# 7. 討論與說明

> 新北市立中和高級中學校訂必修閱讀與研究：**物理研究方法**課程講義
> 作者：王一哲

## 單元目標

1. 說明從實驗數據中得到的結果
2. 討論這些結果可能的成因
3. 對於這個主題的未來展望

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## 提出研究結果

分析實驗數據，提出研究結果。以第57屆全國科展物理科作品〈[折射率與干涉條紋關係之研究](https://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/57/pdf/051810.pdf)〉（作者為王俊翔、謝翔宇、許芳瑜，指導教師為王一哲、李昀臻）為例，縫距為 0.1 mm、容器中裝水的干涉條紋照的實驗照片如下

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://lh6.googleusercontent.com/lpqzYQNSaF1UwI83XibudBAPpOXSPiMbasuXgD4Gd_wMVZY3NsO8Ab2TSrQkyfq6OcE41ZlJgxn17xyhpLZjoxxSlj14Dw29oAjKYOif9oV_44aCKD38j2hVrvLlIa7XXLyNSRme">
<div style="text-align:center">縫距為 0.1 mm、容器中裝水的干涉條紋照片</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://lh6.googleusercontent.com/wqRtkhz_Y8Mfx5ZZAPWCBcybYYoMnh3Ntc7uxXMFmYQCnrzMyoL9_Xf5QkLzvt5NJVo17KaEjhH21ten_K0GOiZosw7U0A1T96sFL9ipsAICug_8-pEVHWtpGIJJdfKMeZaCmiMu">
<div style="text-align:center">縫距為 0.1 mm、容器中裝水的干涉條紋強度 - 位置關係圖</div>
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再由實驗數據繪製干涉條紋寬度 - 縫距倒數關係圖，其最接近直線斜率

$$m = \frac{\lambda_0 L}{n}$$

實驗值為 0.736，理論值為 0.735，誤差為 0.17%。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://lh5.googleusercontent.com/FHA-WtUQy4RD-wKeimG13iDoiyPo2Bqu4sFOxBlXMcaaL2D8E68tCodFIu7buKOU6WfGDBox7FvCwylqzqMQjfIBVoF7NtW0bvA55avLzAhaiBKNxJ9_uQ9w0oYNYWIdyDcxKeBj">
<div style="text-align:center">容器中裝水的干涉條紋寬度 - 縫距倒數關係圖</div>
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## 解釋研究結果

接下來要試著由理論分析解釋研究成果，以同一篇作品為例，由於實驗中測到的干涉條紋寬度

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{\lambda_0 L}{nd} $$

是由光在液體中的波長決定的，因此我們試著用計算雷射光由狹縫到屏幕之間的光徑及光程差。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://lh6.googleusercontent.com/Gjdl5h_bVESCAD04dytdtcefsQwdFtrtVPi7mAXCWGjSlXpmkTLGf2PYznS11ZsFlMNVzmK9JYlMqyNViW2r07gXyHrERhCyqPRap1A4wRsY01oiSn8vShCXPGwe7mQpPxSflx-k">
<div style="text-align:center">光徑圖</div>
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將半圓形容器的圓心設為原點O，兩個狹縫位置分別為$\mathrm{S_1} \left( -\frac{d}{2}, 0 \right)$、$\mathrm{S_2} \left( \frac{d}{2}, 0 \right)$。假設從狹縫$\mathrm{S_1}$出發的光打到半圓形容器壁上的A點$(x_1,y_1)$，經過折射後 到達屏幕上的P點，從狹縫S2出發的光打到半圓形容器壁上的B點$(x_2,y_2)$，經過折射後也到達屏幕上的P點，則等效光程差為

$$\delta = n(\overline{\mathrm{S_1 A}} - \overline{\mathrm{S_2 B}}) + (\overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{BP}})$$

由於A點位於圓周上，因此$y_1 = \sqrt{r^2 - x_1^2}$。由$\mathrm{\Delta O S_1 A}$及餘弦定理可得

$$\cos \theta_1 = \frac{\overline{\mathrm{S_1 A}}^2 + r^2 - \overline{\mathrm{O S_1}}^2}{2r \overline{\mathrm{S_1 A}}} ~~~~~ \sin \theta_1 = \sqrt{1 - \cos^2 \theta_1}$$

由折射定律可得

$$\sin \phi_1 = n \sin \theta_1$$

由$\mathrm{\Delta OAE}$可得

$$\sin \psi_1 = \frac{x_1}{r}$$

由$\mathrm{\Delta ACP}$可得

$$\tan (\psi_1 + \phi_1) = \frac{X-x_1}{L-y_1}$$
$$X = (L-y_1) \tan (\psi_1 + \phi_1) + x_1$$

由於B點位於圓周上，因此$y_2 = \sqrt{r^2 - x_2^2}$。由$\mathrm{\Delta O S_2 B}$及餘弦定理可得

$$\cos \theta_2 = \frac{\overline{\mathrm{S_2 B}}^2 + r^2 - \overline{\mathrm{O S_2}}^2}{2r \overline{\mathrm{S_2 B}}} ~~~~~ \sin \theta_2 = \sqrt{1 - \cos^2 \theta_2}$$

由折射定律可得

$$\sin \phi_2 = n \sin \theta_2$$

由$\mathrm{\Delta OBF}$可得

$$\sin \psi_2 = \frac{x_2}{r}$$

由$\mathrm{\Delta BDP}$可得

$$\tan (\psi_2 - \phi_2) = \frac{X-x_2}{L-y_2}$$
$$X = (L-y_2) \tan (\psi_2 - \phi_2) + x_2$$

最後再用 Python 寫程式計算干涉條紋寬度的理論值。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="60%" width="60%" src="https://lh4.googleusercontent.com/TgsF2uMDeGZbHng0L_tHRJRj6w_cxPbFaomK6Rc-RKvQGIBJYRnkBlBxTqQ8GOkcveVxGWySk-USL9tIuIvVoj-PGPzNt43MftSEPPuBeBXaOx4p1KR2Ppp_KWQb_Df1T21-9bev">
<div style="text-align:center">程式流程圖</div>
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## 提出研究結論

研究結論通常會比較簡短，建議採用條列式的寫法。再以同一篇作品為例，結論為：

一、若將透明半圓形容器放在雙狹縫片的前方，並將狹縫片放置於容器圓心處，則
（一）干涉條紋寬度與容器大小無關
（二）干涉條紋寬度與容器中液體的折射率成反比
（三）干涉條紋寬度雙狹縫縫距成反比
二、雖然空氣中的光徑較長，容器中的光徑較短，但光程差是由容器中的光徑決定。
三、試算表軟體在大量計算限制較多，很難精準地算出兩道光線要經過容器壁上何處才能打到屏幕上相同的位置。後來我們改用Python程式計算理論值，利用廻圈及判斷式可以很快速又精準地找到亮紋、暗紋的位置，大幅改善理論計算的精準度。
四、若在狹縫前方的容器改為長方形，長方形容器內液體的折射率幾乎不會影響干涉條紋的寬度，透過理論計算後我們發現，空氣中的光程差大約是容器內光程差的9倍，因此干涉條紋寬度主要是由空氣中的光程差決定。

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## 未來展望

我們通常會在結論的最後幾點說明關於這個題目的未來展望，可能的項目為

1. 如何改進研究的方法
2. 如何延伸這個研究主題
3. 研究結果可以解決什麼實際的需求

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