### 集合论作业

> **（第一题）** 设 $\alpha$ 是极限序数。
> 1. 证明：$\alpha$ 是 $\alpha$ 上的无界闭集。
> 2. 证明：任取 $\beta<\alpha$，集合 $\{\delta<\alpha:\delta>\beta\}$ 是 $\alpha$ 上的无界闭集。
> 3. 证明：若 $\alpha$ 是极限序数的极限，那么 $\alpha$ 内的极限序数构成一个无界闭集。
> 4. 证明：若 $\mathrm{cf}(\alpha)>\omega$，且 $X$ 在 $\alpha$ 中无界，则 $\{\gamma\in X:\gamma<\alpha\wedge\gamma\text{ 是极限点。}\}$ 是一个无界闭集。

**证明**
1. 按照定义 $\sup\alpha=\alpha$，且对于序数 $\alpha$ 而言，任意的 $\gamma<\alpha$ 都有 $\gamma\in\alpha$。
2. 无界的部分是显然的。对于任意的极限序数 $\gamma<\alpha,X\cap\gamma=\{\delta<\alpha:\delta>\beta\wedge\delta<\gamma\}$，下面分两种情况讨论：若 $\gamma\leq\beta$ 则 $X\cap\gamma=\emptyset$，那么我们也有 $\sup(X\cap\gamma)=\emptyset$ 不满足定义。下面考虑 $\gamma>\beta$ 的情况，则 $X\cap\gamma=\{\delta<\alpha:\beta<\delta<\gamma\}$，显然有 $\sup(X)\cap\gamma=\gamma$。
3. 无界性显然，下面考虑 $\alpha=\cup Y$ 其中 $Y$ 是所有小于 $\alpha$ 的极限序数的集合，于是 $Y\subset X$ 推出 $\cup Y\subset \cup X\subset\alpha$，于是有 $\cup Y=\cup X=\alpha$。因此对于 $\alpha$ 内的集合 $X=\{\beta<\alpha:\beta\text{ 是极限序数。}\}$，考虑 $\gamma\in\alpha$，显然 $\gamma\in X$ 成立。

> **（第二题）** 若 $\alpha$ 是极限序数，则存在一个函数 $f:\mathrm{cf}(\alpha)\to\alpha$ 使得 $\mathrm{range}(f)$ 是 $\alpha$ 的无界闭集。

**证明**

考虑一个严格递增的共尾映射，那么 $\mathrm{range}(f)$ 的无界性显然。下面考虑证明其闭性质。

考虑反证法，若不存在闭性质，那么可以找到一个极限序数 $\gamma<\alpha$ 满足对于 $\sup(\mathrm{range}(f)\cap\gamma)=\gamma$ 但是 $\gamma$ 本身不在 $\mathrm{range}(f)$ 内。那么 $\mathrm{range}(f)\cap\gamma$ 必然是无穷集合，否则我们在有限步数内达到了一个极限序数。下面考虑 $g\uparrow(\alpha\backslash\gamma)$，它保持了共尾性，同时 $\mathrm{domain}(g)<\mathrm{domain}(f)=\mathrm{cf}(\alpha)$导出了矛盾，因此 $\mathrm{range}(f)$ 必然具有闭性质。

因此我们证明了$\mathrm{range}(f)$ 是 $\alpha$ 的无界闭集。

> **（第三题）** 假设 $\alpha$ 是极限序数且 $\mathrm{cf}(\alpha)>\omega$：
> 1. 对任意的 $\gamma<\alpha$，如果 $D=\{X_\xi:\xi<\gamma\}$ 是非平稳集构成的族，那么 $\cup D$ 也是非平稳集。
> 2. 对于任意的不可数正则基数 $\kappa$，如果 $\langle X_\xi:\xi<\kappa\rangle$ 是非平稳集的序列，那么 $\nabla_{\xi<\kappa}X_\xi$ 仍然是平稳集。

**证明**

1. 考虑 $X_\xi\in D$ 都存在一个无界闭集 $C_\xi$ 满足 $X_\xi\cap C_\xi=\emptyset$，根据 $\mathsf{AC}$ 可以为每一个 $X_\xi\in D$ 选择一个无界闭集 $C_\xi$ 使得 $C_\xi\cap X_\xi=\emptyset$，我们知道 $C=\cap_{\xi<\gamma}C_\xi$ 仍然是无界闭集，于是：
$$
(\cup D)\cap C=\left(\bigcup_{\xi<\gamma}X_\xi\right)\cap C=\bigcup_{\xi<\gamma}(X_\xi\cap C)=\emptyset
$$
2. 考虑到 $I_{NS}$ 是 $F_{CB}$ 的对偶理想，而 $F_{CB}$ 关于对角线交封闭，因此根据对偶关系可知 $I_{NS}$ 也关于对角线交封闭。

>**（第四题）** 设 $Y=\{\xi\in X_\alpha:\xi>\alpha\}$，则 $\triangle_{\alpha<\kappa}X_\alpha=\triangle_{\alpha<\kappa}Y_\alpha$。

**证明**

考虑
$$
\begin{aligned}
\beta\in\Delta_{\alpha<\kappa}X_\alpha&\leftrightarrow \forall\alpha<\kappa,(\beta\in X_\alpha\vee \beta\leq\alpha)\\
&\leftrightarrow \forall\alpha<\kappa[(\beta\in X_\alpha\vee\beta\leq\alpha)\vee (\beta>\alpha\wedge\beta\leq\alpha)]\\
&\leftrightarrow \forall\alpha<\kappa((\beta\in X_\alpha\wedge\beta>\alpha)\vee\beta\leq\alpha)\\
&\leftrightarrow \forall\alpha<\kappa(\beta\in Y_\alpha\vee\beta\leq\alpha)
\end{aligned}
$$
即可。

>**（第五题）** 证明：$\triangle_{\alpha<\kappa}X_\alpha=\cap_{\alpha<\kappa}(X_\alpha\cup\{\xi:\xi\leq\alpha\})$。

**证明**

考虑 $\beta\in\triangle_{\alpha<\kappa}X_\alpha$ 等价于说明 $\beta<\kappa$ 且 $\beta\in\cap_{\alpha<\beta}X_\alpha$。再考虑 $\beta\in\cap_{\alpha<\kappa}(X_\kappa\cup\{\xi:\xi\leq\alpha\})$ 等价于 $\forall\alpha<\kappa(\beta\in X_\alpha\vee \beta\leq\alpha)$。

下面考虑这样的推理序列：
$$
\begin{aligned}
\forall\alpha<\kappa(\beta\in X_\alpha\vee\beta\leq\alpha)&\leftrightarrow(\beta<\kappa)\wedge[\forall\alpha<\kappa(\beta\in X_\alpha\vee\beta\leq\alpha)]\\
&\leftrightarrow (\beta<\kappa)\wedge(\forall\alpha<\beta,\beta\in X_\alpha)\\
&\leftrightarrow\beta<\kappa\wedge\beta\in\cap_{\alpha<\beta}X_\alpha.
\end{aligned}
$$
证闭。