# GeoGebra 教學 13：移動軌跡（擺線、圓的漸開線、內旋輪線）

> 作者：王一哲
> 日期：2020/10/29

本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案。

1. 擺線 https://ggbm.at/kzpn3t84
2. 圓的漸開線 https://ggbm.at/yeynmwq4
3. 內旋輪線 https://ggbm.at/gtfpszmn
4. 內旋輪線圖西對 (Tusi couple) https://ggbm.at/mqsrhqeg

## 擺線

### 原理

假設有一個半徑為 $r$ 的小球在水平地面上純滾動，球心O點向右前進的速度為 $v$，小球繞O點順時鐘方向轉動的角速度為 $\omega$，由於小球與地面接觸點沒有相對滑動，因此

$$
v = r \omega
$$

則圓周上的某個點P移動的軌跡為**擺線** (cycloid)，若用參數式可以表示為

$$
x = r (t - \sin t) ~~~~~ y = r (1 - \cos t)
$$

以下是使用 GeoGebra 繪製擺線的方法及成果。

<img height="100%" width="100%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/vfN7g2.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫</div>
<br />

### 繪圖步驟

1. 輸入指令設定半徑r、速度v、角速度ω、週期T。

    r = 1
    v = 1
    ω = v/r
    T = 2*π/ω

2. 輸入指令設定控制時間 time 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為**遞增（一次）**。

    time = Slider(0, 3*T, 0.01*T)

3. 輸入指令圓心位置x坐標值 $x_O$。

    x_O = v*times

4. 輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。

    O = Point({x_O, r})
    c = Circle(O, r)

<img height="40%" width="40%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/Mbwx5G.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟1 ~ 4</div>
<br />

5. 使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的正下方。

6. 輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的P點，再隱藏點A。

    P = Rotate(A, (-ω*time/π*180)°, O)

<img height="40%" width="40%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/0pLyif.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟5、6</div>
<br />

7. 於P點上按滑鼠右鍵選取**顯示移動軌跡**或使用以下指令設定。

    SetTrace(P, True)

<img height="30%" width="30%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/hzLW9o.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟7</div>
<br />

8. 輸入指令用參數式畫出擺線。

    a = Curve(r*(t - sin(t), r*(1- cos(t))), t, 0, 6*π)

<img height="100%" width="100%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/IWTMQp.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟8</div>
<br />

9. 於數值滑桿 time 上按滑鼠右鍵選取**開始動畫**，點P的移動軌跡與使用參數式繪製的擺線會重疊。

<img height="100%" width="100%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/O4Pmc2.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟9</div>
<br />

10. 若要清除移動軌跡，可以從選單點選**檢視** ⇒ **清除所有痕跡** 或按快速鍵 **Ctrl + F**。

<img height="30%" width="30%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/8r57JR.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟10</div>
<br />

<img height="100%" width="100%" src="https://upload.cc/i1/2020/10/29/vfN7g2.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫</div>
<br />

---

## 圓的漸開線

### 原理

漸開線的英文為 involute 或 evolute。假設B為圓周上的點，B點繞圓心O旋轉的弧長為L，在過B點的切線上有一個P點，BP的距離等於 L，則P點的軌跡為圓的漸開線，圓的漸開線常用來作為齒輪邊緣的形狀。若使用參數式則為

$$
x = a (\cos t + t \sin t)
$$
$$
y = a (\sin t - t \cos t)
$$

以下是使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線成果。

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/61hw3Zu.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫</div>
<br />

### 繪圖步驟

1. 輸入指令設定半徑r、角速度ω、週期T。

    r = 1
    ω = 1
    T = 2*π/ω

2. 輸入指令設定控制時間 t 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為**遞增（一次）**。

    t = Slider(0, 2*T, 0.01*T)

3. 輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。

    O = Point({0, 0})
    c = Circle(O, r)

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/9IQCx8P.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟1 ~ 3</div>
<br />

4. 使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的左方。

5. 輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的B點，再隱藏點A。

    B = Rotate(A, -ω t, O)

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/B7NARqX.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟4、5</div>
<br />

6. 輸入指令計算B點繞著O點旋轉的弧長 arclen。

    arclen = r*ω*t

7. 輸入指令新增射線OB並命名為f。

    f = Ray(O, B)

8. 輸入指令新增通過B點的切線g。

    g = Tangent(B, c)

9. 使用點工具於切線g上、B點的下方新增C點。

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/g0gpNS9.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟6 ～ 9</div>
<br />

10. 輸入指令新增通過B、C點的向量u，計算向量u的單位向量direct。

    u = Vector(B, C)
    direct = u / Length(u)

11. 輸入指令將B向沿著向量direct的方向平移距離arclen，平移後的點命名為P。

    P = Translate(B, direct*arclen)

12. 顯示移動P點的移動軌跡。

    SetTrace(P, True)

13. 輸入指令通過B、P點的射線h。

    h = Ray(B, C)

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/Bco693s.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步10 ~ 13</div>
<br />

14. 輸入指令用參數式畫出圓的漸開線，由於t已經被用來表示時間，故參數式中改用t1。

    theory = Curve((-r*(cos(t1) + t1*sin(t1)), r*(sin(t1) - t1*cos(t1))), t1, 0, 4*π)

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/61hw3Zu.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫</div>
<br />

---

## 內旋輪線

### 原理

小時候有一種玩具，將一個小的圓板放在一個大的圓內側，接著用原子筆插在小圓板的某個洞中，用力地將小圓板貼著大圓內側轉動就可以畫出很複雜的圖案，這個玩具的名稱是**萬花尺** (spirograph)。

<img height="80%" width="80%" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spirograph.jpg/1024px-Spirograph.jpg" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">萬花尺（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Spirograph.jpg）</div>
<br />

萬花尺應用到的數學原理名為**內旋輪線** (hypotrochoid)，以下是它的參數式。

$$
x(\theta) = (R-r) \cos \theta + d \cos \left( \frac{R-r}{r} \theta \right)
$$
$$
y(\theta) = (R-r) \sin \theta - d \sin \left( \frac{R-r}{r} \theta \right)
$$
<br />

以下是從維基百科上找到的例子，我們接下來試著用 GeoGebra 畫出同樣的圖。
<img height="50%" width="50%" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/HypotrochoidOutThreeFifths.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">內旋輪線動畫，R = 5，r = 3，d = 5（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/HypotrochoidOutThreeFifths.gif）</div>
<br />

<img height="50%" width="50%" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Ellipse_as_hypotrochoid.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">內旋輪線動畫，R = 10，r = 5，d = 1，圖西對 (Tusi couple)（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Ellipse_as_hypotrochoid.gif）</div>
<br />

### 繪圖步驟

1. 使用以下指令新增大圓圓心 O₁、小圓半徑 r₂、角速度 ω 、週期 T。

O_1 = Point({0, 0})
r_2 = 3
ω = 0.1
T = 2 * π /ω

<br />

2. 使用以下指令新增控制大圓半徑 r₁ 與小圓半徑 r₂ 比值的數值滑桿 ration，如果為了畫出 r₁ : r₂ = 5 : 3 的圖形，可以在數值滑桿上連點滑鼠左鍵兩下，手動輸入量值 5/3。

ratio = Slider(1.1, 3, 0.1)

<br />

3. 使用以下指令新增大圓半徑 r₁、小圓圓心 O₃。

r_1 = ratio * r_2
O_3 = Point({r_1 - r_2, 0})

<br />

4. 使用以下指令新增時間的數值滑桿 t，為了使動畫執行時比較流暢，可以適當地調整動畫速度。由於 r₁ : r₂ = 5 : 3 、 d = 5 的圖形小圓需要轉動3次才能畫完，要將 t 的最大值設為 3T；如果是 r₁ : r₂ = 2 : 1、d = 1 的圖形小圓只需要轉動1次就能畫完，可以將 t 的最大值設為 T 即可。

t = Slider(0, 3*T, T/200)

<br />

5. 使用以下指令新增旋轉後的小圓圓心 O₂。

O_2 = Rotate(O_3, ω*t, O_1)

<br />

6. 使用以下指令新增大圓、小圓。

c = Circle(O_1, r_1)
d = Circle(O_2, r_2)

<br />

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/iIVdzRK.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟1 - 6</div>
<br />

7. 使用以下指令於小圓上新增點A以及繞圓心 O₂ 旋轉的點B。

A = Point(d)
B = Rotate(A, -ω (r_1 - r_2) / r_2 * t, O_2)

<br />

8. 使用以下指令新增通過點B、O₂ 的射線，再於射線上新增要繪製軌跡的點 P。

f = Ray(B, O_2)
P = Point(f)
SetTrace(P, True)

<br />

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/e90sv4c.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟7 - 8</div>
<br />

9. 隱藏不需要用到的物件，於數值滑桿 t 上點擊滑鼠右鍵再點選**開始動畫**，就可以看到以下的動畫。

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/Mb3RtqK.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的內旋輪線動畫，R = 5，r = 3，d = 5</div>
<br />

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/NYeGpkE.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的內旋輪線動畫，R = 10，r = 5，d = 1，圖西對 (Tusi couple)</div>
<br />

10. 如果想要加上理論曲線，兩種圖形對應的指令如下。

theory = Curve((r_1 - r_2) cos(θ) + 5*cos((r_1 - r_2) / r_2 θ), (r_1 - r_2) sin(θ) - 5*sin((r_1 - r_2) / r_2 θ), θ, 0, 6*π)
theory = Curve((r_1 - r_2) cos(θ) + cos((r_1 - r_2) / r_2 θ), (r_1 - r_2) sin(θ) - sin((r_1 - r_2) / r_2 θ), θ, 0, 2*π)

<br />

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/eQnyh4k.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的內旋輪線，R = 5，r = 3，d = 5</div>
<br />

<img height="60%" width="60%" src="https://i.imgur.com/oWqckau.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的內旋輪線，R = 10，r = 5，d = 1，圖西對 (Tusi couple)</div>
<br />

---

## 參考資料

1. 國立台中教育大學科學教育與應用學系科學遊戲實驗室。千變萬花尺。2021年8月9日，取自 http://scigame.ntcu.edu.tw/paper/paper-025.html
2. 維基百科。萬花尺。2021年8月9日，取自 https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph
3. 維基百科。內旋輪線。2021年8月9日，取自 https://en.wikipedia.org/wiki/Hypotrochoid
<br />

---

## 相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point
3. 圓 https://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
4. 旋轉 https://wiki.geogebra.org/en/Rotate_Command
5. 射線 https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command
6. 切線 https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command
7. 向量 https://wiki.geogebra.org/en/Vector
8. 設定軌跡 https://wiki.geogebra.org/en/SetTrace_Command
9. 曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Curve_Command

<br />

---

###### tags:`GeoGebra`