# Floating Point Basic
浮點數（Floating Point）和定點數（Fixed Point）是兩種不同的表示小數的方式。

定點數：
* 小數點位置不可移動： 在定點數中，小數點的位置是固定的，不可移動。 這意味著無論數值的大小，小數點總是在同一位置。
* 表示範圍受限： 定點數對錶示的範圍有一定限制，特別是在表達非常大或非常小的數值時，可能會有限制。

浮點數：
* 小數點位置可移動： 與定點數不同，浮點數的小數點是可以移動的。 這使得浮點數能夠更靈活地表示非常大或非常小的數值。
* 科學計數法表示： 浮點數通常使用科學計數法，其中包括符號位、尾數和指數。 尾數中的最高位元總是規範化為1，從而提高表示效率。

以 1234.56舉例
在這個例子中，整數部分是1234，小數部分是56。
* 定點數：
* 定點數：小數點的位置永遠在第4和第5位之間，無法改變。
* 浮點數的例子：
* 浮點數：1.23456 x 10^3

## 二進位科學記號表示法
floating point


小數點前面是一個1
只要符合這個規則的，就是 normalized 的 floating point

## single precision

前提: normalized過的floating point


* 使用32位元（4位元組）來表示。
* 具體格式為：1位元符號位元 + 8位元指數 + 23位元尾數。
* 範例：假設我們要表示十進制的數 6.75，其二進位表示為 110.11。 在單精度浮點表示中，可以規範為 1.1011 x 2^2。 這個數的單精度表示將包括符號位、指數和尾數的二進位表示。

Sign Bit | Exponent（8位） | Fraction （23位）
---------------------------------------
0 | 10000001 | 10110000000000000000000

## Double Precision

* 使用64位元（8位元組）來表示。
* 具體格式為：1位元符號位元 + 11位元指數 + 52位元尾數。
* 例：同樣考慮十進制的數 6.75，其雙精確度浮點表示為 1.1011 x 2^2。 這個數的雙精度表示將包括符號位、指數和尾數的更長二進位表示。

Sign Bit | Exponent（11位） | Fraction（52位）
-------------------------------------------
0 | 10000000001 | 1011000000000000000000000000000000000000000000000000

## IEEE 754
IEEE 754是一個由IEEE制定的標準，用於定義浮點數的二進制表示、算術運算規則、捨入規則和異常處理等方面的規範。
* 數據格式：
* IEEE 754定義了三種常見的浮點數數據格式，分別是單精度（single precision）、雙精度（double precision）和擴展精度（extended precision）。
* 單精度使用32位表示，包括1位符號位、8位指數部分和23位尾數部分。
* 雙精度使用64位表示，包括1位符號位、11位指數部分和52位尾數部分。
* 符號位（Sign Bit）：
* 符號位表示數字的正負，0表示正數，1表示負數。
* 指數部分（Exponent）：
* 使用偏移表示法，其中有一個偏移值（bias）被加到實際指數值上，以便能夠表示正數和負數的指數。
* 單精度的偏移值為127，雙精度的偏移值為1023。
* 尾數部分（Significand or Mantissa）：
* 尾數部分用來表示數字的有效位數，其中對於規範化的浮點數，尾數的最高位隱含為1。
* 特殊值和異常處理：
* IEEE 754定義了一些特殊的值，如正無窮大、負無窮大、NaN（Not a Number）等，以處理在浮點運算中可能出現的異常情況。
* 四捨五入和舍入模式：
* 定義了不同的舍入模式，如向最近的偶數、向零、向正無窮和向負無窮等，以滿足不同的應用需求。