# 103指考物理科

> 作者：王一哲
> 日期：2020/5/18

<br />

24. 如圖8，電動勢為 0.10 V 的電池，連接一安培計A，兩者的內電阻均可忽略。電池的一端連接一長度為 1.0 m 導線的右端，安培計的另一端接上導線的某一點，x為接點與導線左端的距離，導線由一段鎢線（電阻率為 $5.6 \times 10^{-8} ~\mathrm{\Omega \cdot m}$）和一段銅線（電阻率為 $2.8 \times 10^{-8} ~\mathrm{\Omega \cdot m}$）串接而成，其截面積相同。由安培計測得的電流I，所推得的電路總電阻R和x的關係如圖9。下列選項哪些正確？
(A) 鎢線在左，長度為 0.3 m
(B) 銅線在左，長度為 0.3 m
\(C\) 導線的截面積約為 $1.0 \times 10^{-8} ~\mathrm{m^2}$
(D) 當 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電路的總電阻約為 $38 ~\mathrm{\Omega}$
(E) 當 $x = 0.5 ~\mathrm{m}$ 時，電池消秏的功率約為 0.36 W

<img height="40%" width="40%" src="https://i.imgur.com/p9AVP9n.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖8</div>
<br />

<img height="80%" width="80%" src="https://i.imgur.com/mIzdVqO.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖9</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：電流
<span style="color:blue">詳解</span>：

由於電阻值在 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 處有很明顯的變化，可以判斷此處為兩種材質的導線連接處。假設左側的導線電阻率為 $\rho_1$、右側的導線電阻率為 $\rho_2$，當 $0 \leq x < 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值為
$$
R_1 = \rho_1 \cdot \frac{0.3-x}{A} + \rho_2 \cdot \frac{0.7}{A}
$$
因此 $R - x$ 關係圖的斜率
$$
m_1 = -\frac{\rho_1}{A}
$$
當 $0.3 \leq x < 1.0 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值為
$$
R_2 = \rho_2 \cdot \frac{0.7-x}{A}
$$
因此 $R - x$ 關係圖的斜率
$$
m_2 = -\frac{\rho_2}{A}
$$
由圖中可以看出 $m_1 < m_2$，因此左側為銅、右側為鎢，A錯、B對。

取 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 處計算電阻值可得
$$
38 \times 10^{-3} = 5.6 \times 10^{-8} \times \frac{0.7}{A} ~\Rightarrow~ A \approx 1.0 \times 10^{-6} ~\mathrm{m^2}
$$
C錯。

由圖9可知，當 $x = 0.3 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值約為 $38 \times 10^{-3} ~\mathrm{\Omega}$，D錯。

由圖9可知，當 $x = 0.5 ~\mathrm{m}$ 時，電阻值約為 $28 \times 10^{-3} ~\mathrm{\Omega}$，耗電功率為
$$
P = \frac{V^2}{R} = \frac{0.10^2}{28 \times 10^{-3}} \approx 0.36 ~\mathrm{W}
$$
E對。

---

###### tags:`Physics`