# GeoGebra 教學 1：安裝及基本操作（繪製三角形、內心、外心、垂心）

> 作者：王一哲
> 日期：2018/8/7

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## 什麼是GeoGebra

GeoGebra 的名稱是由兩個單字組成的<br />

<div style="text-align:center"><font color = "red">Geo</font>metry （幾何）+ Al<font color = "red">gebra</font> （代數）</div><br />

這是一套基於 GPL 發行的數學動態繪圖軟體，主要是以 JAVA 和 HTML5 寫成的，我覺得目前的功能已經足以應付高中課堂的需求。下圖是我用 GeoGebra 繪製的圓形波傳播方式示意圖，如果要在黑板上畫出25個點波源以及圓形波前，可能畫完就下課了，但是用 GeoGebra 可以很快就畫好，還可以當場調整點波源的數量。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/zSWnaWI.png">
<div style="text-align:center">圓形波傳播方式示意圖</div>

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## 下載及安裝

以下是 GeoGebra 的首頁(https://www.geogebra.org/)

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/FgD2fHI.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra 首頁</div>
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其中**新數學應用**與**經典應用**是線上版軟體，可以直接在瀏覽器上面執行。但是我們想在電腦上安裝 GeoGebra ，請按右下角的**離線應用**當中的**應用下載**。在下載頁面當中有6種不同的軟體，我選擇的是最傳統的**GeoGebra Classic 5**。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/lCDQR8Y.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra 下載頁面</div>
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下載完安裝檔之後，就是 Windows 傳統的安裝方式，全部採用預設值，一直按下一步就對了。如果不想安裝軟體，也可以下載免安裝版本，下載後只要解壓縮就可以使用，[下載連結在此](https://drive.google.com/open?id=1HgvpD30o3uCnlLUfEJdeF7pA6lxfDbxW)。
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## 選擇 GeoGebra Classic 5 或 6？

以下分別是 GeoGebra Classic 5 和 6 開啟新檔案後的畫面，比較明顯的差異在於 5 的下方是輸入指令的欄位，6 的下方則是提示輸入格式的虛擬鍵盤，輸入指令的欄位被移到左側。在運行速度方面，我試著用 5 和 6 開啟同一個檔案，在執行動畫功能時，5 的運作比較流暢，6 則有點卡，因此建議以 5 為主。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/7GPc7qR.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra Classic 5 開啟新檔案後的畫面</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/7dnrqK6.png">
<div style="text-align:center">GeoGebra Classic 6 開啟新檔案後的畫面</div>
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## 利用工具列繪製三角形

利用內建的繪圖工具就可畫出許多數學課本上面的圖，以下以三角形的重心、內心、外心、垂心為例，線上版的檔案連結為 https://ggbm.at/edte8mtt

### 三角形重心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/mjKG9Os.png">
<div style="text-align:center">三角形重心</div>
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三角形重心的定義為**3中線交點**，因此我們需要先畫出一個三角形，再畫出3個中點，用線段工具畫出中線，最後用交點工具畫出3中線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取工具新點，用滑鼠左鍵在繪點視窗上點3下，畫出點A、B、C。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="30%" width="30%" src="https://i.imgur.com/N0c5ks9.png">
<div style="text-align:center">新點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Wo8Hnbn.png">
<div style="text-align:center">隨意畫上的3個點</div>
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2. 如果要修改點的樣式，可以用在點C上按滑鼠右鍵開啟快速選單，點選最下方的屬性。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/vKJma1l.png">
<div style="text-align:center">在點C上按滑鼠右鍵開啟的快速選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/oP0zivw.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：一般</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/1g3tWNh.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：顏色</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/1HYZChM.png">
<div style="text-align:center">點C的屬性選單：樣式</div>
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3. 選取**多邊形**工具，依序在點A、B、C、A上各按滑鼠左鍵一下，繪製三角形。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/n3m35nQ.png">
<div style="text-align:center">多邊形工具選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/kUjSu5S.png">
<div style="text-align:center">三角形ABC</div>
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4. 選取**中心點**工具，在點A、B上各按滑鼠左鍵一下，畫出A、B的中點D，再用同樣的方式畫出B、C的中點E，C、A的中點F。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/DMqQC6D.png">
<div style="text-align:center">中心點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/w1r25Da.png">
<div style="text-align:center">三角形中點</div>
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5. 選取**線段**工具，在點A、E上各按滑鼠左鍵一下，畫出點A對應的中線，再用同樣的方式畫出另外兩點中線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="35%" width="35%" src="https://i.imgur.com/gwl6K8j.png">
<div style="text-align:center">線段工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/aWnEHPT.png">
<div style="text-align:center">三角形3條中線</div>
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6. 選取**交點**工具，在中線f、g、h其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫重心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/yAsvd0l.png">
<div style="text-align:center">交點工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/VAwxv0F.png">
<div style="text-align:center">三角形重心</div>
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7. 選取**勾選框**工具，在標籤框中輸入名稱**重心**，在下方的下拉選單中選取這個勾選框可以控制的物件線段f、g、h，點D、E、F、G，完成之後在勾選框按滑鼠左鍵一下，勾選取時才顯示以上這些物件。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="20%" width="20%" src="https://i.imgur.com/Ml3QhFU.png">
<div style="text-align:center">勾選框工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="70%" width="70%" src="https://i.imgur.com/B7oiBCR.png">
<div style="text-align:center">顯示／隱藏物件選單</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/n20YroG.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形重心</div>
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### 三角形內心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/8sGD1Yi.png">
<div style="text-align:center">三角形內心</div>
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三角形內心的定義為**3條角平分線交點**，因此我們需要先畫出3個角的角平分線，再用交點工具畫出3條角平分線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**角平分線**工具，在點A、B、C上各按滑鼠左鍵一下，畫出3個角的角平分線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/kmDYjlw.png">
<div style="text-align:center">角平分線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/N6272ac.png">
<div style="text-align:center">3個角的角平分線</div>
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2. 選取**交點**工具，在角平分線i、j、k其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫內心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/fhxeXmX.png">
<div style="text-align:center">三角形內心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線i、j、k、l、m、n以及點I。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/8sGD1Yi.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形內心</div>
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### 三角形外心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/wkuAySe.png">
<div style="text-align:center">三角形外心</div>
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三角形外心的定義為**3個邊的中垂線交點**，因此我們需要先畫出3個邊的中垂線，再用交點工具畫出3條中垂線交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**中垂線**工具，在3個邊（線段a、b、c）上各按滑鼠左鍵一下，畫出3個邊的中垂線。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/62Yksok.png">
<div style="text-align:center">中垂線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/jMWa5q8.png">
<div style="text-align:center">3個邊的中垂線</div>
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2. 選取**交點**工具，在中垂線p、q、r其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫外心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Rmo7XNW.png">
<div style="text-align:center">三角形外心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線p、q、r以及點O。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/wkuAySe.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形外心</div>
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### 三角形垂心

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/BEkJ5xO.png">
<div style="text-align:center">三角形垂心</div>
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三角形垂心的定義為**3個高的交點**，因此我們需要先畫出3個邊的高，再用交點工具畫出3個高的交點，詳細的步驟如下：

1. 選取**垂直線**工具，在點A、線段a上各按滑鼠左鍵一下，畫出經過點A的高，再用相同的方法畫出經過另外兩個頂點的高。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="25%" width="25%" src="https://i.imgur.com/T2Tnx3f.png">
<div style="text-align:center">垂直線工具</div>
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<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/qR8aaiF.png">
<div style="text-align:center">經過3個頂點的高</div>
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2. 選取**交點**工具，在直線d、s、t其中兩條上各按滑鼠左鍵一下，畫垂心。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/UJk7km3.png">
<div style="text-align:center">三角形垂心</div>
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3. 選取**勾選框**工具，用來控制是否顯示直線d、s、t以及點H。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/BEkJ5xO.png">
<div style="text-align:center">加上勾選框之後的三角形垂心</div>
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### 正三角形重心、內心、外心、垂心重合

用 GeoGebra 畫好的圖形是可以修改的，先將4個勾選框都選取，同時顯示重心、內心、外心、垂心，再用**移動**工具，用滑鼠左鍵拖曳點A、C，調整成正三角形，可以看到重心、內心、外心、垂心會重合。

<img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/Bqol7la.png">
<div style="text-align:center">正三角形重心、內心、外心、垂心重合</div>
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