110指考物理科試題解析

作者：王一哲
日期：2020/8/2

試題與詳解

單選題

1. 關於目前所觀測到的宇宙， 下列敘述或推論何者正確？
   (A) 宇宙越遠處星體的遠離速率越慢
   (B) 某星系發出的光譜線有紅移現象，代表該星系正在靠近觀測者
   (C) 宇宙微波背景輻射自誕生至今，其溫度一直都是低於 5 K
   (D) 越近處的宇宙現象顯示的是宇宙演化越早期的樣貌
   (E) 宇宙微波背景輻射是目前已觀測到的所有電磁波訊號中，最古老的訊號

答案：E
層次：知識
難度：易
章節：宇宙學
詳解：
A 錯誤，宇宙越遠處星體的遠離速率越快。
B 錯誤，某星系發出的光譜線有紅移現象，代表該星系正在遠離觀測者。
C 錯誤，宇宙誔生早期，宇宙微波背景輻射對應的溫度遠高於 5 K。
D 錯誤，越遠處的宇宙現象顯示的是宇宙演化越早期的樣貌。
E 正確。

2. 假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速度
   $g$、水的密度
   $\rho$ 與水深
   $D$。若僅以上述三個物理量的因次來判斷波速
   $v$，則下列何者正確？
   (A)
   $v$ 正比於
   $gD$
   (B)
   $v$ 正比於
   $\rho gD$
   (C)
   $v$ 正比於
   $\sqrt{gD}$
   (D)
   $v$ 正比於
   $g\sqrt{\rho D}$
   (E)
   $v$ 正比於
   $\frac{1}{\sqrt{gD}}$

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：物理量的因次
詳解：
波速

$v$ 的因次為

${\mathrm{LT}}^{-1}$，重力加速度

$g$ 的因次為

${\mathrm{LT}}^{-2}$，水的密度

$\rho$ 的因次為

${\mathrm{ML}}^{-3}$，水深

$D$ 的因次為

$\mathrm{L}$，

$\sqrt{gD}$ 的因次為

${\mathrm{LT}}^{-1}$。

第3 - 4題為題組

假設棒球的旋轉與空氣阻力可被忽略，回答第3 - 4題有關棒球的問題。

3. 某職棒投手先以固定力將靜止的棒球沿直線帶動約 1.5 m 的長度後，投出 144 km/h 的快速直球。已知棒球的質量約為 150 g，則該投手施於球的固定力量值約為何？
   (A) 80 N　　　(B) 100 N　　　(C) 110 N　　　(D) 120 N　　　 (E) 130 N

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：功與能量
詳解：
先將球速單位換成 SI 制

$$144\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{144\times 1000}{3600}\mathrm{m}/\mathrm{s}=40\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

由功能定理可知

$$W=\mathrm{\Delta }K\Rightarrow F\times 1.5=\frac{1}{2}\times 0.15\times {40}^2\Rightarrow F=80\mathrm{N}$$

4. 棒球抵達本壘板上方時，在離地 1.0 m 的高度，被打擊者以與水平面夾角為
   $\theta$ (
   $\cos \theta =\frac{3}{5}$)、量值為 126 km/h 的速度反向擊出，該球在被擊出後 5.0 s 恰好飛越全壘打牆的上空，試問球飛越全壘打牆瞬間，離地高度為多少 m？（假設棒球場地面為水平，取重力加速度
   $g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$）
   (A) 4　　　(B) 8　　　(C) 10　　　(D) 12　　　(E) 16

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：斜向拋射
詳解：
先將球速單位換成 SI 制

$$126\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{126\times 1000}{3600}\mathrm{m}/\mathrm{s}=35\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

鉛直初速

$$v_y=v_0\sin \theta =35\times \frac{4}{5}=28\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

鉛直方向位移

$$y=v_{y}t+\frac{1}{2}a{t}^2=28\times 5.0+\frac{1}{2}\times (-10)\times {5.0}^2=15\mathrm{m}$$

離地高度要加上擊球時的高度，

$h=15+1=16\mathrm{m}$。

5. 甲、乙兩計時器原來置於地球表面計時，甲計時器以在鉛垂面作小角度左右擺動的單擺週期，作為計時基準；乙計時器利用彈簧讓重物在光滑水平面上振動，以其週期作為計時基準。現將兩計時器移至另一星球表面，該星球表面的重力加速度量值為地球表面的 4 倍，則下列有關甲計時器擺動週期
   $T_{\mathrm{甲}}$ 和乙計時器振動週期
   $T_{\mathrm{乙}}$ 的敘述何者正確？（忽略空氣阻力）
   (A)
   $T_{\mathrm{甲}}$、
   $T_{\mathrm{乙}}$均變為原來的4倍
   (B)
   $T_{\mathrm{甲}}$、
   $T_{\mathrm{乙}}$均變為原來的1/2
   (C)
   $T_{\mathrm{甲}}$變為原來的2倍，
   $T_{\mathrm{乙}}$不變
   (D)
   $T_{\mathrm{甲}}$變為原來的1/2，
   $T_{\mathrm{乙}}$不變
   (E)
   $T_{\mathrm{甲}}$、
   $T_{\mathrm{乙}}$均不變

答案：D
層次：理解
難度：易
章節：牛頓運動定律的應用
詳解：
單擺週期公式

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\propto \frac{1}{\sqrt{g}}$$

彈簧、重物系統簡諧運動週期公式

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

6. 圖1為起重機示意圖，起重機臂 PO 和水平線的夾角為 60°，且可繞 O 點自由轉動，其質量為 200 kg 且分布均勻，鋼索 PS 段和水平線的夾角為 30°，PSO 位於垂直面。起重機臂右端懸掛一質量為 160 kg 的重物，若此時處於平衡狀態，且整條鋼索質量可忽略不計，則鋼索上的張力是多少牛頓？（取重力加速度
   $g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$）
   (A) 1600　　　(B) 2600　　　(C) 3200　　　(D) 3600　　　(E) 5200

圖1

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：靜力平衡
詳解：
起重機臂受到本身的重力

$W=2000\mathrm{N}$ 向下，作用點於起重機臂中點；受到右端重物的拉力

$F=1600\mathrm{N}$ 向下，作用點於 P 點；受到鋼索的張力

$T$ 向左下，作用點於 P 點。假設起重機臂長度為

$L$，若以 O 點為轉軸，起重機臂所受合力矩為，因此

$$2000\times \frac{L}{2}\times \cos {60}^{\circ }+1600\times L\times \cos {60}^{\circ }=T\times L\times \sin {30}^{\circ }\Rightarrow T=2600\mathrm{N}$$

7. 有兩顆大小相同的小球，各以長度為
   $L$、質量可忽略不計的擺繩掛在天花板同一點，左邊小球的質量為
   $2m$，右邊小球的質量為
   $3m$。某生拉起兩小球至高度分別為
   $h_L$ 和
   $h_R$，將小球由靜止釋放，讓小球擺向中間，使兩小球恰在最低點時發生正向彈性碰撞，如圖2所示。碰撞後，若左邊的小球擺回到最高點的高度仍然為
   $h_L$，則
   $h_L:h_R$ 為何？
   (A) 9 : 4　　　(B) 3 : 3　　　(C) 1 : 1　　　(D) 2 : 3　　　(E) 4 : 9

圖2

答案：A
層次：應用
難度：難
章節：功與能量、碰撞
詳解：
假設最低點高度重力位能為0，小球於最低點速度量值為

$v$，落下高度為

$h$，小球落下過程力學能守恆

$$0+mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+0\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$$

因此左、右兩個小球於最低點撞前速度分別為

$v_1=\sqrt{2g{h}_L}$ 向右、

$v_2=\sqrt{2g{h}_R}$ 向左。假設向右為正，由一維彈性碰撞速度公式可得撞後速度

$$v_1^{\prime }=\frac{2m-3m}{2m+3m}{v}_1+\frac{2\times 3m}{2m+3m}(-v_2)=-\frac{1}{5}\sqrt{2g{h}_L}-\frac{6}{5}\sqrt{2g{h}_R}$$
由於撞後左側小球會反彈回高度為

$h_L$ 處，因此撞後速度

$$v_1^{\prime }=-\sqrt{2g{h}_L}=-\frac{1}{5}\sqrt{2g{h}_L}-\frac{6}{5}\sqrt{2g{h}_R}\Rightarrow \frac{h_L}{h_R}=\frac{9}{4}$$

8. 在聲速為 350 m/ s 的環境中，進行音叉與氣柱的共鳴實驗。從零開始，逐漸增加氣柱長度，並將測得共鳴時的氣柱長度，依時間的先後順序編號為1、2、3、4，四次測得之共鳴氣柱長度對編號作圖，如圖3所示。實驗所用的音叉頻率，最接近多少Hz？
   (A) 350　　　(B) 525　　　(C) 700　　　(D) 1050　　　(E) 2000

圖3

答案：D
層次：應用
難度：中
章節：聲波
詳解：
由圖中的1、4號點可知兩個共鳴點的距離約為 50 cm，由於相鄰兩個共鳴點之間的距離為半個聲波波長，因此

$$\frac{3}{2}\lambda =50\Rightarrow \lambda =\frac{100}{3}\mathrm{cm}=\frac{1}{3}\mathrm{m}$$

由聲速

$v$、頻率

$f$、波長

$\lambda$ 的關係

$$v=f\lambda \Rightarrow f=\frac{v}{\lambda }=350\times 3=1050\mathrm{Hz}$$

9. 圖4為電流天平的構造示意圖。當U型電路上的電流值為
   $I_1$、螺線管所載電流值為
   $I_2$ 、天平左端所掛的小重物質量為
   $m$ 時，天平恰成平衡。若將電流
   $I_1$ 變成
   $-4I_2$，同時
   $I_2$ 變成
   $-I_1/2$（負號表示電流方向與原來的方向相反），則此時可使天平平衡的小重物質量應為何？（忽略地磁造成的影響，
   $g$ 為重力加速度，
   $L$ 為U型電路寬度，
   $B$ 為螺線管所產生的磁場）
   (A)
   $m$　　　(B)
   $2m$　　　(C)
   $4m$　　　(D)
   $8m$　　　(E) 天平無法達到平衡

圖4

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：電流的磁效應
詳解：
原來的條件下，螺線管上的電流於管內產生的磁場量值

$$B={\mu }_{0}n{I}_2$$

電流天平所受磁力

$$F_B=mg=I_{1}LB={\mu }_{0}nL{I}_1{I}_2$$

改變電流後，由於螺線管上的電流方向、電流天平上的電流方向皆反向，因此電流天平所受磁力仍然往下，量值為

$$F_B^{\prime }={\mu }_{0}nL\times 4I_2\times \frac{I_1}{2}=2{\mu }_{0}nL{I}_1{I}_2=2mg$$

10. 氣泡室是裝滿液態氫的特殊容器，其內部具有均勻磁場。當帶電粒子穿過氣泡室時，沿著粒子軌跡會產生小氣泡，是一種能用來追蹤粒子動向的工具。圖5是不同的帶電粒子由左至右垂直射入氣泡室所產生的軌跡（磁場垂直進入紙面），分別以1、2、3編號標示，而帶電粒子因與氣泡室內的液態氫作用而損失能量，軌跡呈螺旋形，其中粒子1、2進行逆時針旋轉、粒子3則為順時針旋轉。下列敘述何者正確？（以
    ${\left|mv/q\right|}_i$ 表示編號
    $i$ 的粒子其動量除以電量的量值）
    (A) 編號1、2、3的粒子均帶正電，且
    ${\left|mv/q\right|}_3>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_1$
    (B) 編號1、2、3的粒子均帶負電，且
    ${\left|mv/q\right|}_1>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_3$
    (C) 編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電，且
    ${\left|mv/q\right|}_1>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_3$
    (D) 編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電，且
    ${\left|mv/q\right|}_3>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_1$
    (E) 編號1、2的粒子均帶負電，編號3的粒子帶正電，且
    ${\left|mv/q\right|}_3>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_1$

圖4

答案：D
層次：應用
難度：中
章節：電流的磁效應
詳解：
質量為

$m$、電量為

$q$、速度為

$v$ 的粒子，於強度為

$B$ 的磁場中運動時受到磁力

${\overrightarrow{F}}_B=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$。由粒子繞圈的方向可知編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電。由磁力作為向心力可得

$$qvB=m\cdot \frac{v^2}{r}\Rightarrow \frac{mv}{q}=Br\propto r$$
由圖中粒子繞圈的半徑大小可知

${\left|mv/q\right|}_3>{\left|mv/q\right|}_2>{\left|mv/q\right|}_1$。

11. 科學家常用X-射線繞射來測知晶體結構，若將波長為
    $\lambda$ 的X-射線改用電子束取代，並進行相同晶體的繞射實驗，以測得相同的繞射圖樣，則電子的能量為何？（
    $h$ 為普朗克常數，
    $m$ 為電子質量）
    (A)
    $\frac{h^2}{2m^2{\lambda }^2}$　　　(B)
    $\frac{h}{2m\lambda }$　　　(C)
    $\frac{h^2}{m\lambda }$　　　(D)
    $\frac{h^2}{m{\lambda }^2}$　　　(E)
    $\frac{h^2}{2m{\lambda }^2}$

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：近代物理
詳解：
電子的物質波波長

$\lambda$、動能

$K$、質量

$m$ 的關係

$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mK}}\Rightarrow K=\frac{h^2}{2m{\lambda }^2}$$

12. 某一LED 燈組，其光強度對波長的關係如圖6 所示，黃－紅光範圍的光強度比藍光範圍的光強度大很多。某生以此光源照射某一金屬，進行光電效應實驗，發現皆可產生光電子，如圖7所示。設可變直流電源的電位為
    $V$（集電極電位相對於發射極電位）、量測到的光電流為
    $I$，則下列何者為該實驗所測得的
    $I-V$ 關係圖？

答案：A
層次：理解
難度：易
章節：近代物理
詳解：
由於波長較長、能量較低的黃－紅光光子數量較多，波長較短、能量較高的藍光光子數量較少，而且幾乎沒有波長在 500 ~ 600 nm 之間的光子，因此在反向偏壓較大時光電流

$I$ 會突然減小到某一個值，直到反向偏壓加大到足以抵擋藍光光子產生的光電子時光電流

$I$ 才會再減小，因此答案為A。

13. 兩個點光源 S₁、S₂ 間的距離為 24 cm，使用焦距為 9 cm 的薄透鏡L，垂直放置於兩點光源S₁、S₂ 的連線上並調整位置，如圖8所示，使兩個點光源成像於同一位置，則兩點光源到透鏡的距離比為何？
    (A) 3 : 4　　　(B) 3 : 8　　　(C) 2 : 3　　　(D) 1 : 2　　　(E) 1 : 3

圖8

答案：E
層次：應用
難度：中
章節：幾何光學
詳解：
假設薄透鏡L比較靠近 S₁、兩者距離為

$d$，則L與 S₂ 距離為

$24-d$。若兩個光源成像於同一個位置，於薄透鏡L左側距離為

$q$ 處，則 S₁ 的像為正立放大虛像，S₂ 的像為倒立實像，由成像公式可得

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{(-q)}=\frac{1}{9}$$

$$\frac{1}{24-d}+\frac{1}{q}=\frac{1}{9}$$
將兩式相加可得

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{24-d}=\frac{2}{9}\Rightarrow d^2-24d+108=0\Rightarrow d=6\mathrm{or}18\mathrm{cm}$$
因此答案為

$6:18=1:3$。

第14 - 15題為題組

地震預警是利用地震在地球內部傳播的P波與S波的速度差，透過偵測首先到達的P波來判斷地震規模，在振動強烈的S波到達前的時間內發出預警，以利後續應變。回答第14 - 15 題。

14. 2021年2月7日發生芮氏規模6.1的地震，許多民眾手機收到多次國家級警報。該地震震源在臺灣東部外海，深度約為112 km。宜蘭市地震監測站（距震源直線距離約為141 km）測得地動加速度對時間的關係，如圖9所示，圖中第0秒為地震起始時間。
    若宜蘭市預警系統可在P波抵達後的7秒內就完成判斷並發出預警至各縣市，則對於距震源直線距離約 215 km 之苗栗市，可提供的應變時間約為幾秒？（假設P波與S波的波速固定，且都由震源直線傳播到地表上的各地點。）
    (A) 7　　　(B) 14　　　(C) 26　　　(D) 33　　　(E) 37

圖9

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：波動
詳解：
由圖中可以看出，約在地震發生後23秒時，P波傳到宜蘭市地震監測站，發出預警的時刻為發生地震後30秒時。

假設S波波速為

$v_S$，由圖中可以看出，約在地震發生後37秒時，S波傳到宜蘭市地震監測站，因此

$$v_S=\frac{141}{37}\approx 3.81\mathrm{km}/\mathrm{s}$$
則S波傳到距離為 215 km 的苗栗市所需時間為

$$t=\frac{215}{3.81}\approx 56\mathrm{s}$$
約在收到預警後第26秒時。

15. 當地震表面波在稍後到達某地區時，假設固定於地面的物體僅作水平方向的簡諧運動，其振幅為 0.20 cm，週期為 0.40 s，最大加速度量值為
    $a\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$。若固定於地面的水平書架上的書本不會因地震而滑動，則書本與書架板間的靜摩擦係數不能小於
    $\mu$。以下各組
    $(a,\mu )$ 數值，何者正確？（取重力加速度
    $g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$）
    (A) (0.25, 0.050)　　　(B) (0.50, 0.050)　　　(C) (0.50, 0.10)　　　(D) (1.0, 0.10)　　　(E) (1.5, 0.15)

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：牛頓運動定律的應用
詳解：
簡諧運動最大加速度

$$a=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}=\frac{4{\pi }^2\times 0.002}{{0.4}^2}=0.05{\pi }^2\approx 0.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$

由最大靜摩擦力提供加速度，因此

$$f_{s,max}=\mu mg=ma\Rightarrow \mu =\frac{a}{g}\approx 0.05$$

16. 由許多個處於基態的氫原子所組成的系統，吸收一束單一頻率的光後各自躍遷到主量子數為
    $n$ 的激發態，當這些處於激發態的氫原子回到基態時，可以測量到六條不同波長的光譜線，試問
    $n$ 為何？
    (A) 7　　　(B) 6　　　(C) 5　　　(D) 4　　　(E) 3

答案：D
層次：應用
難度：易
章節：近代物理
詳解：
可能的光譜線波長數量

$$C_2^n=\frac{n(n-1)}{2}=6\Rightarrow n=4\mathrm{or}-3$$
-3 不合，答案為 4。

17. 在水波槽實驗中，水波槽被分為左邊的深水區和右邊的淺水區， 兩區以線段 ab 為分界線，左端黑色長棒產生直線波向右傳遞，虛線表示其波前，箭頭表示波的行進方向，下列各圖何者正確？

答案：B
層次：理解
難度：易
章節：波動
詳解：
左側深水區波速較快、波長較長、與法線夾角較大，右側淺水區波速較慢、波長較短、與法線夾角較小，因此答案為B。

18. 臺東的臺灣國際熱氣球嘉年華是很受歡迎的休旅活動。要讓熱氣球升空，必須加熱氣球裡的空氣，使氣球體積變大，以增加空氣浮力（物體所受的空氣浮力等於物體在空氣中所排開同體積空氣的重量）。有一熱氣球乘載四人後的總質量為
    $6.0\times {10}^2\mathrm{kg}$（不含球內空氣）。當加熱其內空氣，使其體積膨脹至
    $3.0\times {10}^3{\mathrm{m}}^3$，即可升空，此時空氣浮力等於熱氣球載人後的總重量（含球內的空氣），則熱氣球內的空氣溫度是多少°C？（設當時外界氣溫為 22°C，空氣密度為
    $1.2\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$，氣球內、外的空氣都視為理想氣體，且加熱時球外空氣的溫度、壓力不變。）
    (A) 81　　　(B) 72　　　(C) 57　　　(D) 42　　　(E) 22

答案：A
層次：應用
難度：中
章節：熱學
詳解：
假設此時熱氣球內的熱空氣密度為

$D$，熱空氣與熱氣球加人的總質量等於熱氣球排開的空氣質量，因此

$$600+3000D=3000\times 1.2\Rightarrow D=1.0\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$$

由理想氣體方程式

$$PM=DRT\Rightarrow D\propto \frac{1}{T}$$

$$\frac{1.0}{1.2}=\frac{22+273}{T}\Rightarrow T=354\mathrm{K}=81{}^{\circ }\mathrm{C}$$

19. 在核電廠發生重大核安事故後，附近可檢測出放射性元素銫-137，銫-137自發衰變時，核子數減少至原來數目一半所需時間（ 半衰期）約為30年。已知每1公克銫-137的放射性活度約為
    $3.2\times {10}^{12}\mathrm{Bq}$（Bq 為放射性活度的單位，1 Bq = 每秒發生一次衰變；活度亦稱活性）；食品中放射性銫檢驗的容許量標準值為 100 Bq/kg。
    假設一尾 100 kg 的大型海魚在15年前體內的放射性物質只有
    $2.0\times {10}^{-8}$公克的放射性銫-137，現今對其殘留的銫-137進行檢驗，若銫-137在這期間未被代謝出體外，則其每公斤的放射性活度為食品檢驗容許量之標準值的幾倍？
    (A) 0.045　　　(B) 0.32　　　(C) 4.5　　　(D) 32　　　(E) 450

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：原子結構
詳解：
先計算目前海魚體內的銫-137質量

$$m=2.0\times {10}^{-8}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{15}{30}}\approx 1.4\times {10}^{-8}\mathrm{g}$$

每公斤海魚的銫-137放射性活度為

$$1.4\times {10}^{-8}\times \frac{1}{100}\times 3.2\times {10}^{12}=448\mathrm{Bq}/\mathrm{kg}$$

由於食品檢驗容許量之標準值為 100 Bq/kg，海魚的放射性活度約為標準值的4.5倍。

20. 悠遊卡系統利用電磁感應原理來辨識與傳遞資訊（即無線射頻辨識技術－RFID）。讀卡機產生變動磁場，讓悠遊卡內部迴路產生應電流，使內部晶片得以發送訊號，讀卡機就能讀取卡內的晶片資料（如圖10）。悠遊卡迴路中的應電動勢
    $\epsilon$ 和其每匝線圈中之磁通量時間變化率
    $\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}$ 的關係為
    $\epsilon =-QN\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}$，其中
    $N$ 為匝數，
    $Q$ 為悠遊卡迴路的訊號加強係數。若悠遊卡迴路的矩形線圈尺寸為
    $8.00\mathrm{cm}\times 5.00\mathrm{cm}$、
    $N=4$、
    $Q=40.0$，讀卡機產生的磁場垂直穿過悠遊卡線圈平面，且線圈中磁場的時間變化率
    $\frac{\mathrm{\Delta }B}{\mathrm{\Delta }t}=B_0\times 2\pi f\sin (2\pi ft)$，
    $B_0=5.00\times {10}^{-8}\mathrm{T}$，頻率
    $f=13.56\mathrm{MHz}$，則悠遊卡迴路線圈應電動勢的最大值約為何？
    (A) 0.680 V 　　　(B) 1.20 V　　　(C) 2.73 V　　　(D) 3.64 V　　　(E) 4.52 V

圖10

答案：C
層次：應用
難度：難
章節：電磁感應
詳解：
本題需要代入計算的數值較多，計算時需要特別注意單位，而且必須將

$\pi$ 乘開。

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{max}& =QN{\left(\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}\right)}_{max}\\ & =QNA{\left(\frac{\mathrm{\Delta }B}{\mathrm{\Delta }t}\right)}_{max}\\ & =QNA{B}_0\times 2\pi f\\ & =40.0\times 4\times 40\times {10}^{-4}\times 5.00\times {10}^{-8}\times 2\pi \times 13.56\times {10}^6\\ & \approx 2.73\mathrm{V}\end{array}$$

多重選擇題

21. 一個檢流計 G 的內部電阻為
    $1.0\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$ ，需要
    $10\mu \mathrm{A}$ 的電流，才能使其獲得最大讀數（即滿刻度偏轉）。一個安培計由該檢流計及一個並聯的電阻
    $R_1$ 所構成，如圖11所示，當通過安培計的電流為 10 A 時，會使檢流計讀數滿刻度。另以相同的檢流計及一個串聯的電阻
    $R_2$ 構成一個伏特計，如圖12所示，當伏特計兩端的電壓為 10 V 時，會使檢流計讀數滿刻度。下列敘述哪些正確？
    (A) 檢流計得到滿刻度偏轉時，跨接於檢流計的電位差值為 1.0 mV
    (B)
    $R_1$ 約為
    $1.0\mathrm{m}\mathrm{\Omega }$
    (C)
    $R_1$ 約為
    $10\mathrm{m}\mathrm{\Omega }$
    (D)
    $R_2$ 約為
    $1.0\mathrm{M}\mathrm{\Omega }$
    (E)
    $R_2$ 約為
    $1.0\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$

答案：BD
層次：應用
難度：中
章節：電流
詳解：
A錯誤

$$V=IR=10\mu \mathrm{A}\times 1.0\mathrm{k}\mathrm{\Omega }=10\times {10}^{-6}\times 1.0\times {10}^3\mathrm{V}=10\times {10}^{-3}\mathrm{V}=10\mathrm{mV}$$

B正確、C錯誤，由於檢流計與

$R_1$ 並聯，通過兩者的電流量值與電阻值成反比，而且通過檢流計的電流很小，通過

$R_1$ 的電流約為 10 A，因此

$$\frac{10\mu \mathrm{A}}{10\mathrm{A}}=\frac{R_1}{1.0\mathrm{k}\mathrm{\Omega }}\Rightarrow \frac{10\times {10}^{-6}}{10}=\frac{R_1}{1.0\times {10}^3}\Rightarrow R_1={10}^{-3}\mathrm{\Omega }=1\mathrm{m}\mathrm{\Omega }$$

D正確、E錯誤，由於檢流計與

$R_2$ 串聯，兩者的端電壓與電阻值成正比，而且檢流計的端電壓很小，

$R_2$ 的端電壓約為 10 V，因此

$$\frac{10\mathrm{V}}{10\mathrm{mV}}=\frac{R_2}{1.0\mathrm{k}\mathrm{\Omega }}\Rightarrow \frac{10}{10\times {10}^{-3}}=\frac{R_2}{1.0\times {10}^3}\Rightarrow R_2={10}^6\mathrm{\Omega }=1\mathrm{M}\mathrm{\Omega }$$

22. 質量為
    $m$ 的汽車在與水平面夾角為
    $\theta$ 的斜面跑道作半徑為
    $R$ 的圓周運動，其面對車頭直視時的示意圖如圖13所示。設重力加速度的量值為
    $g$，下列敘述哪些正確？
    (A) 若夾角
    $\theta =0$，無摩擦力則無法作圓周運動
    (B) 需摩擦力克服沿斜面的下滑力
    $mg\sin \theta$ 才可作圓周
    運動
    (C) 無摩擦力也可作圓周運動，此時斜面跑道對車的正向力為
    $mg\cos \theta$
    (D) 無摩擦力也可作圓周運動，此時速率
    $v=\sqrt{Rg\tan \theta }$
    (E) 沿斜面向下的摩擦力可增加作圓周運動的向心力

圖10

答案：ADE
層次：應用
難度：中
章節：牛頓運動定律
詳解：
A正確，車子受到向下的重力

$mg$、垂直跑道面向上方的正向力

$N$，如果沒有與跑道面平行摩擦力則無法做圓周運動。

B錯誤，若

$\theta \ne 0$，車子受到向下的重力

$mg$、垂直斜面向右上方的正向力

$N$，可以用正向力的水平分力作為向心力。

C錯誤，車子鉛直方向合力為0，因此

$$mg=N\cos \theta \Rightarrow N=\frac{mg}{\cos \theta }$$

D正確，車子用正向力的水平分力作為向心力，因此

$$N\sin \theta =m\cdot \frac{v^2}{R}\Rightarrow mg\tan \theta =m\cdot \frac{v^2}{R}\Rightarrow v=\sqrt{Rg\tan \theta }$$

E正確，如果有沿斜面向下的摩擦力，其水平分力也可以提供部分的向心力。

23. 在「狹縫干涉和繞射」的實驗中，雙狹縫至屏幕的距離為 2.00 m 。先以一未知波長的雷射光垂直入射一個狹縫間距為 100 μm 的雙狹縫做干涉實驗，測得屏幕上干涉圖樣之中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為 1.95 cm，接著利用單狹縫的繞射現象以測量單狹縫的縫寬時，僅將雙狹縫片改為單狹縫片而其餘實驗參數不變，測得單狹縫繞射圖樣之中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為 13.0 cm，則下列敘述哪些正確？
    (A) 雙狹縫干涉圖樣之中央亮帶的中央線到第三暗紋的距離為 2.60 cm
    (B) 雙狹縫干涉圖樣之中央亮帶寬度為 1.30 cm
    (C) 單狹縫繞射圖樣之中央亮帶寬度為 13.0 cm
    (D) 雷射光的波長為 450 nm
    (E) 單狹縫的縫寬為 20.0 μm

答案：BCE
層次：應用
難度：中
章節：物理光學
詳解：
A錯誤、B正確，假設雙狹縫干涉條紋寬度

$\mathrm{\Delta }y$，由於中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為

$$\frac{3}{2}\mathrm{\Delta }y=1.95\Rightarrow \mathrm{\Delta }y=1.30\mathrm{cm}$$
中央亮帶的中央線到第三暗紋的距離為

$$\frac{5}{2}\mathrm{\Delta }y=\frac{5}{2}\times 1.30=3.25\mathrm{cm}$$

C正確，假設單狹縫繞射圖樣之中央亮帶的寬度為

$2\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }$，由於中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為

$$2\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=13.0\Rightarrow \mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=6.5\mathrm{cm}$$

D錯誤，雙狹縫干涉條紋寬度

$$\mathrm{\Delta }y=\frac{\lambda L}{d}\Rightarrow 1.30\times {10}^{-2}=\frac{\lambda \times 2.00}{100\times {10}^{-6}}\Rightarrow \lambda =6.5\times {10}^{-7}\mathrm{m}=650\mathrm{nm}$$

E正確，單狹縫繞射條紋寬度

$$\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=\frac{\lambda L}{a}\Rightarrow 6.5\times {10}^{-2}=\frac{\lambda \times 2.00}{a}$$
將以上2式相除

$$\frac{1}{5}=\frac{a}{100\times {10}^{-6}}\Rightarrow a=20\times {10}^{-6}\mathrm{m}=20\mu \mathrm{m}$$

24. 在科學博覽會中，有一學生站在塑膠凳上，以手指接觸相對地面電壓為27萬伏特、半徑為 15 cm 的金屬球時，導致頭髮直豎，引發觀眾驚呼。已知金屬球表面的電場大於
    $3.0\times {10}^6\mathrm{V}/\mathrm{m}$ 時，即會造成空氣游離而放電。下列敘述哪些正確？（庫侖常數
    $k=9.0\times {10}^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}$）
    (A) 學生手指接觸高電壓金屬球後，頭髮因帶同性電荷而互斥所以直豎
    (B) 將懸掛在質輕細繩下的不帶電金屬小球移近高電壓金屬球時，金屬小球會立即被排斥開
    (C) 電壓固定為27萬伏特時，金屬球的半徑必須不小於 9.0 cm，才不至於發生放電現象
    (D) 高電壓金屬球在該生接觸它之前的電量約為
    $3.0\times {10}^{-4}\mathrm{C}$
    (E) 高電壓金屬球上電荷透過接地之導體，在 5.0 ms 內全部轉移到地面期間之平均電流約為 0.90 mA

答案：ACE
層次：應用
難度：中
章節：靜電學、電流
詳解：
A正確。

B錯誤，金屬小球會先因為靜電感應而被高電壓金屬球吸引，兩者接觸後帶同性電、互相排斥。

C正確，假設金屬球半徑為

$r$，若金屬球表面電場為

$3.0\times {10}^6\mathrm{V}/\mathrm{m}$ 時，由電場與電壓的關係

$$V=Er\Rightarrow r=\frac{27\times {10}^4}{3.0\times {10}^6}=9.0\times {10}^{-2}\mathrm{m}=9.0\mathrm{cm}$$

D錯誤，金屬球表面電壓

$$V=\frac{kQ}{R}\Rightarrow Q=\frac{27\times {10}^4\times 15.0\times {10}^{-2}}{9.0\times {10}^9}=4.5\times {10}^{-6}\mathrm{C}=4.5\mu \mathrm{C}$$

E正確，電流量值

$$I=\frac{Q}{t}=\frac{4.5\times {10}^{-6}}{5.0\times {10}^{-3}}=9\times {10}^{-4}\mathrm{A}=0.90\mathrm{mA}$$

非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。

參考資料

1. 大考中心110指考物理科試題
2. 大考中心110指考物理科選擇題參考答案
3. 大考中心110指考物理科非選擇題參考答案

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