# 擺線與軌跡

> 作者：王一哲
> 日期：2020/10/29

## 原理

假設有一個半徑為 $r$ 的小球在水平地面上純滾動，球心O點向右前進的速度為 $v$，小球繞O點順時鐘方向轉動的角速度為 $\omega$，由於小球與地面接觸點沒有相對滑動，因此

$$
v = r \omega
$$

則圓周上的某個點P移動的軌跡為**擺線** (cycloid)，若用參數式可以表示為

$$
x = r (t - \sin t) ~~~~~ y = r (1 - cos t)
$$

以下是使用 GeoGebra 繪製擺線的方法及成果。

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/i9MadPG.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫</div>
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## 繪圖步驟

1. 輸入指令設定半徑r、速度v、角速度、週期T。

    r = 1
    v = 1
    ω = v/r
    T = 2*π/ω

2. 輸入指令設定控制時間 time 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為**遞增（一次）**。

    time = Slider(0, 3*T, 0.01*T)

3. 輸入指令圓心位置x坐標值 $x_O$。

    x_O = v*times

4. 輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。

    O = Point({x_O, r})
    c = Circle(O, r)

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/9Ny5aT4.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟1 ~ 4</div>
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5. 使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的正下方。

6. 輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的P點，再隱藏點A。

    P = Rotate(A, (-ω*time/π*180)°, O)

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/GxzZLsr.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟5、6</div>
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7. 於P點上按滑鼠右鍵選取**顯示移動軌跡**或使用以下指令設定。

    SetTrace(P, True)

<img height="30%" width="30%" src="https://imgur.com/rI4RoZj.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟7</div>
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8. 輸入指令用參數式畫出擺線。

    a = Curve(r*(t - sin(t), r*(1- cos(t))), t, 0, 6*π)

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/yCVhvyR.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟8</div>
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9. 於數值滑桿 time 上按滑鼠右鍵選取**開始動畫**，點P的移動軌跡與使用參數式繪製的擺線會重疊。

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/TAgQiVc.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟9</div>
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10. 若要清除移動軌跡，可以從選單點選**檢視** ⇒ **清除所有痕跡** 或按快速鍵 **Ctrl + F**。

<img height="30%" width="30%" src="https://imgur.com/E3s1HZe.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">繪圖步驟10</div>
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<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/i9MadPG.gif" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫</div>
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## 相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point
3. 圓 https://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
4. 旋轉 https://wiki.geogebra.org/en/Rotate_Command
5. 設定軌跡 https://wiki.geogebra.org/en/SetTrace_Command
6. 曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Curve_Command

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