# 斜向拋射水平射程

由抛出到最高點求上升時間 $t_1$
$$
0 = v_0 \sin \theta +(-g) t_1 ~\Rightarrow~ t_1 = \frac{v_0 \sin \theta}{g}
$$

全程飛行時間
$$
t = 2 t_1 = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}
$$

水平射程
$$
R = v_0 \cos \theta t = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2 \theta)}{g}
$$
若初速度量值固定且水平射程相等，代表兩次拋射的仰角互餘。

由鉛直方向運動求最大飛行高度 $H$
$$
0 = (v_0 \sin \theta)^2 + 2 (-g) H ~\Rightarrow~ H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}
$$

將題目給的最大飛行高度代入上式
$$
5 = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}
$$
$$
15 = \frac{v_0^2 [\sin (90^{\circ} - \theta)]^2}{2g} = \frac{v_0^2 \cos^2 \theta}{2g}
$$
將以上2式相加
$$
20 = \frac{v_0^2}{2g} ~\Rightarrow~ v_0^2 = 400 ~\Rightarrow~ v_0 = 20 ~\mathrm{m/s}
$$
將以上2式相除
$$
\frac{1}{3} = \tan^2 \theta ~\Rightarrow~ \theta = 30^{\circ}
$$

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