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title: GeoGebra 教學 6：行進波（波動方程式及疊加）
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# GeoGebra 教學 6：行進波（波動方程式及疊加）

> 作者：王一哲
> 日期：2018/1/30

本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案，網址為 https://ggbm.at/nfBrEN23
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<img height="100%" width="100%" src="https://upload.cc/i1/2019/04/08/MmHclr.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">行進波範例</div>
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## 數值滑桿

為了使操作更加方便，我們會使用到**數值滑桿**這項工具，也就是在繪圖區上用滑鼠左鍵拖拉滑桿改變特定變數值的工具。由上方的選單選取數值滑桿，在繪圖區上想要加入數值滑桿的地方點滑鼠左鍵一下，在跳出來的視窗中選擇變數的種類、填入變數的名稱、最小值、最大值、增量，最後按下確定即可。我總共新增了振幅$A$、波長$\lambda$、相位差$\delta$、週期$T$、時間$t$等5個滑桿，也可以使用以下的指令：

```latex
A = Slider(0.1, 4, 0.1)
λ = Slider(0.1, 5, 0.1)
δ = Slider(0, 2* π,  π /4)
T = Slider(0.2, 5, 0.1)
t = Slider(0, T, 0.01*T)
```

<img height="20%" width="20%" src="https://lh6.googleusercontent.com/blgAc1BhfTW3EPxCOZxEAtB9zpubtT6DrVEMUSnAEHj7G88VudwRN3x_nEaNlsyKshNPoAaZbyAXhUqAu-iBO9MkdK36DGM_piXoONvYqn2SLjwlUfvpjHSLs44rcFr0slp9BF-3" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">數值滑桿選單</div>
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<img height="60%" width="60%" src="https://lh6.googleusercontent.com/y1k3zmd8XzMNUIq0z63yQ5TR6chZqFdCFfh-nLaipWbEsZCQtZrTZYnHRAd7IimIHJDfgcaMQYE-o_wkQCQOb8Txtl1b3s3pWIv_6KZWfmFAOwjLM-BCvgkW9PFKkCd_IZ1EafnT" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">數值滑桿視窗</div>
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## 設定相關的變數值

由於在行進波的函數中會用到以下兩個物理量

1. 角波數 $k \equiv \frac{2 \pi}{\lambda}$
2. 角頻率 $\omega \equiv \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f$ 

為了操作方便，我們先在下方的指令區輸入

```latex
k = 2 * π / λ
ω = 2 * π / T
```

這樣當我們使用數值滑桿改變$\lambda$或T的值時，k和的值會自動跟著改變。

## 設定行進波的函數

在下方的指令區輸入

```latex
f(x) = If(x>0, A*sin(k*x - ω*t))
g(x) = If(x>0, A*sin(k*x - ω*t + δ))
```

即可產生兩個相位差為$\delta$且向+x方向前進的行進波。但是為何向+x方向前進的行進波函數是

$$f(x)=A \sin(kx - \omega t)= A \sin \left( \frac{2 \pi}{\lambda} x - \frac{2 \pi}{T} t \right)$$

我自己的思考方式是看 $\sin$ 的角度，當時間增加一點之後，如果要讓計算完的角度和時間增加前相同，則對應的 x 值必須增加，因此整個波的形狀向 +x 方向平移。下圖中實線為 $t = 0$ 時的波形，虛線是 $t = 0.1 \pi$ 時的波形。

<img height="100%" width="100%" src="https://lh4.googleusercontent.com/0MMriuwDO9VbPgP03w2DYcTcNFVG79pOVvl3uLir20KvjLNmqKB6Wo4pVcdU-N5M4f3VKJElXRoF28BzCiClYnP1VpNPnvJiX3UIyjFzWqYkVdJCDBrtpbZ42HuXFTMP2EJJmtUB" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">向 +x 方向前進的波</div>
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畫好兩個波之後，我們可以試著調整相位差$\delta$，下圖中兩個波$\delta = \pi / 2$。接著在 t 的數值滑桿上按滑鼠右鍵，選取**開始動畫**，就可以看到這兩個波以同樣的速度向 +x 方向前進。

<img height="100%" width="100%" src="https://lh3.googleusercontent.com/7QRsEjZahd6Jm0zlgpeMIYg7LJ-ahRkGclDYgJMHJwvkQKQmDKKS1DySmvjkvVOC75bC6y2HolWF2eSjqaOTPVAHMHeetaHUqVaQGXAieQPrnuv5mDPGXATLyzmGQmDAEA0YO4DC" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>

<span style="text-align:center; width:100%; display:block">相位差 $\delta = \pi / 2$ 的行進波</span>

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<img height="30%" width="30%" src="https://lh3.googleusercontent.com/2BaR6sBZyl-FT5enlligCyjRmgTkrzg5PJU31ZZXsXhHUODzmkKq81UqnYTFhWzQd2nLxaZ0H9JJ0gzsyNCUYuchvzk6JAStdoyGWgrCyGeqyy3AKpszpZq5G8Nc0LZo5fgmpm-k" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">數值滑桿 t 的選單</div>
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## 改變其中一個行進波行進方向及波長

在下方的指令區輸入，使另一個波的波長隨時間慢慢增加，朝 -x 方向前進，

```latex
k_1 = 2*π / (λ*(1 + 0.25*t / 10))
p(x) = If(x > 0, A*sin(k_1*x + ω*t))
```

接著再輸入

```latex
q(x) = f(x) + p(x)
```

接著在 t 的數值滑桿上按滑鼠右鍵，選取**開始動畫**，就可以看到這f(x)、p(x)、q(x)隨時間變化的樣子。

<img height="100%" width="100%" src="https://lh4.googleusercontent.com/0eQNgFWsA89DimVHXmUstAefFuYpvHoAEV2eNgldANQvrmPSvO-xVqSKOhNHLB8vCjqvGyD0Ry5LDiwCI7o5fMf0ca3sAIsZN-U7NtFRqPSfzNw6QBANty2Jvj6i0fZZvxG_XiAb" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center"></div>
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## 加上說明文字

從上方的選單找到插入文字，在插入文字可以勾選$\LaTeX$數學式，就可以在編輯欄位中輸入$\LaTeX$編碼，加上漂亮的數學式子。

<img height="20%" width="20%" src="https://lh6.googleusercontent.com/77PPkNuRvUaijIknhpBM6ZGwHKgW1Z00N0vfxuHEdQ110jgdkb3hUJEYL3SQ2d6GuoxjoNUBY4-AlbjZjGnZ30_c1ZgVqDUxNRoItmhhsQxlG_OLdfF4k92xTbR_XZeolPUbRpMa" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">插入文字選單</div>
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<img height="45%" width="45%" src="https://lh6.googleusercontent.com/j-9eFxH-wpHrMBWfU4q0WL39JKUuvA04kmdcsjtDUFQxXFHBB8RKdKcJxYzIrDrCMtAFlEDnvtarnjqYEVLiU6cU6szKGXHYt1XLBrWBzaLi7YGr1oSEfS5TaoJdJPfe5kfkUKnC" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">插入文字視窗</div>
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