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# 107指考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2021/5/21

<br />

## 試題與詳解

### 單選題

1. 假設地球可視為密度均勻的孤立球體，比較以下甲、乙、丙三處的重力場強度，由大至小排列順序為下列何者？
甲：臺灣東岸海平面一處。　　乙：大氣層對流層頂。　　丙：福衛五號人造衛星軌道（地面上空高度720公里）。
(A) 丙乙甲　　　(B) 甲乙丙　　　\(C\) 乙丙甲　　　(D) 甲丙乙　　　(E) 乙甲丙

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設地球質量為 $M$、物體與地心的距離為 $R$，則此處的重力場強度
$$
g = \frac{GM}{R^2} \propto \frac{1}{R^2}
$$
甲位於地表，與地心的距離為地球半徑，約為 6400 km；乙離地表的高度約為 10 km，與地心的距離約為 6410 km；丙地心的距離約為 7120 km；因此答案為B。
<br />

2. 下列關於哈伯定律和宇宙膨脹的敘述，何者正確？
(A) 顏色越偏紅的星系離我們越遙遠
(B) 哈伯定律最早是由愛因斯坦所提出
\(C\) 地球到太陽的距離正以宇宙膨脹的速率隨時間而增加
(D) 根據哈伯定律，遙遠星系的遠離速率正比於它跟我們的距離
(E) 宇宙目前正在膨脹是由於觀察到我們的銀河系內各星座之間的距離隨時間而增加

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：宇宙學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，星系距離越遠、遠離速度較大、發出的光譜波長變長較多，紅移較明顯，不是星系顏色偏紅。

B錯，依照課本上的講法，哈伯定律最早是由埃德溫·哈伯 (Edwin Powell Hubble, Nov. 20, 1889 – Sep. 28, 1953) 於 1928 年提出，但如果各位同學上網搜尋資料，會發現另一位科學家維斯托·梅爾文·斯里弗 (Nov. 11, 1875 – Nov. 8, 1969) 更早發現遠方星系紅移的現象，但無論如何，哈伯定律不是由愛因斯坦 (Mar. 14, 1879 – Apr. 18, 1955) 提出的。

C錯，地球到太陽的距離不會受到宇宙膨脹的影響。

D對，退行速率 $v$、距離 $d$、哈伯常數 $H_0$ 的關係為 $v = H_0 d$。

E錯，星座只是天區的劃分方式，位於同一個星座的天體間距離可能很近、也可能很遠，無法確定是否會受到宇宙膨脹的影響。
<br />

3. 已知水的比熱約為 $4.19 ~\mathrm{kJ/(kg \cdot K)}$，冰的熔化熱約為 $335 ~\mathrm{kJ/kg}$。有一組學生欲測量金屬的比熱，經討論後決定先將冰與水放入一絕熱容器中混合。已知在 0°C 達成熱平衡時，水有 0.39 kg，而冰有 0.01 kg。此時將溫度為 82.0°C、質量為 0.20 kg 的金屬球放入，若整個系統再度達到熱平衡時的溫度為 2.0°C，且過程中的熱量散失可不計，則金屬球的比熱最接近多少 $\mathrm{kJ/(kg \cdot K)}$？
(A) 0.17　　　(B) 0.25　　　\(C\) 0.31　　　(D) 0.42　　　(E) 0.61

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
冰、水、金屬球三者達熱平衡的過程中 $\Delta H = 0$，因此
$$
0.01 \times 335 + (0.39 + 0.01) \times 4.19 \times (2 - 0) + 0.20 \times s \times (82 - 2) = 0 ~\Rightarrow~ s \approx 0.42 ~\mathrm{kJ/(kg \cdot K)}
$$
<br />

4. 將相同種類的理想氣體分別灌入兩個不同的密閉容器中，當氣體達到熱平衡後，下列關於兩容器內氣體性質的敘述，何者正確？
(A) 溫度較高者，壓力必定較大
(B) 體積較大者，壓力必定較小
\(C\) 壓力較大者，氣體分子的平均動能必定較大
(D) 莫耳數較大者，氣體分子的總動能必定較大
(E) 溫度較高者，氣體分子的方均根速率必定較大

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，由理想氣體方程式 $PV = nRT ~\Rightarrow~ P = \frac{nRT}{V}$，但是題目沒有說明兩個容器的體積、氣體莫耳數、溫度的關係，無法判斷壓力大小。

B錯，同上。

C錯，平均動能 $\overline E = \frac{3}{2} kT \propto T$，但是題目沒有說明兩個容器內氣體溫度的關係，無法判斷平均動能大小。

D錯，總動能 $E = \frac{3}{2} NkT = \frac{3}{2}RT = \frac{3}{2} PV$，但是題目沒有說明兩個容器的體積、氣體壓力、溫度的關係，無法判斷總動能大小。

E對，方均根速率 $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \propto \sqrt{T}$，溫度較高者，氣體分子的方均根速率必定較大。
<br />

5. 下列關於原子的敘述，何者最符合拉塞福模型或波耳模型的原始主張？
(A) 原子中有正電荷和負電荷
(B) 原子中的正電荷集中於原子核
\(C\) 原子質量的10 %集中於原子核
(D) 原子核主要是由質子和中子構成
(E) 氫原子的光譜為不連續，是因為光具有粒子的特性

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯，J.J. 湯木生 (Dec. 18, 1856 – Aug. 30, 1940) 於 1904 年提出的萄葡乾布可模型 (plum pudding model) 中已經假設原子中有正電荷和負電荷（電子）。

B對，這個觀念最早是由拉塞福提出的。

C錯，原子質量幾乎全部集中於原子核。

D錯，當時還不知道原子核由什麼東西組成。

E錯，波耳的氫原子模型以穩定態假設及能階躍遷假設，成功地解釋氫原子的光譜為不連續。
<br />

6. 在已知的37種碘的同位素中，只有碘-127是穩定的，其他都具有放射性，例如碘-138原子核可衰變成為氙原子核，並放出一未知粒子X及反微中子，其核反應式為：$\mathrm{{}_{53}^{138}I \rightarrow~ {}_{54}^{m}Xe + {}_q^p X + \bar \nu}$。已知 $\mathrm{{}_{53}^{138}I$ 的質量數為138，所帶基本電荷數為53，則 $m+p+q$ 等於下列何數？
(A) 136　　　(B) 137　　　\(C\) 138　　　(D) 139　　　(E) 140

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
由於此反應會放出反微中子，為 $\beta$ 衰變，反應前後電荷守恆，因此
$$
53 = 54 + q ~\Rightarrow~ q = -1
$$
因此 $X$ 為電子，$p = 0$。

由於反應前後質量數守恆，因此
$$
138 = m + 0 + 0 ~\Rightarrow~ m = 138
$$
$$
m + p + q = 138 + 0 + (-1) = 137
$$
<br />

7. 掃描顯微鏡可以用探針觀察微小尺度的現象與操控微小尺度的物體。若探針可感測及操控的最小尺度約為針尖粗細的 1.0%，則能感測單一原子的探針，其針尖粗細最大的尺度約為下列何者？
(A) 10 mm　　　(B) 10 μm　　　\(C\) 10 nm　　　(D) 10 pm　　　(E) 10 fm

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
原子直徑約為 $10^{-10} ~\mathrm{m}$，因此針尖粗細約為原子直徑的 100 倍 $10^{-8} ~\mathrm{m} = 10 ~\mathrm{nm}$
<br />

8. 一支均勻直尺的長度為 30 cm，若在直尺上距離直尺左端 25 cm 處放置一質量為 50 g 的小物體，則須於直尺上距離直尺左端 20 cm 處支撐直尺，方可使其維持水平狀態。該直尺的質量為多少g？
(A) 10　　　(B) 30　　　\(C\) 50　　　(D) 60　　　(E) 70

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜力學
<span style="color:blue">詳解</span>：
取距離直尺左端 20 cm 處為支點，直尺重心在支點左側，小物體位在支點右側，由合力矩為0可得
$$
50 \times (25 - 20) = m \times (20 - 15) ~\Rightarrow~ m = 50 ~\mathrm{g}
$$
<br />

9. 以每個電子的動能均為 $K$ 的低能量電子束，射向間距為 $d$ 的雙狹縫，然後在距離狹縫為 $L$ 之屏幕平面上，以探測器測出屏幕平面各位置電子數目的密度，在時 $L \ll d$，發現兩相鄰電子數目密度最小處的間隔為 $\Delta y$；若將電子的動能改為 $4K$，則兩相鄰密度最小處的間隔約為下列何者？
(A) $4\Delta y$　　　(B) $2\Delta y$　　　\(C\) $\Delta y$　　　(D) $\frac{1}{2}\Delta y$　　　(E) $\frac{1}{4}\Delta y$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理、物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
物質波波長 $\lambda$、動量 $p$、動能 $K$、質量 $m$、普朗克常數 $h$ 的關係
$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \propto \frac{1}{\sqrt K} ~\Rightarrow~ \frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{K}{4K}} = \frac{1}{2}
$$
雙狹縫干涉條紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} \propto \lambda ~\Rightarrow~ \frac{\Delta y'}{\Delta y} = \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{2}
$$
<br />

10. 照相機鏡頭透鏡的焦距和光圈直徑大小的比值稱為 $f$ 數（也稱為光圈數或焦比）。已知單位時間通過鏡頭的光能和光圈的面積成正比。某一數位照相機鏡頭透鏡的焦距固定為 50 mm，當 $f$ 數設定為2，可得最佳照片的正確曝光時間為 $\frac{1}{450}$ 秒，若將 $f$ 數設定改為6，則其最佳的曝光時間應為多少秒？
(A) 1/6　　　(B) 1/12　　　\(C\) 1/50　　　(D) 1/150　　　(E) 1/900

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
依據題目給的定義，焦比 $f$、照相機鏡頭透鏡的焦距 $F$、光圈直徑大小 $D$ 的關係為
$$
f = \frac{F}{D} ~\Rightarrow~ D \propto \frac{1}{f}
$$
由於單位時間內進光量與光圈面積成正比，若要達到相同的曝光量，則曝光時間與光圈面積成反比，因此
$$
\frac{t'}{t} = \frac{A}{A'} = \left( \frac{D}{D'} \right)^2 = \left( \frac{f'}{f} \right)^2 = 9 ~\Rightarrow~ t' = 9 \times \frac{1}{450} = \frac{1}{50} ~\mathrm{s}
$$
<br />

11. 已知音階上中央C的頻率為 262 Hz，每升高 $n$ 個八度音，聲音頻率就變為原來的 $2^n$ 倍。當聲速為 340 m/s 時，若欲用兩端開口的管子做成管風琴，在僅考慮基音頻率的情況下，其能彈奏的最高音為中央C升高兩個八度音，則最短管子的長度最接近多少 cm？
(A) 28　　　(B) 24　　　\(C\) 20　　　(D) 16　　　(E) 12

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
中央C升高兩個八度音頻率
$$
f = 262 \times 2^2 = 1048 ~\mathrm{Hz}
$$
聲波波長
$$
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{1048} \approx 0.32 ~\mathrm{m} = 32 ~\mathrm{cm}
$$
兩端開口的管子駐波基音兩端為波腹、中間有1個波節，管長
$$
L = \frac{\lambda}{2} = 16 ~\mathrm{cm}
$$
<br />

12. 電磁流量計可以量測導電流體的流量（單位時間流過的流體體積），常用來量測血液在血管中的流速。如圖1所示，它是由一個產生磁場的線圈，及用以量測電動勢的兩個電極所構成，可架設於管路外來量測液體流量。以 $V$ 代表流速，$B$ 代表電磁線圈產生的磁場，$D$ 代表管路內徑，若磁場 $B$ 的方向、流速 $V$ 的方向與量測感應電動勢兩極連線的方向三者相互垂直，則量測到的感應電動勢會和下列何式成正比？
(A) BD/V　　　(B) 1/VBD　　　\(C\) V/BD　　　(D) VB/D　　　(E) VBD

<img height="45%" width="45%" src="https://i.imgur.com/ejN7jOG.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設液體中帶電粒子電量為 $+q$，受到的磁力向右下方，於兩個電極之間形成電場 $E$，則應電動勢 $\varepsilon = ED$，若由磁力 = 靜電力可得
$$
qVB = q \cdot \frac{\varepsilon}{D} ~\Rightarrow~ \varepsilon = VBD
$$
<br />

13. 一金屬厚球殼的內、外半徑分別為 $R_1$ 與 $R_2$，中空球心處靜置一電量為 $q$ 的點電荷，如圖2所示。設庫侖常數為 $k$，則在金屬球殼內距球心為 $r$ 處（$R_1 < r < R_2$）的電場量值為下列何者？
(A) 0　　　(B) $\frac{kq}{r^2}$　　　\(C\) $\frac{kq}{r}$　　　(D) $\frac{4kq}{(R_1 + R_2)^2}$　　　(E) $\frac{2kq}{(R_1 + R_2)^2}$

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/vX4dZWa.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
導體內部電場量值為0。
<br />

14. 電鰻可利用體內組織構成的放電單元產生高電壓以驅動電流。圖3的電路是電鰻在水中掠食時放電組織產生高電壓的示意圖，其中每一放電單元產生的電動勢為 $\varepsilon$，其內電阻為 $r$，每一列串聯線路各含有 $N_1$ 個放電單元，全部共有 $N_2$ 列線路並聯在一起。電鰻放電組織與周遭的水與獵物串聯形成迴路，若周遭的水與獵物合計的電阻為 $R$，則此電鰻可對 $R$ 產生的最大電流為下列何者？
(A) $\frac{N_1 N_2 \varepsilon}{N_1 r + N_2 R}$　　　(B) $\frac{N_1 N_2 \varepsilon}{N_1 R + N_2 r}$　　　\(C\) $\frac{N_2 \varepsilon}{N_1 R + N_2 r}$　　　(D) $\frac{N_1 \varepsilon}{N_1 r + N_2 R}$　　　(E) $\frac{N_2 \varepsilon}{N_1 (r + R)}$

<img height="45%" width="45%" src="https://i.imgur.com/iq8aVOS.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：

**方法1**

$N_1$ 個放電單元串聯可以提供的電動勢為 $N_1 \varepsilon$、電阻值為 $N_1 r$，共有 $N_2$ 組並聯，等效電阻為 $\frac{N_1 r}{N_2}$，再與負載 $R$ 串聯，總電阻為
$$
R_{tot} = R + \frac{N_1 r}{N_2} = \frac{N_1 r + N_2 R}{N_2}
$$
電流
$$
I = \frac{N_1 \varepsilon}{R_{tot}} = \frac{N_1 N_2 \varepsilon}{N_1 r + N_2 R}
$$

**方法2**

假設 $N_1$ 個放電單元的端電壓為 $V_1$，電流量值為 $I_1$、方向向左，則
$$
V_1 = N_1 \varepsilon - N_1 I_1 r
$$
負戴 $R$ 的電壓為 $V$，電流量值為 $I = N_2 I_1$、方向向右，則
$$
V = IR = N_2 I_1 R
$$
由於 $V_1 = V$，因此
$$
N_1 \varepsilon - N_1 I_1 r = N_2 I_1 R \Rightarrow I_1 = \frac{N_1 \varepsilon}{N_1 r + N_2 R} \Rightarrow I = N_2 I_1 = \frac{N_1 N_2 \varepsilon}{N_1 r + N_2 R}
$$

<br />

15. 一上端為S極的圓柱型磁鐵棒在時間 $t = 0$ 時，自高處由靜止開始自由下落，此時磁鐵N極的高度為 $H$，如圖4所示。在時間 $t = t_0$ 時，磁鐵的N極恰好到達一個線圈中心軸上緣，此處的高度為 $h$，此時通過線圈流經電阻為 $R$ 的外接電線之應電流值為 $I_0$，如圖5所示。若線圈每單位長度的圈數為 $n$，且可忽略線圈的電阻，則下列有關應電流的敘述，何者正確？
(A) $I_0$ 的大小與 $H$ 成反比
(B) $I_0$ 的大小與 $n$ 成正比
\(C\) $I_0$ 的大小與 $h$ 成正比
(D) $I_0$ 的大小與磁鐵在時間 $t_0$ 時的速率無關
(E) 若掉落時磁鐵的上端為N極，則 $I_0$ 的大小與方向都不受影響

<img height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/qIFhSKi.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
若磁鐵在進到線圈之前為自由落下，落下 $H-h$ 時的速度為 $v$，則
$$
v^2 = 0^2 + 2g(H-h) ~\Rightarrow~ v = \sqrt{2g(H-h)}
$$
若 $v$ 越大，每一個線圈上的磁通量時變率越大，產生的應電動勢越大，因此ACD錯。

若每個線圈產生的應電動勢皆為 $\varepsilon$，則 $n$ 個線圈產生的應電動勢為 $n \varepsilon$，電流 $I_0 = \frac{n \varepsilon}{R}$，B對。

若掉落時磁鐵的上端為N極，線圈上外加磁場的磁通量變化方向與原來的狀況相反，產生的應電流 $I_0$ 方向相反，E錯。
<br />

16. 一物體在光滑水平面上作簡諧運動，當其位移為振幅一半時，速率為 $v$，則此物體通過位移為零之平衡點時的速率為下列何者？
(A) $2v$　　　(B) $\frac{2 \sqrt 3}{3} v$　　　\(C\) $v$　　　(D) $\frac{\sqrt 3}{2}v$　　　(E) $\frac{1}{2}v$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
當物體位移為振幅一半時，對應的參考圓位置與水平方向夾角為 $\theta$，則
$$
\cos \theta = \frac{1}{2} ~\Rightarrow~ \theta = 60^{\circ}
$$
假設物體通過平衡點時的速率為 $v_{max}$，則
$$
\sin 60^{\circ} = \frac{v}{v_{max}} ~\Rightarrow~ v_{max} = \frac{2}{\sqrt 3} v = \frac{2 \sqrt 3}{3} v
$$
<br />

17. 雲霄飛車是一種常見於主題樂園中的遊樂設施，其軌道通常有如圖6所示的迴圈。若考慮正圓的迴圈軌道，且軌道可視為在一鉛直面上，雲霄飛車的車廂在沒有動力驅動之下，沿著軌道內側繞行，且軌道只能提供向心力，摩擦阻力可忽略，重力加速度為 $g$，則當車廂可沿整個圓圈軌道繞行時，車廂在軌道最低點的加速度量值至少為何？
(A) $2g$　　　(B) $3g$　　　\(C\) $4g$　　　(D) $5g$　　　(E) $6g$

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/AnEC9Jh.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：能量、牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設雲霄飛車於軌道最高點時速率為 $v_0$，由重力當作向心力可得
$$
mg = m \cdot \frac{v_0^2}{R} ~\Rightarrow~ v_0^2 = gR
$$
假設軌道最低點高度重力位能為0，雲霄飛車於軌道最低點時速率為 $v_1$，由最高點到最低點的過程力學能守恆可得
$$
\frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 2R = \frac{1}{2}mv_1^2 + 0 ~\Rightarrow~ v_1^2 = 5gR
$$
雲霄飛車軌道最低點的加速度量值
$$
a_C = \frac{v_1^2}{R} = 5g
$$
<br />

18. 一個質量為8.0公斤的物體在距地面高度30公尺處由靜止發生爆炸，爆炸瞬間分裂為兩碎片，且同時沿鉛直方向飛離。在爆炸後2.0秒時，其中一碎片恰落地，而另一碎片尚離地面16公尺高。若空氣阻力與物體因爆炸而損失的質量均可不計，則爆炸後先落地的碎片之質量為多少公斤？（取重力加速度為10公尺/秒²）
(A) 7.0　　　(B) 6.0　　　\(C\) 5.0　　　(D) 4.0　　　(E) 3.0

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：動量
<span style="color:blue">詳解</span>：
爆炸後2.0秒時質心落下距離
$$
y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20 ~\mathrm{m}
$$
質心離地高度 $h = 30 - 20 = 10 ~\mathrm{m}$。假設先落地的碎片之質量為 $m$ 公斤，由質心位置、質量、距離的關係可得
$$
10 = \frac{m \times 0 + (8-m) \times 16}{8} ~\Rightarrow~ m = 3 ~\mathrm{kg}
$$
<br />

**第19-20題為題組**

如圖7所示，兩條長度固定為 $l_1$、$l_2$ 且質量可忽略不計的細繩，分別繫著質量為 $5m$ 和 $m$ 的質點，兩質點以相同的角頻率繞同一鉛直線水平等速圓周運動。已知重力加速度為 $g$，兩繩的張力分別為 $T_1$ 及 $T_2$，兩繩與鉛直線夾角的正弦值分別是 $1 / \sqrt 5$ 及 $2 / \sqrt 5$，回答下列第19-20題：

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/46UN789.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖7</div>
<br />

19. 張力 $T_2$ 為 $mg$ 的多少倍？
(A) $\sqrt 3$　　　(B) 2　　　\(C\) $\sqrt 5$　　　(D) $\sqrt 7$　　　(E) $3 \sqrt 5$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
若下方繩子與鉛直方向夾角為 $\theta_2$，由於 $\sin \theta_2 = \frac{2}{\sqrt 5}$，則 $\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt 5}$。由 $m$ 鉛直方向合力為0可得
$$
T_2 \cos \theta_2 = mg ~\Rightarrow~ T_2 = \sqrt{5} mg
$$
<br />

20. 兩細繩張力的比值 $T_1 / T_2$為何？
(A) 3　　　(B) 2　　　\(C\) $\frac{5}{6}$　　　(D) $\frac{6}{5}$　　　(E) $\frac{1}{3}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
若上方繩子與鉛直方向夾角為 $\theta_1$，由於 $\sin \theta_1 = \frac{1}{\sqrt 5}$，則 $\cos \theta_1 = \frac{2}{\sqrt 5}$。由 $5m$ 鉛直方向合力為0可得
$$
T_1 \cos \theta_1 = 5mg + T_2 \cos \theta_2 ~\Rightarrow~ \frac{2}{\sqrt 5} \cdot T_1 = 5mg + mg ~\Rightarrow~ T_1 = 3 \sqrt{5} mg
$$
$$
\frac{T_1}{T_2} = \frac{3 \sqrt{5} mg}{\sqrt{5} mg} = 3
$$
<br />

### 多選題

21. 有一固定靜止於水平桌面上的直角三角形木塊，其底角 $\beta > \alpha$，如圖8所示。質量同為 $m$ 之甲、乙小木塊，均可視為質點，分別置於該木塊互相垂直之兩邊相同高度處。若甲、乙與斜面間無摩擦力，且兩小木塊同時由靜止下滑，則下列有關木塊運動的敘述，哪些正確？
(A) 滑落過程中，甲的加速度量值小於乙的加速度量值
(B) 滑落過程中，二小木塊的加速度量值相同
\(C\) 滑落過程中，兩小木塊施加於三角形木塊之合力為零
(D) 二小木塊將同時抵達桌面
(E) 二小木塊抵達桌面時的速率相同

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/rMZDxUo.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
A對、B錯，滑落過程中，甲的加速度量值 $a_1 = g \sin \alpha$，乙的加速度量值 $a_2 = g \sin \beta$，由於 $\beta > \alpha$，因此 $a_2 > a_1$。

C錯，滑落過程中，甲對三角形木塊施力為垂直斜面往右下方，量值為 $N_1 = mg \cos \alpha$；乙對三角形木塊施力為垂直斜面往左下方，量值為 $N_2 = mg \cos \beta$；合力不為0。

D錯，假設木塊最高點離桌面高度為 $h$，則甲滑行距離為 $\frac{h}{\sin \alpha}$，可求滑行時間 $t_1$
$$
\frac{h}{\sin \alpha} = \frac{1}{2} g \sin \alpha t_1^2 ~\Rightarrow~ t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \alpha}}
$$
同理，乙滑滑行時間
$$
t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \beta}}
$$

E對，由木塊下滑過程力學能守恆，因此
$$
0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + 0 ~\Rightarrow~ v = \sqrt{2gh}
$$
<br />

22. 一木塊在水平桌面上平移滑動，因為摩擦力的作用，最後會停下來。此木塊的質量為 $m$，初速為 $v$，木塊與桌面的靜摩擦係數為 $\mu_s$、動摩擦係數為 $\mu_k$、重力加速度為 $g$，假設以上參數皆可變化，則改變哪些參數，會使木塊由開始平移運動到完全停下前所行經的距離產生變化？
(A) $m$　　　(B) $v$　　　\(C\) $\mu_s$　　　(D) $\mu_k$　　　(E) $g$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BDE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
水平桌面對木塊的正向力 $N = mg$、動摩擦力 $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$，產生與 $v$ 反方向的加速度，量值為
$$
a = \frac{f_k}{m} = \mu_k g
$$
若木塊由開始平移運動到完全停下前所行經的距離為 $s$，則
$$
0^2 = v^2 + 2 (-\mu_k g) s ~\Rightarrow~ s = \frac{v^2}{2 \mu_k g}
$$
<br />

23. 如圖9所示，甲、乙、丙、丁、戊等5道平行光線垂直入射一透明半球型玻璃體的底平面，其中甲光線恰好沿球半徑（虛線）的方向入射，此5道平行光線共平面，且將半球底平面的圓半徑均分為5等分。已知半球型玻璃體靜置於空氣中，且其折射率為1.8，則哪幾道光線在折射進入玻璃體後，第一次在球面與空氣界面處，會發生全反射？
(A) 甲　　　(B) 乙　　　\(C\) 丙　　　(D) 丁　　　(E) 戊

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/wU9gJSz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：DE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設臨界角為 $\theta_c$，由司乃耳定律可得
$$
1.8 \sin \theta_c = 1 ~\Rightarrow~ \sin \theta = \frac{5}{9}
$$
$\theta_c$ 的對邊為入射光與圓心之間的距離 $d$，則
$$
d = R \sin \theta_c = \frac{5}{9} R \approx 0.56 R
$$
因此丁、戊會發生全反射。
<br />

24. 耳膜因熱輻射會發出電磁波，耳溫槍可偵測其中強度最高、波長為 $\lambda_m$ 的波，並利用波長 $\lambda_m$ 與耳溫間的關聯來判定體溫。已知耳溫 308.1 K 時，測得的波長為 9404.5 nm，而耳溫 310.1 K 時測得的波長為 9343.9 nm，則下列敘述哪些正確？
(A) 耳溫槍所測得來自耳膜之電磁波主要在紅外光範圍
(B) 耳溫槍是利用波長 $\lambda_m$ 與絕對溫度成正比的關係來判定溫度
\(C\) 若溫度越高，則對應於 $\lambda_m$ 的電磁波頻率將越低
(D) 若耳溫槍測得的波長 $\lambda_m$ 為 9300 nm，則對應的耳溫為 300 K
(E) 若耳溫槍測得的波長 $\lambda_m$ 為 9353 nm，則被測者未達 38°C 的發燒溫度

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A對，紅外線波長約在 760 nm ~ 1 mm。

B錯，由題目所給的數據可知 $\lambda_m T \approx 2.898 \times 10^{-3} ~\mathrm{m \cdot K}$，兩者成反比。

C錯，若溫度越高，則對應於 $\lambda_m$ 越短、頻率越高。

D錯，$T = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{9300 \times 10^{-9}} \approx 311.61 ~\mathrm{K}$。

E對，$T = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{9353 \times 10^{-9}} \approx 309.85 ~\mathrm{K} = 36.7 ~\mathrm{{}^{\circ}C}$。
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### 非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。
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## 參考資料

1. [大考中心107指考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075625661497981164/08-107%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e5%ba%a6%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e7%a7%91_%e5%ae%9a%e7%a8%bf.pdf)
2. [大考中心107指考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075625660853012146/08-107%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)
3. [大考中心107指考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0j075625669774265191/06-107%e6%8c%87%e8%80%83%e7%89%a9%e7%90%86%e8%80%83%e7%a7%91%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf)

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###### tags:`Physics`