$の列基本変形で不変

##### 系：　階数標準形と階数
階数標準形の単位行列の次数$r$は階数と等しい

### 行ベクトルによる定義
以下、$m\times n$型行列$A$を行ベクトルの集まりと見て、
$$A=\begin{bmatrix}&\hat{a}_1^T&\\&\hat{a}_2^T&\\&\vdots&\\&\hat{a}_m^T&\\\end{bmatrix}$$とおく。

#### 定義4.3: 行ベクトルによる階数の定義

行列の線型独立な行ベクトルの最大本数を$A$の**階数**（**ランク**）と呼び、$\mathrm{rank}^{(row)}~A$と表す。

#### 定理4.5: 基本変形と階数
1. $\mathrm{rank}^{(row)}~A$は、$A$の行基本変形で不変
2. $\mathrm{rank}^{(row)}~A$は、$A$の列基本変形で不変

##### 系：　階数標準形と階数
階数標準形の単位行列の次数$r$は階数と等しい

### 定義の等価性
#### 定理4.7:
$$\mathrm{rank}^{(\det)}~A=\mathrm{rank}^{(col)}~A=\mathrm{rank}^{(row)}~A$$

- 全て階数標準形の$r$に等しいから。
- 正方行列の正則性とフルランクであることが同値であることもわかる。

#### 定義4.4, 4.5: 行列の階数
- 定理4.7から、全ての階数の定義は等価なので、その共通の値を行列$A$の**階数**と呼び、$\mathrm{rank}~A$と表す。
- $m\times n$型行列$A$の階数が$m$に等しいとき、$A$は**行フルランク**であるという。$A$の階数が$n$に等しいとき、$A$は**列フルランク**であるという。

## 階数標準形と既約階段形の一意性

#### 定理4.8: 任意の行列$A$の階数標準形は一意に定まる。
#### 定理4.9: 任意の行列$A$の既約階段形は一意に定まる。特に、そのパラメータ$r$は$\mathrm{rank}~A$に等しい。

## 階数の性質
### 基本的性質
#### 定理4.10-4.12: 階数の基本的性質1
1. $m\times n$型行列$A$に対して、$\mathrm{rank}~A\leq \min(m,n)$
2. $\mathrm{rank}~A = \mathrm{rank}~A^T = \mathrm{rank}~A^* = \mathrm{rank}~\bar{A}$
3. 行列$S,T$が正則ならば、$\mathrm{rank}~A = \mathrm{rank}~(SA) = \mathrm{rank}~(AT) = \mathrm{rank}~(SAT)$

#### 定理4.13-4.17: 階数の基本的性質2
1. $$\mathrm{rank}~A \leq \mathrm{rank}~[A|B] \leq \mathrm{rank}~A + \mathrm{rank}~B$$
2. $$\mathrm{rank}~A \leq \mathrm{rank}~\left[\frac{A}{B}\right] \leq \mathrm{rank}~A + \mathrm{rank}~B$$
3. $$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix} \geq \mathrm{rank}~A$$
4. $$\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix} = \mathrm{rank}~A + \mathrm{rank}~B$$
5. $$\mathrm{rank}~(AB) \leq \mathrm{rank}~A, \mathrm{rank}~B$$
6. $$\mathrm{rank}~(A+B) \leq \mathrm{rank}~A + \mathrm{rank}~B$$
7. $$\mathrm{rank}~(A^{\ast}A) = \mathrm{rank}~(A^{\ast}A) = \mathrm{rank}~A$$
8. $$\mathrm{rank}~(A\otimes B) = (\mathrm{rank}~A)\cdot(\mathrm{rank}~B)$$

### 劣モジュラ性
$A$を$m\times n$行列とする。
以下、行番号の集合$I={i_1,\cdots,i_k}$と、列番号の集合$J={j_1,\cdots,j_l}$に対応する$A$の小行列を$A[I,J]$と表す。ここで、$I=\{1,2,\cdots,m\}$の時の$\mathrm{rank}~A[I,J]$を$\rho(J)$と表し、**階段関数**と呼ぶ。

#### 定理4.18: 階段関数とマトロイド
階段関数$\rho$は以下の性質を持つ。
1. $0\leq \rho(J) \leq |J|$
2. $J_1 \subseteq J_2 \Rightarrow \rho(J_1)\leq\rho(J_2)$
3. $\rho(J_1)+\rho(J_2) \geq \rho(J_1\cup J_2) + \rho(J_1\cap J_2)$

この3.の形の不等式を**劣モジュラ不等式**と呼び、この不等式を満たすことを**劣モジュラ性**と呼ぶ。

#### 定理4.19: 小行列の階数の満たす不等式
小行列の階数$\mathrm{rank}~A[I,J]$は次の不等式を満たす。
$$\mathrm{rank}~A[I_1,J_1] + \mathrm{rank}~A[I_2,J_2] \geq \mathrm{rank}~A[I_1\cap I_2,J_1\cup J_2] + \mathrm{rank}~A[I_1\cup I_2,J_1\cap J_2]$$

#### 定理4.20: Sylvester, Frobenius 不等式
$A\in\mathbb{R}^{l\times m},B\in\mathbb{R}^{m\times n},C\in\mathbb{R}^{n\times k}$とする。この時、
1. **Sylvester不等式**：$$\mathrm{rank}~A + \mathrm{rank}~B \leq \mathrm{rank}~(AB) + m$$
2. **Frobenius不等式**：$$\mathrm{rank}~(AB) + \mathrm{rank}~(BC) \leq \mathrm{rank}~(ABC) + \mathrm{rank}~B$$

## 階数の工学的意味
### メカニズムの自由度
**メカニズム**であるとは、ある剛体からなる構造が形を変えて動けるということ。
ランクを確かめることで自由度がわかる。→形状を変えない自由度を引いて、メカニズムであるかどうかを確かめることができる。

### 制御システムの可制御性
線形時不変システムを、時刻$t$における状態ベクトル$x(t)$に関する微分方程式
$$\frac{dx}{dt}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$
によって記述する。ただし、$u(t)$は制御入力であり、この式を**状態方程式**と呼ぶ。

ここで、**可制御性**とは、任意の初期状態$x(0)$が与えられた時、制御入力$u(t)$をうまく選べば有限時間で状態を0にできるというもの。可制御性の必要十分条件は、
$$\mathrm{rank}~[B|AB|\cdots|A^{n-1}B]$$が行フルランクであることである。