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# 應用統計 R 101-7
### 檢定的架構
統計假設由虛無、對立假設組成:

**虛無假設 $H_0$(null hypothesis)**
**對立假設 $H_a$(alternative hypothesis):「虛無假設」相反的陳述**
虛無假設和對立假設為互斥 (mutually exclusive) 證據推論後只能取其一
### 檢定的想法
1.計畫一個抽樣的程序以取得樣本與資訊
2.再決定拒絕(或不拒絕)虛無假設, $H_0$. 基本上我們假設 $H_0$ 是真的, 除非證據偏向 $H_a$.
3.建立準則, 標示是否已達統計上的顯著性. 告訴何時拒絕或不拒絕虛無假設 $H_0$
4.接下來透過實驗取得樣本去推論: 是否拒絕或不拒絕虛無假設.
### 統計的顯著性
因此, 為解決信心程度衡量上的問題, 需用檢定統計量的抽樣 分配來做必要的判定.
### 單母體相關的抽樣分配
### p-值
1.比(樣本)檢定統計量更不利於虛無假設的機率
2.p-值越小, 檢定統計量越是偏離虛無假設 $H_0$.
3.p-值越小, 代表我們「拒絕」虛無假設 $H_0$的信心(強度)越大.
4.**雙尾檢定的話 p-value*2**
#### 例子
1.從樣本,

$n=180$, 大樣本, $\bar X$ = 77.3639, 樣本變異數 $s = 10.3071.$
計算檢定統計量
$$
t^∗=\dfrac{77.3639−75}{10.3071/\sqrt{180}}=3.07701
$$
當顯著水準 $α=0.05$, $t_{0.05,179}=1.6534$
因 $t^∗=3.077>1.653=t_{(0.05,179)}$, 拒絕虛無假設 H0:μ≤75. i.e., 在顯著水準 $α=0.05$ 下, 證據顯示有信心以為 μ 比 75 大.
從另一角度, 手上的資料 (樣本平均數 $\bar X$ 或檢定統計量 $t^∗$) 和虛無假設 H0:μ≤75 偏離有多大?

(a)若 $\bar X$ = 77.3639, 樣本變異數 $s = 10.3071$. 且顯著水準 $α=0.05$. 檢定腰圍平均水準μ,
$$
H_0:μ=75.
$$
(b)若 $\bar X$ = 76.6, 樣本變異數 $s = 10.3071$. 且顯著水準 $α=0.05$. 檢定腰圍平均水準μ,
$$
H_0:μ\leq75.
$$

(c\)若 $\bar X$ = 76.6, 樣本變異數 $s = 10.3071$. 且顯著水準 $α=0.01$. 檢定腰圍平均水準μ,
$$
H_0:μ\leq75.
$$
2.檢定一宣稱服用 A 品牌減肥藥物10個月體重將減少10公斤. 今有49人参與實驗, 得實驗資料平均減少12.5公斤, 標準差7公斤.
(a)在顯著水準 α = 2% 下, 做雙尾檢定.
(b)計算檢定的 p 值?
$$
2*P(t_{(48)}>2.5)=0.0124
$$
3.假設製造裝填藥物機器的廠商宣稱: 他所生產的某藥物自動裝填器平均裝填的重量(μ)為8毫克. 假設其分配重量為標準差為0.2毫克的常態分配. 今隨機抽查一組樣本 (n = 16), 計算樣本平均重量是8.1毫克。試以顯著水準 α= 0.01、0.05,
檢定統計假設 $H0:μ=0.8$ 對 $H_a:μ≠8$.
4.臺中科技大學過去女性新生的平均高度為162.5公分. 當有一組來自女性新生隨機樣本大小為50人, 平均高度為165.2公分及標準差7公分,
是否有理由相信平均高度已經改變？設顯著水準為0.02.
承上題, 試以 p 值方法寫下檢定結論.
5.假設某大批貨物瑕疵品比例一般不應該超過產品的15%，買主松田想要檢定瑕疵品的比例是否超過該限制。松田從100件產品的隨機樣本中，發現19件瑕疵品。是否有理由相信瑕疵品的比例超過該限制？假設顯著水準為 0.01。
6.給予一資料如下：159.9、187.2、180.1、158.1、225.5、163.7、217.3，且假設其來自常態分配。若樣本變異數為753.04，當顯著水準為 0.1，試欲檢定: $H_0:σ^2=750$ 對 $H_a:σ^2≠750$
### 形式錯誤
$$
α=P(型一錯誤)=P(拒絕 H0 ∣ H0 為真)\\
β=P(型二錯誤)=P(不拒絕 H0 ∣ H0 不為真)\\
=P(拒絕 H1 ∣ H1 為真)
$$
#### 例子
1.從一變異數為 144 的常態母體中抽取一組樣本大小為 36 的樣本, 欲檢定母體平均數 μ, $H_0:μ≥200$ 對 $H_a:μ＜200$, 今假設給予決策準則: 若 $\bar X$＜196, 則拒絕虛無假設.
求此檢定的 α 型(型一)錯誤.
若 μ=194, 求此檢定 β 型(型二)錯誤
2.
保險公司檢視其當前保單費率。當初費率設定時，平均理賠金額是1,800元，他們憂慮現在平均理賠金額比過去要高因而會導致公司利潤損失，今欲檢定
$$
H_0:μ≤1800
$$
假設有一決策準則為：若樣本平均數 $\bar X$>1,940，則拒絕虛無假設。假設隨機樣本大小為40且假設理賠金額的標準差為500元。
(a)此決策的型一錯誤為多少？ (0.0382)
(b)假設 μ=1,965元，則型二錯誤為多少？ (0.3759)
(c\)又 μ=1,980 元，則型二錯誤為多少？ (0.3064)
3.
考慮統計假設 $H_0:μ=8$ 對 $H_a:μ≠8$。 若控制型一錯誤 α=0.01，則犯下型二錯誤的機率為何? 假設資料來自常態母體 N(μ,0.22) 且 n=16。
4
檢定紅豆的比例
若檢定 $H_0:p=0.4$ 相對 $H_a:p=0.6$。 決策準則:當隨機抽樣的 5 顆豆子中，紅豆的個數(Y)是 5 顆時，拒絕虛無假設 H0:p=0.4。
(a)試計算此檢定的型一錯誤與型二錯誤。(0.01024, 0.92224)
(b)使用相同的決策準則，即「若為5顆紅豆，拒絕虛無假設」，檢定統計假設: H0:p=0.4 對 Ha:p≠0.4。試計算此檢定的型一錯誤與型二錯誤。(0.01024, $1−p^5_0$)