擺線與軌跡

作者：王一哲
日期：2020/10/29

原理

假設有一個半徑為

$r$ 的小球在水平地面上純滾動，球心O點向右前進的速度為

$v$，小球繞O點順時鐘方向轉動的角速度為

$\omega$，由於小球與地面接觸點沒有相對滑動，因此

$$v=r\omega$$

則圓周上的某個點P移動的軌跡為擺線 (cycloid)，若用參數式可以表示為

$$x=r(t-\sin t)y=r(1-cost)$$

以下是使用 GeoGebra 繪製擺線的方法及成果。

使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫

繪圖步驟

1. 輸入指令設定半徑r、速度v、角速度、週期T。

   ​​​​r = 1
   ​​​​v = 1
   ​​​​ω = v/r
   ​​​​T = 2*π/ω
   

2. 輸入指令設定控制時間 time 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為遞增（一次）。

   ​​​​time = Slider(0, 3*T, 0.01*T)
   

3. 輸入指令圓心位置x坐標值

   $x_O$。
   ​​​​x_O = v*times
   

4. 輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。

   ​​​​O = Point({x_O, r})
   ​​​​c = Circle(O, r)
   

繪圖步驟1 ~ 4

5. 使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的正下方。

6. 輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的P點，再隱藏點A。

   ​​​​P = Rotate(A, (-ω*time/π*180)°, O)
   

繪圖步驟5、6

7. 於P點上按滑鼠右鍵選取顯示移動軌跡或使用以下指令設定。
   ​​​​SetTrace(P, True)
   

繪圖步驟7

8. 輸入指令用參數式畫出擺線。
   ​​​​a = Curve(r*(t - sin(t), r*(1- cos(t))), t, 0, 6*π)
   

繪圖步驟8

9. 於數值滑桿 time 上按滑鼠右鍵選取開始動畫，點P的移動軌跡與使用參數式繪製的擺線會重疊。

繪圖步驟9

10. 若要清除移動軌跡，可以從選單點選檢視 ⇒ 清除所有痕跡 或按快速鍵 Ctrl + F。

繪圖步驟10

使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫

相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point
3. 圓 https://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
4. 旋轉 https://wiki.geogebra.org/en/Rotate_Command
5. 設定軌跡 https://wiki.geogebra.org/en/SetTrace_Command
6. 曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Curve_Command

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