# Julia 進階教學

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###### tags: `Numerical Methods`

在上一篇[Julia 基礎教學](https://hackmd.io/@yueswater/Julia_Basic)中，我們學習了最基礎的數學運算、設計函式以及安裝套件。而本篇文章將會針對 $\texttt{Julia}$ 中的型別、資料結構進行說明，並著重在迴圈與流程控制。小提醒，如果沒有看過上一篇文章的要記得去看唷！

## 型別(type)

所謂型別，可以把它想像成血型：不同的血型都有不同的抗原與抗體。一般而言，一個程式語言的型別大致上可以分為以下幾種：

- 整數(integer)
- 浮點數(float)
- 字元(character)
- 字串(string)
- 布林值(boolen)

如果我們好奇一個變數的型別是什麼，可以使用 `typeof()` 來檢查或加以確認。以下就將上述這些型別分門別類，一一介紹吧。

### 整數與浮點數

數學可以說是程式語言最好的夥伴，無論我們的目的是什麼，到頭來還是要與數字打交道。舉例來說，要寫一個迴圈總要告訴系統我們要從什麼數字開始、什麼數字結束；又或者我們想要進行索引，那麼應該用 $1$ 進行索引呢？還是用 $1.0$？這些問題都圍繞著一個核心：我們該怎麼樣看數字。首先我們要知道，在現實世界理解的數字跟電腦所使用的數字有所不同。由於電腦是透過 $0$ 和 $1$ （即二進位）的方式儲存資料，因此儘管 $1$ 和 $1.0$ 在我們眼中看起來是一樣的，但在電腦的眼裡，**它們就是不一樣！**

#### 走一步是一步：整數

在電腦科學中，整數的概念指數學上整數的一個有限子集。[^1] 用簡單的話來說，每當我們要往前走，跨出一步那就真的是一步，意思是不會有「半步」這種情形發生。我們常見的 $1, 2, 3, 4, \cdots$ 都是整數。而在 $\texttt{Julia}$ 裡頭，整數的位元數、最大、最小值如下表所示：

| Type | 位元數 | 最小值 | 最大值 |
| :-: | :-: | :-: | :-: |
| `Int8`| 8 | $-2^7$ | $2^7 - 1$ |
| `Int16`| 16 | $-2^{15}$ | $2^{15} - 1$ |
| `Int32`| 32 | $-2^{31}$ | $2^{31} - 1$ |
| `Int64`| 64 | $-2^{63}$ | $2^{63} - 1$ |
| `Int128`| 128 | $-2^{127}$ | $2^{127} - 1$ |

那整數型別要怎麼用運用呢？我們來參考一下 111學年度學測數 B 單選第一題：

:::warning
試問有多少個整數 $x$ 滿足 $2|x| + x < 10$？
:::

其實這題的一個作法是：利用迴圈（之後的小節會提到，不用擔心）從某個整數型別的最小值一直跑到最大值，如果符合上述不等式就在計數器加 $1$。範例程式碼如下：[^2]

number = 0

for i in typemin(Int8) - 1:typemax(Int8)
    if 2 * abs(i) + i < 10
        number += 1
    end
end
print(number)

## 13

### 走一步有半步：浮點數

不同於整數型別，浮點指的是帶有小數的數值，比如 $1.2, 3.4, 5.6 \cdots$。根據 IEEE 754 的規定，浮點數的呈現方式如下：
$$
\texttt{Value} = \texttt{sign} \times \texttt {exponent} \times \texttt {fraction}
$$

也就是浮點數的實際值，等於符號位（sign bit）乘以指數偏移值(exponent bias)再乘以分數值(fraction)。[^3] 而根據不同的符號位、指數偏移值與分數值，則分為半精度、單精度與雙精度浮點數。不過這篇文章不是專門談論資料結構的，因此就不贅述它們之間的差別。而 $\texttt{Julia}$ 中浮點數的位元數、最大、最小值如下表所示：

| 型別 | 精度 | 位元數 |
|:-------:|:---------:|:--------------:|
| `Float16` | 半精度 | 16 |
| `Float32` | 單精度 | 32 |
| `Float64` | 雙精度 | 64 |

我們一樣參考學測考題，來看看如何應用浮點數吧！111學年度學測數 A 選填第十三題：

:::warning
有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡 動作。若每次「十連抽」需用 $1500$ 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 $2\%$，在第 十次為 $10\%$。今某生有代幣 $23000$ 枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為多少張？
:::

如果有學過統計學的讀者可以很快地看出，這題的隨機變數服從二項分配，因此可以寫成

$$
X \sim \operatorname{B}(n, p)
$$

而它的期望值是 $\mathbb{E}(X) = np$。因此十連抽中，前九次抽到金卡與第十次抽到金卡的期望值為：

$$
9\times 2\%+ 1\times 10\% = 0.28
$$

而 $23000$ 枚代幣可抽 $\lfloor {23000\over 1500}\rfloor = 15$次。[^4] 因此，程式碼可以寫成：

E_tenspins = 9 * 0.02 + 1 * 0.1 #「一次」十連抽的期望值
spin_times = Int64(round(23000 / 1500)) #共可抽幾次
answer = E_tenspins * spin_times 

## 4.2

### 字元與字串

在電腦語言中，[ASCII code](https://zh.wikipedia.org/wiki/ASCII)是最常見的文字編碼系統之一。如果我們輸入一個字元，系統就會回傳它的 ASCII code 與 Unicode：

c = 'x'

## 'x': ASCII/Unicode U+0078 (category Ll: Letter, lowercase)

而

### 布林值

## 資料結構(data structure)

## 迴圈(loop)

## 流程控制(control flow)

[^1]:參考自[維基百科──整數（電腦科學）](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0_(%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E7%A7%91%E5%AD%A6))

[^2]:但是我個人認為這種寫法不是最好的，畢竟我要老實承認，當初在寫這題的時候我是從 `Int128` 開始嘗試，但它的最大值與最小值都快到遙遠的地方了，程式碼大概運行了 $10$ 分鐘都沒有跑完，所以我一個個嘗試，從 `Int64` 一直換到 `Int8`，才算快了一點。如果有讀者有更好的想法，歡迎告訴我！我會很感激你的 :cry:

[^3]:參考自[維基百科──IEEE 754](https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754)

[^4]:參考自[朱氏幸福：111年大學學測-數學A詳解](https://chu246.blogspot.com/2022/01/111-a.html)