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# 110指考物理科試題解析

> 作者：王一哲
> 日期：2020/8/2

<br />

## 試題與詳解

### 單選題

1. 關於目前所觀測到的宇宙， 下列敘述或推論何者正確？
(A) 宇宙越遠處星體的遠離速率越慢
(B) 某星系發出的光譜線有紅移現象，代表該星系正在靠近觀測者
\(C\) 宇宙微波背景輻射自誕生至今，其溫度一直都是低於 5 K
(D) 越近處的宇宙現象顯示的是宇宙演化越早期的樣貌
(E) 宇宙微波背景輻射是目前已觀測到的所有電磁波訊號中，最古老的訊號

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：宇宙學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯誤，宇宙越遠處星體的遠離速率越**快**。
B 錯誤，某星系發出的光譜線有紅移現象，代表該星系正在**遠離**觀測者。
C 錯誤，宇宙誔生早期，宇宙微波背景輻射對應的溫度**遠高於 5 K**。
D 錯誤，**越遠處**的宇宙現象顯示的是宇宙演化越早期的樣貌。
E 正確。
<br />

2. 假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速度 $g$、水的密度 $\rho$ 與水深 $D$。若僅以上述三個物理量的因次來判斷波速 $v$，則下列何者正確？
(A) $v$ 正比於 $gD$
(B) $v$ 正比於 $\rho gD$
\(C\) $v$ 正比於 $\sqrt{gD}$
(D) $v$ 正比於 $g \sqrt{\rho D}$
(E) $v$ 正比於 $\frac{1}{\sqrt{gD}}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理量的因次
<span style="color:blue">詳解</span>：
波速 $v$ 的因次為 $\mathrm{LT^{-1}}$，重力加速度 $g$ 的因次為 $\mathrm{LT^{-2}}$，水的密度 $\rho$ 的因次為 $\mathrm{ML^{-3}}$，水深 $D$ 的因次為 $\mathrm{L}$，$\sqrt{gD}$ 的因次為 $\mathrm{LT^{-1}}$。
<br />

**第3 - 4題為題組**

假設棒球的旋轉與空氣阻力可被忽略，回答第3 - 4題有關棒球的問題。

3. 某職棒投手先以固定力將靜止的棒球沿直線帶動約 1.5 m 的長度後，投出 144 km/h 的快速直球。已知棒球的質量約為 150 g，則該投手施於球的固定力量值約為何？
(A) 80 N　　　(B) 100 N　　　\(C\) 110 N　　　(D) 120 N　　　 (E) 130 N

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：功與能量
<span style="color:blue">詳解</span>：
先將球速單位換成 SI 制
$$
144 ~\mathrm{km/h} = \frac{144 \times 1000}{3600} ~\mathrm{m/s} = 40 ~\mathrm{m/s}
$$

由功能定理可知
$$
W = \Delta K ~\Rightarrow~ F \times 1.5 = \frac{1}{2} \times 0.15 \times 40^2 ~\Rightarrow~ F = 80 ~\mathrm{N}
$$
<br />

4. 棒球抵達本壘板上方時，在離地 1.0 m 的高度，被打擊者以與水平面夾角為 $\theta$ ( $\cos \theta = \frac{3}{5}$)、量值為 126 km/h 的速度反向擊出，該球在被擊出後 5.0 s 恰好飛越全壘打牆的上空，試問球飛越全壘打牆瞬間，離地高度為多少 m？（假設棒球場地面為水平，取重力加速度 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$）
(A) 4　　　(B) 8　　　\(C\) 10　　　(D) 12　　　(E) 16

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：斜向拋射
<span style="color:blue">詳解</span>：
先將球速單位換成 SI 制
$$
126 ~\mathrm{km/h} = \frac{126 \times 1000}{3600} ~\mathrm{m/s} = 35 ~\mathrm{m/s}
$$

鉛直初速
$$
v_y = v_0 \sin \theta = 35 \times \frac{4}{5} = 28 ~\mathrm{m/s}
$$

鉛直方向位移
$$
y = v_y t + \frac{1}{2} at^2 = 28 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times (-10) \times 5.0^2 = 15 ~\mathrm{m}
$$

離地高度要加上擊球時的高度，$h = 15 + 1 = 16 ~\mathrm{m}$。
<br />

5. 甲、乙兩計時器原來置於地球表面計時，甲計時器以在鉛垂面作小角度左右擺動的單擺週期，作為計時基準；乙計時器利用彈簧讓重物在光滑水平面上振動，以其週期作為計時基準。現將兩計時器移至另一星球表面，該星球表面的重力加速度量值為地球表面的 4 倍，則下列有關甲計時器擺動週期 $T_{甲}$ 和乙計時器振動週期 $T_{乙}$ 的敘述何者正確？（忽略空氣阻力）
(A) $T_{甲}$、$T_{乙}$均變為原來的4倍
(B) $T_{甲}$、$T_{乙}$均變為原來的1/2
\(C\) $T_{甲}$變為原來的2倍，$T_{乙}$不變
(D) $T_{甲}$變為原來的1/2，$T_{乙}$不變
(E) $T_{甲}$、$T_{乙}$均不變

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
單擺週期公式
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \propto \frac{1}{\sqrt g}
$$

彈簧、重物系統簡諧運動週期公式
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
$$
<br />

6. 圖1為起重機示意圖，起重機臂 PO 和水平線的夾角為 60°，且可繞 O 點自由轉動，其質量為 200 kg 且分布均勻，鋼索 PS 段和水平線的夾角為 30°，PSO 位於垂直面。起重機臂右端懸掛一質量為 160 kg 的重物，若此時處於平衡狀態，且整條鋼索質量可忽略不計，則鋼索上的張力是多少牛頓？（取重力加速度 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$）
(A) 1600　　　(B) 2600　　　\(C\) 3200　　　(D) 3600　　　(E) 5200

<img height="50%" width="50%" src="https://i.imgur.com/BjVfPM8.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜力平衡
<span style="color:blue">詳解</span>：
起重機臂受到本身的重力 $W = 2000 ~\mathrm{N}$ 向下，作用點於起重機臂中點；受到右端重物的拉力 $F = 1600 ~\mathrm{N}$ 向下，作用點於 P 點；受到鋼索的張力 $T$ 向左下，作用點於 P 點。假設起重機臂長度為 $L$，若以 O 點為轉軸，起重機臂所受合力矩為，因此
$$
2000 \times \frac{L}{2} \times \cos 60^{\circ} + 1600 \times L \times \cos 60^{\circ} = T \times L \times \sin 30^{\circ} ~\Rightarrow~ T = 2600 ~\mathrm{N}
$$
<br />

7. 有兩顆大小相同的小球，各以長度為 $L$、質量可忽略不計的擺繩掛在天花板同一點，左邊小球的質量為 $2m$，右邊小球的質量為 $3m$。某生拉起兩小球至高度分別為 $h_L$ 和 $h_R$，將小球由靜止釋放，讓小球擺向中間，使兩小球恰在最低點時發生正向彈性碰撞，如圖2所示。碰撞後，若左邊的小球擺回到最高點的高度仍然為 $h_L$，則 $h_L : h_R$ 為何？
(A) 9 : 4　　　(B) 3 : 3　　　\(C\) 1 : 1　　　(D) 2 : 3　　　(E) 4 : 9

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/e1z2JSm.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：功與能量、碰撞
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設最低點高度重力位能為0，小球於最低點速度量值為 $v$，落下高度為 $h$，小球落下過程力學能守恆
$$
0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + 0 ~\Rightarrow~ v = \sqrt{2gh}
$$

因此左、右兩個小球於最低點撞前速度分別為 $v_1 = \sqrt{2gh_L}$ 向右、$v_2 = \sqrt{2gh_R}$ 向左。假設向右為正，由一維彈性碰撞速度公式可得撞後速度
$$
v_1' = \frac{2m - 3m}{2m + 3m} v_1 + \frac{2 \times 3m}{2m + 3m} (-v_2) = -\frac{1}{5} \sqrt{2gh_L} - \frac{6}{5} \sqrt{2gh_R}
$$
由於撞後左側小球會反彈回高度為 $h_L$ 處，因此撞後速度
$$
v_1' = - \sqrt{2gh_L} = -\frac{1}{5} \sqrt{2gh_L} - \frac{6}{5} \sqrt{2gh_R} ~\Rightarrow~ \frac{h_L}{h_R} = \frac{9}{4}
$$
<br />

8. 在聲速為 350 m/ s 的環境中，進行音叉與氣柱的共鳴實驗。從零開始，逐漸增加氣柱長度，並將測得共鳴時的氣柱長度，依時間的先後順序編號為1、2、3、4，四次測得之共鳴氣柱長度對編號作圖，如圖3所示。實驗所用的音叉頻率，最接近多少Hz？
(A) 350　　　(B) 525　　　\(C\) 700　　　(D) 1050　　　(E) 2000

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/gah6dXX.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
由圖中的1、4號點可知兩個共鳴點的距離約為 50 cm，由於相鄰兩個共鳴點之間的距離為半個聲波波長，因此
$$
\frac{3}{2} \lambda = 50 ~\Rightarrow~ \lambda = \frac{100}{3} ~\mathrm{cm} = \frac{1}{3} ~\mathrm{m}
$$

由聲速 $v$、頻率 $f$、波長 $\lambda$ 的關係
$$
v = f \lambda ~\Rightarrow~ f = \frac{v}{\lambda} = 350 \times 3 = 1050 ~\mathrm{Hz}
$$
<br />

9. 圖4為電流天平的構造示意圖。當U型電路上的電流值為 $I_1$、螺線管所載電流值為 $I_2$ 、天平左端所掛的小重物質量為 $m$ 時，天平恰成平衡。若將電流 $I_1$ 變成 $-4 I_2$，同時 $I_2$ 變成 $-I_1 / 2$（負號表示電流方向與原來的方向相反），則此時可使天平平衡的小重物質量應為何？（忽略地磁造成的影響，$g$ 為重力加速度，$L$ 為U型電路寬度，$B$ 為螺線管所產生的磁場）
(A) $m$　　　(B) $2m$　　　\(C\) $4m$　　　(D) $8m$　　　(E) 天平無法達到平衡

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/U1KfgkZ.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
原來的條件下，螺線管上的電流於管內產生的磁場量值
$$
B = \mu_0 n I_2
$$

電流天平所受磁力
$$
F_B = mg = I_1 L B = \mu_0 n L I_1 I_2
$$

改變電流後，由於螺線管上的電流方向、電流天平上的電流方向皆反向，因此電流天平所受磁力仍然往下，量值為
$$
F_B' = \mu_0 n L \times 4I_2 \times \frac{I_1}{2} = 2 \mu_0 n L I_1 I_2 = 2mg
$$
<br />

10. 氣泡室是裝滿液態氫的特殊容器，其內部具有均勻磁場。當帶電粒子穿過氣泡室時，沿著粒子軌跡會產生小氣泡，是一種能用來追蹤粒子動向的工具。圖5是不同的帶電粒子由左至右垂直射入氣泡室所產生的軌跡（磁場垂直進入紙面），分別以1、2、3編號標示，而帶電粒子因與氣泡室內的液態氫作用而損失能量，軌跡呈螺旋形，其中粒子1、2進行逆時針旋轉、粒子3則為順時針旋轉。下列敘述何者正確？（以 $\left | mv/q \right |_i$ 表示編號 $i$ 的粒子其動量除以電量的量值）
(A) 編號1、2、3的粒子均帶正電，且 $\left | mv/q \right |_3 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_1$
(B) 編號1、2、3的粒子均帶負電，且 $\left | mv/q \right |_1 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_3$
\(C\) 編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電，且 $\left | mv/q \right |_1 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_3$
(D) 編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電，且 $\left | mv/q \right |_3 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_1$
(E) 編號1、2的粒子均帶負電，編號3的粒子帶正電，且 $\left | mv/q \right |_3 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_1$

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/U41Vlnx.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流的磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
質量為 $m$、電量為 $q$、速度為 $v$ 的粒子，於強度為 $B$ 的磁場中運動時受到磁力 $\vec F_B = q \vec v \times \vec B$。由粒子繞圈的方向可知編號1、2的粒子均帶正電，編號3的粒子帶負電。由磁力作為向心力可得
$$
qvB = m \cdot \frac{v^2}{r} ~\Rightarrow~ \frac{mv}{q} = Br \propto r
$$
由圖中粒子繞圈的半徑大小可知 $\left | mv/q \right |_3 > \left | mv/q \right |_2 > \left | mv/q \right |_1$。
<br />

11. 科學家常用X-射線繞射來測知晶體結構，若將波長為 $\lambda$ 的X-射線改用電子束取代，並進行相同晶體的繞射實驗，以測得相同的繞射圖樣，則電子的能量為何？（$h$ 為普朗克常數，$m$ 為電子質量）
(A) $\frac{h^2}{2m^2 \lambda^2}$　　　(B) $\frac{h}{2m \lambda}$　　　\(C\) $\frac{h^2}{m \lambda}$　　　(D) $\frac{h^2}{m \lambda^2}$　　　(E) $\frac{h^2}{2m \lambda^2}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
電子的物質波波長 $\lambda$、動能 $K$、質量 $m$ 的關係
$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} ~\Rightarrow~ K = \frac{h^2}{2m \lambda^2}
$$
<br />

12. 某一LED 燈組，其光強度對波長的關係如圖6 所示，黃－紅光範圍的光強度比藍光範圍的光強度大很多。某生以此光源照射某一金屬，進行光電效應實驗，發現皆可產生光電子，如圖7所示。設可變直流電源的電位為 $V$（集電極電位相對於發射極電位）、量測到的光電流為 $I$，則下列何者為該實驗所測得的 $I - V$ 關係圖？

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/qB0Bysh.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/J2SzIgk.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
由於波長較長、能量較低的黃－紅光光子數量較多，波長較短、能量較高的藍光光子數量較少，而且幾乎沒有波長在 500 ~ 600 nm 之間的光子，因此在反向偏壓較大時光電流 $I$ 會突然減小到某一個值，直到反向偏壓加大到足以抵擋藍光光子產生的光電子時光電流 $I$ 才會再減小，因此答案為A。
<br />

13. 兩個點光源 S₁、S₂ 間的距離為 24 cm，使用焦距為 9 cm 的薄透鏡L，垂直放置於兩點光源S₁、S₂ 的連線上並調整位置，如圖8所示，使兩個點光源成像於同一位置，則兩點光源到透鏡的距離比為何？
(A) 3 : 4　　　(B) 3 : 8　　　\(C\) 2 : 3　　　(D) 1 : 2　　　(E) 1 : 3

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/9RbAuen.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設薄透鏡L比較靠近 S₁、兩者距離為 $d$，則L與 S₂ 距離為 $24 - d$。若兩個光源成像於同一個位置，於薄透鏡L左側距離為 $q$ 處，則 S₁ 的像為正立放大虛像，S₂ 的像為倒立實像，由成像公式可得
$$
\frac{1}{d} + \frac{1}{(-q)} = \frac{1}{9}
$$
$$
\frac{1}{24 - d} + \frac{1}{q} = \frac{1}{9}
$$
將兩式相加可得
$$
\frac{1}{d} + \frac{1}{24 - d} = \frac{2}{9} ~\Rightarrow~ d^2 - 24d + 108 = 0 ~\Rightarrow~ d = 6 ~\mathrm{or}~ 18 ~\mathrm{cm}
$$
因此答案為 $6 : 18 = 1 : 3$。
<br />

**第14 - 15題為題組**

地震預警是利用地震在地球內部傳播的P波與S波的速度差，透過偵測首先到達的P波來判斷地震規模，在振動強烈的S波到達前的時間內發出預警，以利後續應變。回答第14 - 15 題。

14. 2021年2月7日發生芮氏規模6.1的地震，許多民眾手機收到多次國家級警報。該地震震源在臺灣東部外海，深度約為112 km。宜蘭市地震監測站（距震源直線距離約為141 km）測得地動加速度對時間的關係，如圖9所示，圖中第0秒為地震起始時間。
若宜蘭市預警系統可在P波抵達後的7秒內就完成判斷並發出預警至各縣市，則對於距震源直線距離約 215 km 之苗栗市，可提供的應變時間約為幾秒？（假設P波與S波的波速固定，且都由震源直線傳播到地表上的各地點。）
(A) 7　　　(B) 14　　　\(C\) 26　　　(D) 33　　　(E) 37

<img height="90%" width="90%" src="https://i.imgur.com/H9Wkgfe.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
由圖中可以看出，約在地震發生後23秒時，P波傳到宜蘭市地震監測站，發出預警的時刻為發生地震後30秒時。

假設S波波速為 $v_S$，由圖中可以看出，約在地震發生後37秒時，S波傳到宜蘭市地震監測站，因此
$$
v_S = \frac{141}{37} \approx 3.81 ~\mathrm{km/s}
$$
則S波傳到距離為 215 km 的苗栗市所需時間為
$$
t = \frac{215}{3.81} \approx 56 ~\mathrm{s}
$$
約在收到預警後第26秒時。
<br />

15. 當地震表面波在稍後到達某地區時，假設固定於地面的物體僅作水平方向的簡諧運動，其振幅為 0.20 cm，週期為 0.40 s，最大加速度量值為 $a ~\mathrm{m/s^2}$。若固定於地面的水平書架上的書本不會因地震而滑動，則書本與書架板間的靜摩擦係數不能小於$\mu$。以下各組 $(a, \mu)$ 數值，何者正確？（取重力加速度 $g = 10 ~\mathrm{m/s^2}$）
(A) (0.25, 0.050)　　　(B) (0.50, 0.050)　　　\(C\) (0.50, 0.10)　　　(D) (1.0, 0.10)　　　(E) (1.5, 0.15)

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律的應用
<span style="color:blue">詳解</span>：
簡諧運動最大加速度
$$
a = \frac{4 \pi^2 R}{T^2} = \frac{4 \pi^2 \times 0.002}{0.4^2} = 0.05 \pi^2 \approx 0.5 ~\mathrm{m/s^2}
$$

由最大靜摩擦力提供加速度，因此
$$
f_{s, max} = \mu mg = ma ~\Rightarrow~ \mu = \frac{a}{g} \approx 0.05
$$
<br />

16. 由許多個處於基態的氫原子所組成的系統，吸收一束單一頻率的光後各自躍遷到主量子數為 $n$ 的激發態，當這些處於激發態的氫原子回到基態時，可以測量到六條不同波長的光譜線，試問 $n$ 為何？
(A) 7　　　(B) 6　　　\(C\) 5　　　(D) 4　　　(E) 3

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
可能的光譜線波長數量
$$
C^{n}_2 = \frac{n(n-1)}{2} = 6 ~\Rightarrow~ n = 4 ~\mathrm{or}~ -3
$$
-3 不合，答案為 4。
<br />

17. 在水波槽實驗中，水波槽被分為左邊的深水區和右邊的淺水區， 兩區以線段 ab 為分界線，左端黑色長棒產生直線波向右傳遞，虛線表示其波前，箭頭表示波的行進方向，下列各圖何者正確？

<img height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/xjoMX2X.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
左側深水區波速較快、波長較長、與法線夾角較大，右側淺水區波速較慢、波長較短、與法線夾角較小，因此答案為B。
<br />

18. 臺東的臺灣國際熱氣球嘉年華是很受歡迎的休旅活動。要讓熱氣球升空，必須加熱氣球裡的空氣，使氣球體積變大，以增加空氣浮力（物體所受的空氣浮力等於物體在空氣中所排開同體積空氣的重量）。有一熱氣球乘載四人後的總質量為 $6.0 \times 10^2 ~\mathrm{kg}$（不含球內空氣）。當加熱其內空氣，使其體積膨脹至 $3.0 \times 10^3 ~\mathrm{m^3}$，即可升空，此時空氣浮力等於熱氣球載人後的總重量（含球內的空氣），則熱氣球內的空氣溫度是多少°C？（設當時外界氣溫為 22°C，空氣密度為 $1.2 ~\mathrm{kg/m^3}$，氣球內、外的空氣都視為理想氣體，且加熱時球外空氣的溫度、壓力不變。）
(A) 81　　　(B) 72　　　\(C\) 57　　　(D) 42　　　(E) 22

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：熱學
<span style="color:blue">詳解</span>：
假設此時熱氣球內的熱空氣密度為 $D$，熱空氣與熱氣球加人的總質量等於熱氣球排開的空氣質量，因此
$$
600 + 3000 D = 3000 \times 1.2 ~\Rightarrow~ D = 1.0 ~\mathrm{kg/m^3}
$$

由理想氣體方程式
$$
PM = DRT ~\Rightarrow~ D \propto \frac{1}{T}
$$
$$
\frac{1.0}{1.2} = \frac{22 + 273}{T} ~\Rightarrow~ T = 354 ~\mathrm{K} = 81 \mathrm{{}^{\circ} C}
$$
<br />

19. 在核電廠發生重大核安事故後，附近可檢測出放射性元素銫-137，銫-137自發衰變時，核子數減少至原來數目一半所需時間（ 半衰期）約為30年。已知每1公克銫-137的放射性活度約為 $3.2 \times 10^{12} ~\mathrm{Bq}$（Bq 為放射性活度的單位，1 Bq = 每秒發生一次衰變；活度亦稱活性）；食品中放射性銫檢驗的容許量標準值為 100 Bq/kg。
假設一尾 100 kg 的大型海魚在15年前體內的放射性物質只有 $2.0 \times 10^{-8}$公克的放射性銫-137，現今對其殘留的銫-137進行檢驗，若銫-137在這期間未被代謝出體外，則其每公斤的放射性活度為食品檢驗容許量之標準值的幾倍？
(A) 0.045　　　(B) 0.32　　　\(C\) 4.5　　　(D) 32　　　(E) 450

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：原子結構
<span style="color:blue">詳解</span>：
先計算目前海魚體內的銫-137質量
$$
m = 2.0 \times 10^{-8} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{30}} \approx 1.4 \times 10^{-8} ~\mathrm{g}
$$

每公斤海魚的銫-137放射性活度為
$$
1.4 \times 10^{-8} \times \frac{1}{100} \times 3.2 \times 10^{12} = 448 ~\mathrm{Bq/kg}
$$

由於食品檢驗容許量之標準值為 100 Bq/kg，海魚的放射性活度約為標準值的4.5倍。
<br />

20. 悠遊卡系統利用電磁感應原理來辨識與傳遞資訊（即無線射頻辨識技術－RFID）。讀卡機產生變動磁場，讓悠遊卡內部迴路產生應電流，使內部晶片得以發送訊號，讀卡機就能讀取卡內的晶片資料（如圖10）。悠遊卡迴路中的應電動勢 $\varepsilon$ 和其每匝線圈中之磁通量時間變化率 $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ 的關係為 $\varepsilon = -QN\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$，其中 $N$ 為匝數，$Q$ 為悠遊卡迴路的訊號加強係數。若悠遊卡迴路的矩形線圈尺寸為 $8.00 ~\mathrm{cm} ~\times 5.00 ~\mathrm{cm}$、$N = 4$、$Q = 40.0$，讀卡機產生的磁場垂直穿過悠遊卡線圈平面，且線圈中磁場的時間變化率 $\frac{\Delta B}{\Delta t} = B_0 \times 2 \pi f \sin(2 \pi f t)$，$B_0 = 5.00 \times 10^{-8} ~\mathrm{T}$，頻率 $f = 13.56 ~\mathrm{MHz}$，則悠遊卡迴路線圈應電動勢的最大值約為何？
(A) 0.680 V 　　　(B) 1.20 V　　　\(C\) 2.73 V　　　(D) 3.64 V　　　(E) 4.52 V

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/O2XKYPh.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
本題需要代入計算的數值較多，計算時需要特別注意單位，而且必須將 $\pi$ 乘開。

$$
\begin{align*}
\varepsilon_{max} &= QN
\left ( \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right )_{max} \\
&= QNA
\left ( \frac{\Delta B}{\Delta t} \right )_{max} \\
&= QNAB_0 \times 2 \pi f \\
&= 40.0 \times 4 \times 40 \times 10^{-4} \times 5.00 \times 10^{-8} \times 2 \pi \times 13.56 \times 10^6 \\
& \approx 2.73 ~\mathrm{V}
\end{align*}
$$
<br />

### 多重選擇題

21. 一個檢流計 G 的內部電阻為 $1.0 ~\mathrm{k \Omega}$ ，需要 $10 ~\mathrm{\mu A}$ 的電流，才能使其獲得最大讀數（即滿刻度偏轉）。一個安培計由該檢流計及一個並聯的電阻 $R_1$ 所構成，如圖11所示，當通過安培計的電流為 10 A 時，會使檢流計讀數滿刻度。另以相同的檢流計及一個串聯的電阻 $R_2$ 構成一個伏特計，如圖12所示，當伏特計兩端的電壓為 10 V 時，會使檢流計讀數滿刻度。下列敘述哪些正確？
(A) 檢流計得到滿刻度偏轉時，跨接於檢流計的電位差值為 1.0 mV
(B) $R_1$ 約為 $1.0 ~\mathrm{m \Omega}$
\(C\) $R_1$ 約為 $10 ~\mathrm{m \Omega}$
(D) $R_2$ 約為 $1.0 ~\mathrm{M \Omega}$
(E) $R_2$ 約為 $1.0 ~\mathrm{k \Omega}$

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/zWymT23.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯誤
$$
V = IR = 10 \mathrm{\mu A} \times 1.0 ~\mathrm{k \Omega} = 10 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{3} ~\mathrm{V} = 10 \times 10^{-3} ~\mathrm{V} = 10 ~\mathrm{mV}
$$

B正確、C錯誤，由於檢流計與 $R_1$ 並聯，通過兩者的電流量值與電阻值成反比，而且通過檢流計的電流很小，通過 $R_1$ 的電流約為 10 A，因此
$$
\frac{10 ~\mathrm{\mu A}}{10 ~\mathrm{A}} = \frac{R_1}{1.0 ~\mathrm{k \Omega}} ~\Rightarrow~ \frac{10 \times 10^{-6}}{10} = \frac{R_1}{1.0 \times 10^{3}} ~\Rightarrow~ R_1 = 10^{-3} ~\mathrm{\Omega} = 1 ~\mathrm{m \Omega}
$$

D正確、E錯誤，由於檢流計與 $R_2$ 串聯，兩者的端電壓與電阻值成正比，而且檢流計的端電壓很小，$R_2$ 的端電壓約為 10 V，因此
$$
\frac{10 ~\mathrm{V}}{10 ~\mathrm{mV}} = \frac{R_2}{1.0 ~\mathrm{k \Omega}} ~\Rightarrow~ \frac{10}{10 \times 10^{-3}} = \frac{R_2}{1.0 \times 10^{3}} ~\Rightarrow~ R_2 = 10^{6} ~\mathrm{\Omega} = 1 ~\mathrm{M \Omega}
$$
<br />

22. 質量為 $m$ 的汽車在與水平面夾角為 $\theta$ 的斜面跑道作半徑為 $R$ 的圓周運動，其面對車頭直視時的示意圖如圖13所示。設重力加速度的量值為 $g$，下列敘述哪些正確？
(A) 若夾角 $\theta = 0$，無摩擦力則無法作圓周運動
(B) 需摩擦力克服沿斜面的下滑力 $mg \sin \theta$ 才可作圓周
運動
\(C\) 無摩擦力也可作圓周運動，此時斜面跑道對車的正向力為 $mg \cos \theta$
(D) 無摩擦力也可作圓周運動，此時速率 $v = \sqrt{Rg \tan \theta}$
(E) 沿斜面向下的摩擦力可增加作圓周運動的向心力

<img height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/lxz2inF.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ADE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
A正確，車子受到向下的重力 $mg$、垂直跑道面向上方的正向力 $N$，如果沒有與跑道面平行摩擦力則無法做圓周運動。

B錯誤，若 $\theta \neq 0$，車子受到向下的重力 $mg$、垂直斜面向右上方的正向力 $N$，可以用正向力的水平分力作為向心力。

C錯誤，車子鉛直方向合力為0，因此
$$
mg = N \cos \theta ~\Rightarrow~ N = \frac{mg}{\cos \theta}
$$

D正確，車子用正向力的水平分力作為向心力，因此
$$
N \sin \theta = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ mg \tan \theta = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ v = \sqrt{Rg \tan \theta}
$$

E正確，如果有沿斜面向下的摩擦力，其水平分力也可以提供部分的向心力。
<br />

23. 在「狹縫干涉和繞射」的實驗中，雙狹縫至屏幕的距離為 2.00 m 。先以一未知波長的雷射光垂直入射一個狹縫間距為 100 μm 的雙狹縫做干涉實驗，測得屏幕上干涉圖樣之中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為 1.95 cm，接著利用單狹縫的繞射現象以測量單狹縫的縫寬時，僅將雙狹縫片改為單狹縫片而其餘實驗參數不變，測得單狹縫繞射圖樣之中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為 13.0 cm，則下列敘述哪些正確？
(A) 雙狹縫干涉圖樣之中央亮帶的中央線到第三暗紋的距離為 2.60 cm
(B) 雙狹縫干涉圖樣之中央亮帶寬度為 1.30 cm
\(C\) 單狹縫繞射圖樣之中央亮帶寬度為 13.0 cm
(D) 雷射光的波長為 450 nm
(E) 單狹縫的縫寬為 20.0 μm

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BCE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A錯誤、B正確，假設雙狹縫干涉條紋寬度 $\Delta y$，由於中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為
$$
\frac{3}{2} \Delta y = 1.95 ~\Rightarrow~ \Delta y = 1.30 ~\mathrm{cm}
$$
中央亮帶的中央線到第三暗紋的距離為
$$
\frac{5}{2} \Delta y = \frac{5}{2} \times 1.30 = 3.25 ~\mathrm{cm}
$$

C正確，假設單狹縫繞射圖樣之中央亮帶的寬度為 $2 \Delta y'$，由於中央亮帶的中央線與第二暗紋的距離為
$$
2 \Delta y' = 13.0 ~\Rightarrow~ \Delta y' = 6.5 ~\mathrm{cm}
$$

D錯誤，雙狹縫干涉條紋寬度
$$
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} ~\Rightarrow~ 1.30 \times 10^{-2} = \frac{\lambda \times 2.00}{100 \times 10^{-6}} ~\Rightarrow~ \lambda = 6.5 \times 10^{-7} ~\mathrm{m} = 650 ~\mathrm{nm}
$$

E正確，單狹縫繞射條紋寬度
$$
\Delta y' = \frac{\lambda L}{a} ~\Rightarrow~ 6.5 \times 10^{-2} = \frac{\lambda \times 2.00}{a}
$$
將以上2式相除
$$
\frac{1}{5} = \frac{a}{100 \times 10^{-6}} ~\Rightarrow~ a = 20 \times 10^{-6} ~\mathrm{m} = 20 ~\mathrm{\mu m}
$$
<br />

24. 在科學博覽會中，有一學生站在塑膠凳上，以手指接觸相對地面電壓為27萬伏特、半徑為 15 cm 的金屬球時，導致頭髮直豎，引發觀眾驚呼。已知金屬球表面的電場大於 $3.0 \times 10^{6} ~\mathrm{V/m}$ 時，即會造成空氣游離而放電。下列敘述哪些正確？（庫侖常數 $k = 9.0 \times 10^9 ~\mathrm{N \cdot m^2 / C}$）
(A) 學生手指接觸高電壓金屬球後，頭髮因帶同性電荷而互斥所以直豎
(B) 將懸掛在質輕細繩下的不帶電金屬小球移近高電壓金屬球時，金屬小球會立即被排斥開
\(C\) 電壓固定為27萬伏特時，金屬球的半徑必須不小於 9.0 cm，才不至於發生放電現象
(D) 高電壓金屬球在該生接觸它之前的電量約為 $3.0 \times 10^{-4} ~\mathrm{C}$
(E) 高電壓金屬球上電荷透過接地之導體，在 5.0 ms 內全部轉移到地面期間之平均電流約為 0.90 mA

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ACE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜電學、電流
<span style="color:blue">詳解</span>：
A正確。

B錯誤，金屬小球會先因為靜電感應而被高電壓金屬球吸引，兩者接觸後帶同性電、互相排斥。

C正確，假設金屬球半徑為 $r$，若金屬球表面電場為 $3.0 \times 10^{6} ~\mathrm{V/m}$ 時，由電場與電壓的關係
$$
V = Er ~\Rightarrow~ r = \frac{27 \times 10^4}{3.0 \times 10^6} = 9.0 \times 10^{-2} ~\mathrm{m} = 9.0 ~\mathrm{cm}
$$

D錯誤，金屬球表面電壓
$$
V = \frac{kQ}{R} ~\Rightarrow~ Q = \frac{27 \times 10^4 \times 15.0 \times 10^{-2}}{9.0 \times 10^9} = 4.5 \times 10^{-6} ~\mathrm{C} = 4.5 ~\mathrm{\mu C}
$$

E正確，電流量值
$$
I = \frac{Q}{t} = \frac{4.5 \times 10^{-6}}{5.0 \times 10^{-3}} = 9 \times 10^{-4} ~\mathrm{A} = 0.90 ~\mathrm{mA}
$$
<br />

### 非選擇題

請參考大考中心公告的非選擇題參考答案。
<br />

## 參考資料

1. [大考中心110指考物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0L210425803350075581/08-110%E6%8C%87%E8%80%83%E7%89%A9%E7%90%86%E7%A7%91%E8%A9%A6%E5%8D%B7.pdf)
2. [大考中心110指考物理科選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0L210666150650567112/08-110%E6%8C%87%E8%80%83%E7%89%A9%E7%90%86%E9%81%B8%E6%93%87%E9%A1%8C%E5%8F%83%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88.pdf)
3. [大考中心110指考物理科非選擇題參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0L225608779136855888/06-110%E6%8C%87%E8%80%83%E7%89%A9%E7%90%86%E9%9D%9E%E9%81%B8%E6%93%87%E9%A1%8C%E5%8F%83%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88.pdf)

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###### tags:`Physics`