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# 應用統計 R 101-4

### 常態分布
1.f(x) 圖形對稱 (symmetric),鐘型 (bell-shaped) 形狀
2.變數值散佈在一定的範圍, 散佈範圍的長度大約是變數標準差的6倍.(全距6倍標準差.)
3.變數的IQR (InterQuartile Range) 大約是 1.35 倍的標準差.
4.以平均數為中心, 左右各一倍標準差, (μ−σ, μ+σ) 約佔68.3%.
在 (μ−2σ, μ+2σ) 範圍, 約佔95.4%.
在 (μ−3σ, μ+3σ) 範圍, 約佔99.7%. ← 回想經驗法則

### 常態分布與機率密度函數
連續型變數 X 服從常態分布, 記為 $X∼N(μ,σ^2)$
$$
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}\rm exp
\left[-\dfrac{1}{2}
\left(\dfrac{x-μ}{σ}
\right)^2
\right]\\
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)} \,{\rm d}x=μ\\
V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}{(x-μ)^2f(x)}\,{\rm d}x=σ^2
$$
#### 例子
據估計, 80% 的 18 歲女性的體重在 103.5 到 144.5 磅之間. 假設體重分佈可以透過常態曲線建模, 並且 103.5 和 144.5 與平均體重 μ 等距, 計算 σ.

### 標準常態分布機率密度函數與累積分配函數曲線
任何 $X∼N(μ,σ^2)$ 可以透過
$$
\dfrac{X-μ}{σ}=Z
$$
轉換成標準常態分布. 且注意 E(Z)=0, V(Z)=1.
### 以常態分布近似二項分佈
1.假設柏努力母體 $Y∼\rm Ber(p)$, 則 $E(Y)=p, V(Y)=p(1−p)=pq$
2.從柏努力母體 $\rm Ber(p)$ 抽出一組隨機樣本, 大小為 n. 以 X 表示試驗中成功的次數
$$
X_i∼\rm Ber(p),i=1,2,...,n,則X=X_1+X_2+...+X_n ∼Bin(n,p)\\
因為是柏努力母體, 樣本平均數\ \bar X\ 實為樣本比例\ \hat p\\
\hat p=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}\\
當 n 夠大時, n 次試驗中成功的次數\ \bar X\ 或樣本比例\ \hat p的抽樣分配\\
Z=\dfrac{\sum X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{\hat p-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}\\
知道\ \hat p或成功次數 X 的抽樣分配可將二項分佈近似常態分布
$$
### 指數分佈
它通常用於對事件之間經過的時間進行模型建立
連續隨機變量 X 具有參數為 λ 的指數分佈 $X∼Exp(λ)$. 機率密度函數為
$$
f_X(x)=
\begin{cases}
λe^{-λx}&, x>0\\\
0&, \ \rm otherwise\\
\end{cases}\\
E(X)=\int_{0}^{\infty}{xλe^{-λx}}\rm {d}x=\dfrac{1}{λ}\\
E(X^2)=\int_{0}^{\infty}{x^2λe^{-λx}}\rm {d}x=\dfrac{2}{λ^2}\\
V(X)=Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac{2}{λ^2}-\dfrac{1}{λ^2}=\dfrac{1}{λ^2}
$$
指數分佈 X 是無記憶的隨機變數:
$P(X>x+a|X>a)=P(X>x),\ \rm for\ a,x≥0.$
$$
\begin{split}
P(X>x+a\mid X>a)&=\dfrac{P(X>x+a,X>a)}{P(X>a)}\\
&=\dfrac{P(X>x+a)}{P(X>a)}\\
&=\dfrac{1-F_X(x+a)}{1-F_X(a)}\\
&=\cfrac{e^{-λ(x+a)}}{e^{-λa}}\\
&=e^{-λx}=P(X>a)\\
\end{split}
$$
### Poisson 分配與指數分配
事件 {T>t} 代表稀有事件第一次發生的時間大於 t. 即, t 之前都沒事件發生.
卜瓦松隨機變數 X (設發生率λ) 代表在 (0,t] 事件發生的次數
$$
(T>t)=P(X=0)=e^{-λt}
\\P(T≤t)=1−P(T>t)=1−e^{-λt} ← 指數分布
$$
$$
P(X=x)=\dfrac{e^{-λ}λ^x}{x!}
\\其中λ為\dfrac{發生事件的次數}{時間}*時間周期
\\x為時間周期中發生次數
$$
#### 例子
假設學生到當地的酒吧的平均速度服從 根據泊松過程以每小時 30 個學生. 則門口保鏢需檢查學生證件. 則門口保鏢(檢查完一個學生後) 必須等待超過 3 分鐘才有下一個學生進來的機率是多少？