兩個木塊的簡諧運動

作者：王一哲
日期：2020/7/9

題目（改編自101指考非選題二）

質量分別為

$M$ 及

$m$ 的木塊放置於光滑水平面上，兩個木塊之間以彈性常數為

$k$ 的理想彈簧連接。若將兩個木塊向內壓縮

$\mathrm{\Delta }L$ 再由靜止釋放木塊，試求以下的物理量。

1. 木塊做簡諧運動週期
2. 木塊做簡諧運動的最大速率
3. 木塊做簡諧運動的振幅

理論分析

木塊做簡諧運動週期

若將

$x$ 軸的原點設定在

$M$ 的位置，則質心與

$M$ 之間的距離為

$$x_C=\frac{mL}{M+m}$$

由於系統的質心位置固定，可以將彈簧從質心位置分割為左、右兩段，長度比為

$m:M$ ，其彈性常數分別為

$$k_M=\frac{M+m}{m}k$$

$$k_m=\frac{M+m}{M}k$$

兩個木塊做簡諧運動的週期分別為

$$T_M=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1}}=2\pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$

$$T_m=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=2\pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$

兩個木塊做簡諧運動的週期相等，這樣系統質心位置才會固定，這是合理的計算結果。另一種方法是利用約化質量 (reduced mass)

$$\mu =\frac{Mm}{M+m}$$

簡諧運動的週期為

$$T=2\pi \sqrt{\frac{\mu }{k}}=2\pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$

2022/5/15 補充說明約化質量的推導過程

假設木塊

$M$ 受的到作用力為

${\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}$，木塊

$m$ 受的到作用力為

${\mathbf{F}}_{\mathbf{m}}$，由於兩者之間用彈簧連接，

$M$、

$m$、彈簧系統水平方向沒有外力，因此

$${\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}+{\mathbf{F}}_{\mathbf{m}}=0\Rightarrow {\mathbf{F}}_{\mathbf{m}}=-{\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}$$
兩者的加速度分別為

$${\mathbf{a}}_{\mathbf{M}}=\frac{{\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}}{M}{\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}=\frac{{\mathbf{F}}_{\mathbf{m}}}{m}=-\frac{{\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}}{m}=-\frac{M}{m}{\mathbf{a}}_{\mathbf{M}}$$

$M$ 相對於

$m$ 的加速度為

$${\mathbf{a}}_{\mathbf{Mm}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{M}}-{\mathbf{a}}_{\mathbf{m}}=(1+\frac{M}{m}){\mathbf{a}}_{\mathbf{M}}=\frac{M+m}{m}\cdot \frac{{\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}}{M}\Rightarrow {\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}=\frac{Mm}{M+m}{\mathbf{a}}_{\mathbf{Mm}}$$
若定義約化質量

$$\mu =\frac{Mm}{M+m}$$
則上式可改寫為

$${\mathbf{F}}_{\mathbf{M}}=\mu {\mathbf{a}}_{\mathbf{Mm}}$$
運用約化質量，可以將兩個物體的運動，簡化成其中一個物體相對於另一個物體的運動。

木塊做簡諧運動的最大速率

由於系統水平方向不受外力作用，系統動量守恆，兩個木塊的動量

$${\mathbf{p}}_{\mathbf{M}}+{\mathbf{p}}_{\mathbf{m}}=\mathbf{0}\Rightarrow {\mathbf{p}}_{\mathbf{M}}=-{\mathbf{p}}_{\mathbf{m}}$$

當彈簧回到原長時、木塊到達平衡點，此時兩個木塊的動能比為

$$K_M:K_m=\frac{p_M^2}{2M}:\frac{p_m^2}{2m}=m:M$$

由於系統力學能守恆，由彈簧被壓縮

$\mathrm{\Delta }L$ 時與彈簧回到原長時可得

$$\frac{1}{2}k(\mathrm{\Delta }L{)}^2=K_M+K_m$$

若將

$$K_m=\frac{M}{m}{K}_M$$

代入上式可得

$$\frac{1}{2}k(\mathrm{\Delta }L{)}^2=K_M(1+\frac{M}{m})\Rightarrow K_M=\frac{mk(\mathrm{\Delta }L{)}^2}{2(M+m)}$$

$$K_m=\frac{M}{m}\cdot \frac{mk(\mathrm{\Delta }L{)}^2}{2(M+m)}=\frac{Mk(\mathrm{\Delta }L{)}^2}{2(M+m)}$$

兩個木塊的最大速率分別為

$$v_M=\sqrt{\frac{2K_M}{M}}=\sqrt{\frac{2}{M}\cdot \frac{mk(\mathrm{\Delta }L{)}^2}{2(M+m)}}=\sqrt{\frac{mk}{M(M+m)}}\mathrm{\Delta }L$$

$$v_m=\sqrt{\frac{2K_m}{m}}=\sqrt{\frac{2}{m}\cdot \frac{Mk(\mathrm{\Delta }L{)}^2}{2(M+m)}}=\sqrt{\frac{Mk}{m(M+m)}}\mathrm{\Delta }L$$

木塊做簡諧運動的振幅

由於系統的質心位置固定，因此兩個木塊離開平衡點的距離與質量成反比，兩者的振幅比

$$R_M:R_m=m:M$$

但是彈簧的最大壓縮量為

$\mathrm{\Delta }L$，因此

$$R_M+R_m=\mathrm{\Delta }L$$

由以上兩式可得

$$R_M=\frac{m}{M+m}\mathrm{\Delta }L$$

$$R_m=\frac{M}{M+m}\mathrm{\Delta }L$$

驗算木塊做簡諧運動的最大速率

配合先前得到的簡諧運動週期可得兩者的最大速率分別為

$$v_M=\frac{2\pi R_M}{T}=2\pi \cdot \frac{m}{M+m}\mathrm{\Delta }L\cdot \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{(M+m)k}{Mm}}=\sqrt{\frac{mk}{M(M+m)}}\mathrm{\Delta }L$$

$$v_m=\frac{2\pi R_m}{T}=2\pi \cdot \frac{M}{M+m}\mathrm{\Delta }L\cdot \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{(M+m)k}{Mm}}=\sqrt{\frac{Mk}{m(M+m)}}\mathrm{\Delta }L$$

VPython 模擬

以下是使用 VPython 模擬的程式碼以及 GlowScript 網站動畫連結，程式碼中的變數值與題目的物理量關係如下：

1. 木塊1的質量為
   $M=m_1=0.2\mathrm{kg}$
2. 木塊2的質量為
   $m=m_2=0.1\mathrm{kg}$
3. 彈簧的彈性常數
   $k=5.0\mathrm{N}/\mathrm{m}$
4. 彈簧初始壓縮量
   $\mathrm{\Delta }L=dL=0.5\mathrm{m}$

模擬畫面截圖

"""
 VPython教學: 14-2.水平彈簧與木塊組成的雙重簡諧運動, 101指考題
 日期: 2020/7/9
 作者: 王一哲
"""

from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
d1, m1, c1 = 0.2, 0.2, color.red     # 木塊1的質量、初速、顏色
d2, m2, c2 = 0.2, 0.1, color.green   # 木塊2的質量、質量、初速、顏色
L0, k, dL = 1.0, 5.0, 0.5            # 彈簧的原長 L0=1 m, 彈性常數 k=5.0 N/m, 最大壓縮量 dL=0.5 m
t, dt = 0, 0.00005     	             # 時間, 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗
scene = canvas(title="Double Simple Harmonic Motion", width=800, height=300, 
               background=vec(0, 0.6, 0.6), range=0.7*L0)
# 產生左側木塊 b1, 右側木塊 b2
b1 = box(pos=vec(-0.5*L0-0.5*d1, 0, 0), size=vec(d1, d1, d1), color=c1, v=vec(0, 0, 0))
b2 = box(pos=vec(0.5*L0+0.5*d2-dL, 0, 0), size=vec(d2, d2, d2), color=c2, v=vec(0, 0, 0))
# 產生彈簧, 起點為 b1.pos, 方向為 b2.pos - b1.pos
spring = helix(pos=b1.pos+vec(0.5*d1, 0, 0), axis=b2.pos-b1.pos-vec(0.5*(d1+d2), 0, 0),
               radius=0.3*d1, thickness=0.1*d1)
# 產生地板
floor = box(pos=vec(0.5*(b1.pos.x+b2.pos.x), -0.75*d2, 0),
            size=vec(2.2*L0, 0.5*d2, 0.8), color=color.blue)
scene.center = floor.pos+vec(0, 0.2, 0)
# 繪圖部分
gd = graph(title="<i>x</i> - <i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)",
           ytitle="red: <i>x</i><sub>1</sub>, green: <i>x</i><sub>2</sub> (m)")
xt1 = gcurve(graph=gd, color=c1)
xt2 = gcurve(graph=gd, color=c2)
gd2 = graph(title="<i>v</i> - <i>t</i> plot", x=0, y=750, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)",
            ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s)")
vt1 = gcurve(graph=gd2, color=c1)
vt2 = gcurve(graph=gd2, color=c2)

"""
 3. 物體運動部分
"""
T0 = 2*pi*sqrt(m1*m2/(k*(m1+m2)))    # 簡諧運動週期理論值
R1, R2 = m2*dL/(m1+m2), m1*dL/(m1+m2)# 簡諧運動振幅理論值
vp1, vp2 = 0.0, 0.0
xp1, xp2 = b1.pos.x, b2.pos.x
count1, count2 = 0, 0
print("週期理論值 T0 = {:f} s".format(T0))
print("振幅理論值 R1 = {:f} m, R2 = {:f} m".format(R1, R2))

while t <= 3*T0:
    rate(1000)
# 更新彈簧的起點位置、長度、方向
    spring.pos = b1.pos+vec(0.5*d1, 0, 0)
    spring.axis = b2.pos-b1.pos-vec(0.5*(d1+d2), 0, 0)
# 計算彈簧回復力，更新小球的加速度、速度、位置
    force = -k*(spring.axis.mag - L0) * spring.axis.norm()
    b1.a = -force/m1     
    b2.a = force/m2
    b1.v += b1.a * dt
    b2.v += b2.a * dt
    b1.pos += b1.v * dt
    b2.pos += b2.v * dt
# 檢驗木塊是否經過一個週期
    vc1, vc2 = b1.v.x, b2.v.x
    if vp1 > 0 and vc1 < 0:
        print("木塊1經過一個週期, 此時 t = {:f} s".format(t))
    if vp2 < 0 and vc2 > 0:
        print("木塊2經過一個週期, 此時 t = {:f} s".format(t))   
# 計算木塊的振幅
    if vp1 < 0 and vc1 > 0 and count1 == 0:
        xc1 = b1.pos.x
        print("木塊1振幅 R1 = {:f} m".format(abs(xc1-xp1)/2))
        xp1 = xc1
        count1 += 1
    if vp2 > 0 and vc2 < 0 and count2 == 0:
        xc2 = b2.pos.x
        print("木塊2振幅 R2 = {:f} m".format(abs(xc2-xp2)/2))
        xp2 = xc2
        count2 += 1
# 更新 vp1, vp2
    vp1, vp2 = vc1, vc2
# 畫 x-t 圖, v-t 圖
    xt1.plot(pos=(t, b1.pos.x))
    xt2.plot(pos=(t, b2.pos.x))
    vt1.plot(pos=(t, b1.v.x))
    vt2.plot(pos=(t, b2.v.x))
# 更新時間
    t += dt

模擬結果如下，週期模擬值與理論值的差異是由程式碼中採用的時間間隔 dt = 0.00005 造成的，振幅的模擬值與理論值完全相同。

週期理論值 T0 = 0.725520 s
振幅理論值 R1 = 0.166667 m, R2 = 0.333333 m
木塊1振幅 R1 = 0.166667 m
木塊2振幅 R2 = 0.333333 m
木塊1經過一個週期, 此時 t = 0.725500 s
木塊2經過一個週期, 此時 t = 0.725500 s
木塊1經過一個週期, 此時 t = 1.451000 s
木塊2經過一個週期, 此時 t = 1.451000 s
木塊1經過一個週期, 此時 t = 2.176550 s
木塊2經過一個週期, 此時 t = 2.176550 s

x - t 圖

v - t 圖

結語

此題原為101年指考物理非選題二，原版的題目及參考解答請參考大考中心的網站（題目、參考解答）。原版的題目中第3小題是要求

$M$ 的振幅，我在上課時曾經試著用質心位置固定以外的方法解題，但是效果似乎不太好，再加上學生不容易想像木塊的運動方式，所以我寫了完整的理論計算以及模擬動畫，希望能幫助學生理解這個題目。

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tags:Physics、VPython