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> 作者：王一哲
> 日期：2023年7月12日

<br />

## 試題與詳解

### 第壹部分、選擇題（占69分） 單選題（占33分）

1. 下列選項的因次何者與能量因次不同？
(A) 質量乘以速率平方　　　(B) 力矩乘以角度　　　\(C\) 壓力乘以體積
(D) 衝量乘以時間　　　　　(E) 電量乘以電壓

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：物理量的因次
<span style="color:blue">詳解</span>：
能量的單位為 $\mathrm{J = N \cdot m = kg \cdot m^2/s^2}$，因次為 $\mathrm{ML^2 T^{-2}}$。
A 錯，質量乘以速率平方的單位為 $\mathrm{kg \cdot m^2/s^2}$，因次為 $\mathrm{ML^2 T^{-2}}$。
B 錯，力矩乘以角度的單位為 $\mathrm{N \cdot m = kg \cdot m^2/s^2}$，因次為 $\mathrm{ML^2 T^{-2}}$。
C 錯，壓力乘以體積的單位為 $\mathrm{N/m^2 \cdot m^3 = N \cdot m = kg \cdot m^2/s^2}$，因次為 $\mathrm{ML^2 T^{-2}}$。
D 對，衝量乘以時間的單位為 $\mathrm{N \cdot s \cdot s = kg \cdot m}$，因次為 $\mathrm{ML}$。
E 錯，電量乘以電壓的單位為 $\mathrm{C \cdot V = J = kg \cdot m^2/s^2}$，因次為 $\mathrm{ML^2 T^{-2}}$。
<br />

2. 下列關於電磁波的敘述，何者正確？
(A) 電磁波為縱波
(B) 可見光是電磁波，在真空中與介質中均以相同速率傳播
\(C\) 電磁波與力學波一樣都有反射、折射、 干涉與繞射現象
(D) 相同強度的電磁波頻率越高，在真空中傳播的速率越快
(E) 只要電場和磁場同時存在，便會產生交互作用而形成電磁波

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：電磁波
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，電磁波為横波。
B 錯，可見光在介質中的速率比在真空中慢。
C 對。
D 錯，所有頻率的電磁波在真空中的速率皆為 $3 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$。
E 錯，隨時間變化的電場和磁場才會形成電磁波。
<br />

3. 珠寶商使用最小刻度為 1 mg 的電子秤測量金飾質量5次，求得平均值為 $m_{AV}$，標準差為 $SD$。若以 $u_A$、$u_B$ 與 $u_C$ 分別代表標準的A類、B類與組合不確定度，且已知分析過程計算機顯示 $m_{AV}$ 為 95.367823 g、$u_C$ 為 0.35686524 mg，則下列選項何者正確？
(A) $u_A = SD / 4$
(B) $u_B = 1 ~\mathrm{mg}$
\(C\) $u_C = (u_A + u_B)/2$
(D) 金飾質量的報告應為 $m_{AV} = 95.4 ~\mathrm{g}$，$u_C = 0.4 ~\mathrm{mg}$
(E) 金飾質量的報告應為 $m_{AV} = 95.36782 ~\mathrm{g}$，$u_C = 0.36 ~\mathrm{mg}$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：不確定度
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，$u_A = \frac{SD}{\sqrt N} = \frac{SD}{\sqrt 5}$。
B 錯，$u_B = \frac{\mathrm{最小刻度}}{2 \sqrt 3} = \frac{1}{2 \sqrt 3} = 0.29 ~\mathrm{mg}$。
C 錯，$u_C = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}$。
D 錯、E 對，不確定度保留2位有效數字，第3位為0則捨去，第3位為1到9則進位；最佳估計值（平均值）為4捨5入到與不確定度相同的位數，因此 $u_C = 0.36 ~\mathrm{mg}$，$m_{AV} = 95.36782 ~\mathrm{g}$。
<br />

4. 空間中有相距 $2d$ 的兩靜止點電荷，已知將此兩點電荷緩慢移近至相距 $d$ 靜止，需作功 $W$。若再將兩點電荷緩慢移近至相距 $d/5$ 靜止，則需再作多少功？
(A) $10W$　　　(B) $8W$　　　\(C\) $5W$　　　(D) $4W$　　　(E) $W$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：靜電學
<span style="color:blue">詳解</span>：
若以距離無窮遠處電位能為0，假設兩個靜止點電荷的電量分別為 $Q$、$q$，兩者相距 $2d$ 時電位能
$$
U_{2d} = \frac{kQq}{2d}
$$
兩者相距 $d$ 時電位能
$$
U_{d} = \frac{kQq}{d}
$$
電位能變化等於外力作功
$$
W = U_{d} - U_{2d} = \frac{kQq}{d} - \frac{kQq}{2d} = \frac{kQq}{2d} ~\Rightarrow~ \frac{kQq}{d} = 2W
$$

若再將兩點電荷緩慢移近至相距 $d/5$ 時，電位能
$$
U_{d/5} = \frac{kQq}{\frac{d}{5}} = \frac{5kQq}{d}
$$
需要再作功
$$
W' = U_{d/5} - U_d = \frac{5kQq}{d} - \frac{kQq}{d} = \frac{4kQq}{d} = 8W
$$
<br />

5. 某生設計了一個不需使用計時器而可量測重力加速度的實驗。他選用了一個彈力常數為 $k$、自然長度為 $l$、繫有質量為 $m$ 之質點的彈簧，使其作水平面之簡諧運動。再以一個擺長為 $L$、擺錘不計體積、質量為 $M$ 的單擺，調整其擺長 $L$， 使兩個系統之簡諧運動的週期相同，則其所測得的重力加速度量值為何？
(A) $lM/k$　　　(B) $Lm/k$　　　\(C\) $LM/k$　　　(D) $lk/M$　　　(E) $Lk/m$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：週期運動
<span style="color:blue">詳解</span>：
水平面之簡諧運動週期
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
$$
單擺週期
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$$
若兩者週期相同，則
$$
2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} ~\Rightarrow~ g = \frac{kL}{m}
$$
<br />

6. 某一雜技表演者用五顆相同的小球做單手拋球表演，由同一高度依次將各球略微偏離鉛直方向、向上拋出，當球回到原本被拋出的高度時，以同一隻手將球接住，然後水平移動到拋出點，再拋出，如圖1所示的逆時針軌跡。每次拋球的時間間隔固定為 $\tau$，初速的鉛直分量皆為 $v_0$，各球的運動軌跡相同，形成連續的循環。過程中，在空中而不在手中的球至少有四顆。假設重力加速度的量值為 $g$，且空氣阻力可忽略，則下列選項何者正確？
(A) $v_0$ 可以是 $g \tau/2$
(B) $v_0$ 可以是 $g \tau$
\(C\) 每一小球在空中的時間可以是 $3\tau$
(D) 小球在最高點時離拋出點的鉛直距離可以是 $g \tau^2 / 2$
(E) 小球在最高點時離拋出點的鉛直距離一定大於 $2g \tau^2$

<img height="20%" width="20%" src="https://imgur.com/1njAG0U.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖1</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：E
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：直線運動
<span style="color:blue">詳解</span>：
最極端的狀況為一顆小球在手上準備抛出，另外4顆球在空中，而且其中一顆快要落回手上，若小球在空中停留的時間為
$$
t = \frac{2 v_0}{g}
$$
$$
t = 4 \tau ~\Rightarrow~ \tau = \frac{v_0}{4} = \frac{v_0}{2g} ~\Rightarrow~ v_0 = 2g \tau
$$
因此 A、B、C 皆錯。

若小球抛出的最大高度為 $h$
$$
0^2 = v_0^2 + 2(-g)h ~\Rightarrow~ h = \frac{v_0^2}{2g} = 2g \tau^2
$$
D 錯、E 對。
<br />

7. 在光電效應實驗中，若入射光頻率固定，僅增加光的強度，而其餘條件不變，則增加的是下列光子的哪個物理量？
(A) 單一光子的能量　　　(B) 單位時間入射的光子總數　　　\(C\) 單一光子的動量
(D) 光子速度　　　　　　(E) 光子質量

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，單一光子的能量 $E = hf$，不變。
B 對。
C 錯，單一光子的動量 $p = E/c = hf/c$，不變。
D 錯，光子速度仍為光速，不變。
E 錯，光子沒有靜止質量。
<br />

**8 - 9題為題組**
一質量為 $m$ 的小木塊，前方繫有一理想彈簧，如圖2所示。此系統由光滑斜面頂端自靜止滑下，進入光滑水平面後正向撞上鉛直牆面，彈簧因被壓縮而使木塊減速，並將木塊原本的動能轉換為彈簧位能，之後木塊在某一瞬間停止不動，定義此為終點。木塊自初始靜止至終點的整個過程，木塊下降的鉛直高度為 $h$，令重力加速度為 $g$，且過程中力學能守恆、系統到達最大速率前尚未撞上牆面，回答下列問題。

<img height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/NdSGd5Q.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖2</div>
<br />

8. 下列敘述何者正確？
(A) 木塊所達到的最大動能為 $mgh$
(B) 整個過程中，彈簧對木塊所作的功為正值，且等於 $mgh$
\(C\) 彈簧的彈性位能在終點時比在初始靜止時增加 $mgh / 2$
(D) 木塊在終點的瞬間，彈簧對牆面的水平作用力量值必小於 $mg$
(E) 彈簧被壓縮的過程中，木塊進行等加速運動

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：力學能守恆
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，木塊下滑到水平面時，將所有的重力位能轉換成動能，因此 $K_{max} = mgh$。
B 錯，彈簧對木塊所作的功為負值，使木塊的動能減為0，因此 $W = -mgh$。
C 錯，木塊的重力位能全部轉換成彈簧的彈性位能，因此彈性位能增加 $mgh$。
D 錯，假設彈簧最大壓縮量為 $x$，由力學能守恆可得
$$
mgh = \frac{1}{2}kx^2 ~\Rightarrow~ x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} ~\Rightarrow~ F_s = kx = \sqrt{2mghk}
$$
E 錯，彈簧壓縮過程壓縮量、彈力隨時間變化，因此木塊不是等加速度運動。
<br />

9. 考慮木塊的速率 $v$ 對時間 $t$ 的變化，下列圖形何者正確？

<img height="90%" width="90%" src="https://imgur.com/LFkhLfM.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：B
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
木塊於斜面下滑的過程為等加速度運動，$v - t$ 圖第1段為由原點開始、斜率為正的斜直線；當彈簧剛碰到牆壁時，彈簧壓縮量小、加速度為負且量值小，當彈簧碰到牆壁一段時間後，彈簧壓縮量大、加速度為負且量值大；因此最適合的答案為B。
<br />

10. 當物質顆粒或材料結構在奈米尺度時，會表現出有別於傳統材料的新穎物理性質。同學查閱奈米科技相關文獻時發現：如圖3所示，黃金的熔點會隨粒徑變小而減小，將展現新穎的物理性質。下列同學對此圖的解讀與推論，何者正確？
(A) 粒徑變小趨近於零時，熔點亦趨近於零
(B) 材料變為奈米尺度時不存在固液氣三態
\(C\) 粒徑變小時之熔點變化是由於量測困難所造成
(D) 當粒徑小於5奈米時，粒子的熔點急遽變小
(E) 當粒徑大於20奈米時，粒子的熔點急遽變大

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/n85cynL.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖3</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：圖表判讀
<span style="color:blue">詳解</span>：
能夠從圖中判斷的是D、E選項，當粒徑小於 5 nm 時粒子的熔點急遽變小，大於 20 nm 時粒子的熔點趨近於 1300 K。
<br />

11. 機車在排放廢氣時，常伴隨很大的噪音。利用干涉型消音器可以減低此類噪音，其設計概念如圖4所示。當聲波抵達甲點時使其分為兩股不同路徑，分別行經上方虛線與下方點線，最後在排氣管的乙點會合。假設某機車排氣管內的主要噪音波長為 1.0 公尺，則下列選項中，兩路徑的長度相差為多少公尺時可以最有效減低噪音？
(A) 2.0　　　(B) 1.0　　　\(C\) 0.75　　　(D) 0.50　　　(E) 0.25

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/Om9JPoA.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖4</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：D
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：聲波
<span style="color:blue">詳解</span>：
最有效減低噪音，表示兩道聲波發生完全破壞性干涉，兩路徑的長度差即為波程差，為半波長的奇數倍，因此
$$
\delta = 0.50, 1.5, 2.5, \dots ~\mathrm{m}
$$
<br />

12. 1868年法國天文學者發現來自太陽的光譜有幾道特殊的暗紋，推斷是新元素的特性光譜，這個新元素就以太陽的希臘文命名為氦。已知太陽光譜會出現上述暗紋的原因，是因為氦原子會吸收特定頻率的入射光子所造成的，則下列敘述何者正確？
(A) 某元素光譜的暗紋頻率和氦原子光譜的暗紋頻率相同，則此元素一定是氦
(B) 會出現暗紋是因為氦原子會將特定頻率光子繞射到不同的方向
\(C\) 氦原子光譜的暗紋頻率和氫原子光譜的暗紋頻率完全相同
(D) 氦原子光譜的暗紋頻率和氖原子光譜的暗紋頻率完全相同
(E) 會出現暗紋其實就是因為氦原子會被入射光游離

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對。
B、E 錯，暗紋是因為連續光譜中特定波長的光被氦原子吸收而形成。
C、D 錯，不同元素會吸收的光波波長不同。
<br />

13. 甲、乙兩顆大小相同但質量不同的均勻小球，自同一高度以不同的初速水平拋出，落在平坦的地面上。已知甲球的質量為乙球的4倍，但甲球的初速為乙球的一半。若不計空氣阻力，則下列敘述何者錯誤？
(A) 乙球的水平射程較大　　　　　　　(B) 兩球在空中的飛行時間相等
\(C\) 落地前瞬間，乙球的動能較大　　　(D) 落地前瞬間，兩球的加速度相等
(E) 落地前瞬間，兩球速度的鉛直分量相等

<span style="font-weight:bold">答案</span>：C
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：直線運動、力學能守恆
<span style="color:blue">詳解</span>：
B 對，由鉛直方向位移可得球在空中的飛行時間，若抛出時離地高度為 $h$，則
$$
h = \frac{1}{2} gt^2 ~\Rightarrow~ t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
$$

A 對，若水平初速為 $v_0$，則水平射程
$$
R = v_0 t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} \propto v_0
$$

C 錯，落地前瞬間兩球動能分別為
$$
K_{\mathrm{甲}} = 4mgh + \frac{1}{2} \cdot 4m \cdot \left( \frac{v_0}{2} \right)^2 = 4mgh + \frac{1}{2}mv_0^2
$$
$$
K_{\mathrm{乙}} = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2
$$
因此 $K_{\mathrm{甲}} > K_{\mathrm{乙}}$。

D 對，落地前瞬間兩球的加速度皆為重力加速度 $g$。

E 對，落地前瞬間，兩球速度的鉛直分量皆為 $v_y = \sqrt{2gh}$。
<br />

### 二、多選題 （占30分）

14. 某生練習紙牌魔術，將一疊紙牌水平整齊放置在桌面上，用右手食指以量值為 $N$ 的正向力向下壓，然後向前水平推動，除了最上方數來第一張紙牌向前水平滑出之外，其他的紙牌皆不動、維持在原來的位置上。假設每一張紙牌的質量皆為 $m$，紙牌與紙牌之間的靜摩擦係數與動摩擦係數分別為 $\mu_s$ 與 $\mu_k$，第一張紙牌與第二張紙牌之間作用力的水平分量量值為 $F_{12}$，第二張紙牌與第三張紙牌之間作用力的水平分量量值為 $F_{23}$，以此類推。令重力加速度為 $g$，且只考慮摩擦力、重力與手指下壓的力，則下列關於第一張紙牌滑出之過程中的選項哪些正確？
(A) $F_{12} = F_{23}$　　　　　　　(B) $F_{12} = \mu_k (N+2mg)$　　　\(C\) $F_{23} = \mu_k (N+2mg)$
(D) $F_{23} \leq \mu_s (N+2mg)$　　(E) $F_{12} ＝ \mu_k (N+mg)$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：ADE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：難
<span style="color:red">章節</span>：牛頓運動定律
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，由於第二張牌不動，水平方向合力為0，因此第一張牌對第二張牌的水平力與第三張牌對第二張牌的水平力大小相等、方向相反。

B 錯、E 對，第二張紙牌對第一張紙牌的正向力 $N_{21} = N + mg$，由於第一張紙牌可以滑動，兩者之間的水平力為動摩擦力，因此 $F_{12} ＝ \mu_k (N+mg)$。

C 錯、D 對，第三張紙牌對第二張紙牌的正向力 $N_{32} = N + 2mg$，由於除了第一張紙牌以外其它的牌皆不動，代表兩者之間的水平力小於最大靜摩擦力，因此 $F_{23} \leq \mu_s (N+m2g)$。
<br />

15. 某生查得太陽系中行星的基本資料如表1所示。

<div style="text-align:center">表1</div>
<div style="text-align:center">
<table>

| <center>行星名稱</center> | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 | 天王星 | 海王星 |
| ------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 與太陽的平均距離 | 0.39 | 0.72 | 1.0 | 1.52 | 5.20 | 9.57 | 19.17 | 30.18 |
| 質量 | 0.055 | 0.82 | 1.0 | 0.11 | 317.8 | 95.2 | 14.5 | 17.1 |
| 公轉週期 | 0.241 | 0.615 | 1.0 | 1.88 | 11.9 | 29.4 | 83.7 | 164 |
| 自轉週期 | 58.8 | 244 | 1.0 | 1.03 | 0.415 | 0.445 | 0.720 | 0.673 |

</table>
</div>
<br />

表1中的平均距離、質量、公轉週期、自轉週期等數值，皆是以地球的值設為1時的比值。假設這些行星皆繞太陽作等速率圓周運動，則下列有關表中行星數據的觀察或推論，哪些正確？
(A) 離太陽越遠的行星，其公轉角速率越小
(B) 離太陽越遠的行星，其自轉角速率越小
\(C\) 離太陽越遠的行星，其繞日運行的速率越小
(D) 離太陽越遠的行星，其繞日的角動量量值越小
(E) 離太陽越遠的行星，其所受太陽的重力量值越小

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AC
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，角速率 $\omega = \frac{2 \pi}{T} \propto \frac{1}{T}$，離太陽越遠的行星公轉週期越長、公轉角速率越小。

B 錯，角速率 $\omega = \frac{2 \pi}{T} \propto \frac{1}{T}$，行星自轉週期、自轉角速率與行星到太陽距離無關。

C 對，繞日運行的速率 $v = \frac{2 \pi r}{T} \propto \frac{r}{T}$，8個行星的繞日運行的速率比約為 $1.62 : 1.17 : 1.00 : 0.81 : 0.44 : 0.33 : 0.23 : 0.18$。

D 錯，繞日的角動量量值 $L = rmv = rm \cdot \frac{2 \pi r}{T} \propto \frac{mr^2}{T}$，8個行星的繞日的角動量量值比約為 $0.35 : 0.69 : 1.00 : 0.14 : 722 : 297 : 63.7 : 95.0$。

E 錯，行星受到太陽的重力 $F = \frac{GMm}{r^2} \propto \frac{m}{r^2}$，8個行星受到太陽的重力比約為 $3.62 : 1.58 : 1.00 : 0.048 : 11.76 : 1.04 : 0.039 : 0.019$。
<br />

16. 有一環繞地球、原本保持圓周運動的人造衛星，因故失去可微調軌道使保持固定速率的動力，現受空氣阻力影響造成其離地高度逐漸變小。假設人造衛星的質量始終不變，在其失去動力後，下列敘述哪些正確？
(A) 動量量值始終不變　　　(B) 角動量量值逐漸變小　　　\(C\) 總力學能逐漸變小
(D) 重力位能逐漸變大　　　(E) 重力位能逐漸變小

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BCE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：重力、力學能守恆
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯，人造衛星受到地球的重力作為繞地球公轉的向心力
$$
\frac{GMm}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r} ~\Rightarrow~ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
$$
動量量值
$$
p = mv = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \propto \frac{1}{\sqrt r}
$$

B 對，角動量量值
$$
L = rmv = rm \sqrt{\frac{GM}{r}} = m \sqrt{GMr}
$$
註：理論上題目需要指定角動量的參考點才能計算角動量量值，雖然大部分的題目預設的參考點為地心，但是分科測驗的題目應該要更嚴謹才對。

C、E 對，D 錯，人造衛星動能
$$
K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}
$$
重力位能
$$
U = -\frac{GMm}{r}
$$
力學能
$$
E = K + U = -\frac{GMm}{2r}
$$

註：力學能 = 動能 + 位能，本來就有總合的意思，可以不需要寫成**總力學能**。
<br />

17. 下列關於電子或中子行經雙狹縫而在屏幕上產生干涉條紋現象之敘述，哪些正確？
(A) 電子通過雙狹縫而使屏幕上出現干涉條紋，證明運動中的電子具有波動性
(B) 把雙狹縫的其中之一縫封住時，電子的干涉條紋不可能發生變化
\(C\) 要使越高能的電子造成干涉條紋，所需雙狹縫的間距越小
(D) 電子是因為帶有電荷，所以才會產生干涉
(E) 以不帶電的中子入射，一定不會產生干涉

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AC
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，干涉現象要用波的疊加才能解釋，是波動性的實驗證據。
B 錯，把雙狹縫的其中之一縫封住時，會變成單狹縫繞射。
C 對，物質波波長 $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$，若電子動能較多，物質波波長較短，産生干涉條紋所需雙狹縫的間距越小。
D 錯，干涉現象是因為物質波産生的，與粒子是否帶電無關。
E 錯，不帶電的中子也可以產生干涉。
<br />

18. 據新聞報導：在烈日下，置於汽車內的塑膠瓶裝滿水如同凸透鏡，能夠會聚光線而引起火災。同學們為探討此一現象，假設塑膠瓶為瓶壁很薄可以忽略的圓柱形，橫截面如圖5所示，其中O為圓心，F為焦點。陽光可視為平行光射入水中，其中一條光線從空氣（a）射入水（w）中時，入射角為 $\theta_a$，折射角為 $\theta_w$。表2所示為同學們約定的光波性質符號。下列關於光波性質的關係，哪些正確？
(A) $T_a > T_w$　　　　　　　　(B) $T_a = T_w$　　　　　　　　\(C\) $v_a \cos \theta_a = v_w \cos \theta_w$
(D) $v_a \sin \theta_w = v_w \sin \theta_a$　　　(E) $\lambda_a \sin \theta_a = \lambda \sin \theta_w$

<img height="90%" width="90%" src="https://imgur.com/KPMDWkH.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BD
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：幾何光學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 錯、B 對，光由空氣折射到水中，頻率、週期不變，波速變慢。
C、E 錯，D 對，由折射定律可得
$$
\frac{v_a}{v_w} = \frac{\lambda_a}{\lambda_w} = \frac{\sin \theta_a}{\sin \theta_w}
$$
<br />

19. 水波槽在亮度不變的穩定光源照射下，其下方的白屏幕呈現交錯的亮紋與暗紋，因而可用來觀察水波的傳播。關於兩個具有同頻率且同相、同振幅的點波源，在水波槽中進行干涉實驗，下列敘述哪些正確？
(A) 增加波源間距可增加兩波源間的節線數目
(B) 水波波長越長則兩波源間的腹線數目越多
\(C\) 兩波源間的節線數目和腹線數目必定相同
(D) 白屏幕上對應節線的某固定點亮度幾乎不隨時間改變
(E) 白屏幕上對應腹線的某固定點亮度幾乎不隨時間改變

<span style="font-weight:bold">答案</span>：AD
<span style="color:green">層次</span>：理解
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：波動
<span style="color:blue">詳解</span>：
A 對，B、C 錯，兩個具有同頻率且同相、同振幅的點波源，於兩波源連線上，中點處為中央腹線，由腹線向左、右 1/4 波長處為節線，再由節線向左、右 1/4 波長處為腹線，腹線數量為奇數，節線數量為偶數。
D 對，E 錯，節線水面不會起伏，亮度幾乎不隨時間改變；腹線水面起伏特別大，亮度隨時間改變最明顯。
<br />

### 第貳部分、混合題或非選擇題（占31分）

**20 - 21 題為題組**
太陽是地球能量的主要來源，太陽發光發熱的能量來源主要是經由4個質子的核融合反應，反應過程可簡化表示成：$\mathrm{4p^{+} \rightarrow He^{2+} + 2e^{+} + 2\nu_e + 能量}$， 其中 $\mathrm{p^{+}}$ 為質子，$\mathrm{He^{2+}}$ 為氦原子核，$\mathrm{e^{+}}$ 為正電子，$\mathrm{\nu_e}$ 為微中子，前述反應過程為 $\beta$ 衰變的一種。太陽的能量主要以光的形式到達地球，由於光具有粒子性，故光可視為許多光子的組成，並以光速 $c$ 行進。光也具有波動性，故光也可視為以光速 $c$ 行進的電磁波。若電磁波的頻率為 $f$，其組成的光子具有能量 $E = hf$，其中 $h$ 為普朗克常數。依據以上資料，回答以下問題。

20. 上述產生微中子的反應屬於四大基本交互作用的哪一種？（2分）

<span style="font-weight:bold">答案</span>：弱交互作用
<span style="color:green">層次</span>：知識
<span style="color:orange">難度</span>：易
<span style="color:red">章節</span>：基本交互作用
<span style="color:blue">詳解</span>：
由反應式可知質子轉變成中子，其中一個 u 夸克轉變成 d 夸克，這是**弱交互作用**才有的性質。
<br />

21. 請以光子動量 $p$ 與波長的關係出發，就如同物質波的動量與波長的關係。試適當選用前述所提及的物理量符號（$E$、$h$、$f$、$c$），表示光子動量 $p$。（需有演算過程）（4分）

<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：近代物理
<span style="color:blue">詳解</span>：
真空中的光速 $c$、頻率 $f$、波長 $\lambda$ 的關係
$$
c = f \lambda ~\Rightarrow~ f = \frac{c}{\lambda}
$$

光子能量
$$
E = hf = \frac{hc}{\lambda} ~\Rightarrow~ \lambda = \frac{hc}{E}
$$

光子動量
$$
p = \frac{h}{\lambda} = h \cdot \frac{E}{hc} = \frac{E}{c}
$$
<br />

**22 - 23 題為題組**
某生自製水銀氣壓計來進行實驗。他將裝滿水銀的圓柱形平底長玻璃試管垂直倒立沒入水銀槽內，並以外力使閉口端高出水銀槽液面 $H$ 公分，閉口端的玻璃厚度可忽略。當到達靜態平衡時，液體中同一水平高度上的各點壓力必相等，此時試管內水銀液面和水銀槽液面的高度差為 $h$ 公分，如圖6所示。假設若發生 $H > h$ 的情況時，試管內的水銀面上方始終為真空。已知1個標準大氣壓等於 76 公分水銀柱高，記為 76 cm-Hg。試依據上述資訊與圖6，回答以下問題。

<img height="25%" width="25%" src="https://imgur.com/qmhfvOz.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖6</div>
<br />

22. 若水銀槽上方的氣壓等於1個標準大氣壓，並施以外力使 $H - h = 5$ 且保持靜止，下列敘述哪些正確？（多選）（4分）
(A) $H < 76$　　　(B) $h = 76$　　　\(C\) $H = 76$
(D) 當外力拉高試管使 $H$ 從原本的初始值增加10時，則 $h$ 也會同時增加10
(E) 當外力降低試管使 $H$ 從原本的初始值減少10之後，此時 $H = h$

<span style="font-weight:bold">答案</span>：BE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜力學
<span style="color:blue">詳解</span>：
A、C 錯，B 對。由於水銀槽表面受到 1 atm 的大氣壓力，為了使玻璃管中的水銀柱達到靜力平衡，玻璃管中水銀柱産生的壓力等於 1 atm = 76 cm-Hg，因此 $h = 76$，$H = h + 5 = 81$。

D 錯，當外力拉高試管使 $H$ 從原本的初始值增加10時，水銀柱産生的壓力仍為 76 cm-Hg，因此 $h = 76$。

E 對，當外力降低試管使 $H$ 從原本的初始值減少10之後，水銀柱上方沒有空間，會被玻璃管往下壓，因此 $H = h$。
<br />

23. 今將水銀槽上方的外界空氣始終保持在1個標準大氣壓，初始時 $H = 70$，接著改變外力上拉試管，使 $H$ 增加為80。計算外力在上拉試管 10 cm 的前後，水銀的位能變化為何？假設試管的截面積為 5 cm²，試管的重量可忽略，水銀槽液面的高度變化可忽略，水銀密度為13.6 g/cm³，重力加速度為 10 m/s²。（6分）

<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：靜力學、力學能
<span style="color:blue">詳解</span>：
水銀柱的高度由 70 cm 增加為 76 cm，多出一段高度為 6 cm 的水銀柱，其質量為
$$
m = 13.6 \times 5 \times 6 = 408 ~\mathrm{g} = 0.408 ~\mathrm{kg}
$$

質心高度位於水銀槽的水平面上方 73 cm 處，增加的重力位能為
$$
\Delta U = 0.408 \times 10 \times 0.73 = 2.9784 \approx 2.98 ~\mathrm{J}
$$

註：液體壓力及大氣壓力是108課綱國中自然領域的課程內容，在課綱中的學習內容編號及內容分別為 **Eb-Ⅳ-5 壓力的定義與帕斯卡原理** 以及 **Ec-Ⅳ-1 大氣壓力是因為大氣層中空氣的重量所造成**，不是高中物理的課程內容。
<br />

**24 - 26題為題組**
圖7為交流軸向磁場機械的剖面圖，常被用於發電機或電動機的裝置。圖7中位於最上方與最下方是兩個與轉軸連體且可轉動的磁鐵盤，其下方磁極分布的俯視圖如圖8所示，每一磁區的均勻磁場量值為 $B$，方向垂直於盤面，且與轉軸平行。圖7中位於中間的是固定線圈盤，由八個扇形的單一線圈組成，如圖9的八個虛線扇形框所示，每個扇形線圈面積分別與上下八個磁極的面積相同，且扇形外半徑為 $r_O$，扇形內半徑為 $r_I$。線圈盤上的每一個線圈面與磁極面重疊時，其中之一如圖8中扇形虛線框所示。本題組只考慮每個扇形的單一線圈為單匝線圈，其電阻值為 $R$。依據以上資料，回答以下問題。

<img height="90%" width="90%" src="https://imgur.com/AgbMvm8.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

24. 此機械作為電動汽車或飛機的馬達時，單一線圈內的電流與磁場之間的作用力可以推動磁鐵盤旋轉，帶動車輪或螺旋槳運轉。假設下磁鐵盤上方的單一線圈恰位於兩磁極之間，如圖10虛線扇形框所示，箭號為電流方向。圖10中的 $\hat r$ 代表徑向（輻射向外）的單位向量。若此時該線圈受磁場作用的合力為 $\vec F$，且磁鐵盤受 $\vec F$ 的作用由靜止開始轉動。則下列選項哪些正確？ （多選）（4分）
(A) $\vec F = 0$　　　　　　　　　　　(B) $\vec F$ 平行於 $\hat r$　　　　　　　　　\(C\) $\vec F$ 垂直於 $\hat r$
(D) 磁鐵盤作逆時針方向轉動　　　(E) 磁鐵盤作順時針方向轉動

<img height="30%" width="30%" src="https://imgur.com/Hpe1ZwI.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖10</div>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：CE
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電流磁效應
<span style="color:blue">詳解</span>：
A、B 錯，C 對。用右手開掌定則或是 $\vec F_B = I \vec L \times \vec B$ 可以判斷載流導線受力方向；線圈右下方的導線，電流朝右上方，外加磁場於進入紙面方向，導線所受磁力垂真直於 $\hat r$，朝左上方；線圈上下方的導線，電流朝左下方，外加磁場於射出紙面方向，導線所受磁力垂真直於 $\hat r$，朝左上方。

D 錯，E 對。磁鐵盤對線圈産生逆時鐘方向的力矩，線圈對磁鐵盤産生順時鐘方向的力矩。
<br />

25. 此機械作為發電機時，可用水、風或核能等來推動磁鐵盤，使通過線圈中的磁通量發生變化，進而產生應電流。若磁鐵盤以逆時針方向的等角速率 $\omega$ 旋轉，當 $t = 0$ 時，線圈涵蓋下磁鐵盤的 N 極及 S 極面積恰相等，如圖11虛線扇形框所示。則通過單一線圈磁通量 $\varPhi$ 隨時間 $t$ 變化的關係圖最接近下列何者？（單選）（3分）

<img height="30%" width="30%" src="https://imgur.com/inmEckR.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">圖11</div>
<br />

<img height="90%" width="90%" src="https://imgur.com/Hje54kF.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<br />

<span style="font-weight:bold">答案</span>：A
<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
若以射出紙面方向的磁通量為正、進入紙面方向的磁通量為負，當 $t = 0$ 時，線圈涵蓋下磁鐵盤的 N 極及 S 極面積恰相等，此時磁通量為0，可以刪除 C、D、E 選項。由於磁鐵盤上共有4組 N、S 極，當磁鐵盤由 $t = 0$ 開始旋轉 1/16 圈時，磁通量為負且量值最大；當磁鐵盤再旋轉 1/16 圈時，磁通量為0；當磁鐵盤再旋轉 1/16 圈時，磁通量為正且量值最大；當磁鐵盤再旋轉 1/16 圈時，磁通量為0，因此磁通量隨時間變化的週期為
$$
T = \frac{2\pi}{\omega} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2\omega}
$$
<br />

26. 承第25題，試選用適當的參數 $\omega$、$r_O$、$r_I$、$B$、$R$ 與常數，來表示下列物理量。
(a) 計算單一線圈磁通量最大量值 $\varPhi_M$ 為何？（2分）
(b) 計算單一線圈感應電動勢的最大量值 $\varepsilon_M$ 為何？（3分）
\(c\) 計算此單一線圈發電可達到最大功率 $P_M$ 為何？（3分）

<span style="color:green">層次</span>：應用
<span style="color:orange">難度</span>：中
<span style="color:red">章節</span>：電磁感應
<span style="color:blue">詳解</span>：
(a) 當單一線圈都位於 N 極或 S 極內時，磁通量為最大量值，因此
$$
\varPhi_M = \frac{1}{8} \cdot \pi (r_O^2 - r_I^2) \cdot B
$$

(b) 理論上感應電動勢
$$
\varepsilon = -\frac{d\varPhi_B}{dt}
$$
但是此題的 $\varPhi_B － t$ 關係圖有尖點，無法微分求感應電動勢。命題教授應該是希望我們計算 $\varPhi_B － t$ 關係圖中斜直線的斜率，因此單一線圈感應電動勢的最大量值
$$
\varepsilon_M = \frac{1}{8} \pi (r_O^2 - r_I^2) B \times 2 \times \frac{4\omega}{\pi} = \omega B (r_O^2 - r_I^2)
$$

另解：若考慮線圈同時位於兩個不同方向磁場交界處，例如圖11的位置，當磁鐵盤以逆時針方向的等角速率 $\omega$ 旋轉一小段時間 $\Delta t$，旋轉的角度為 $\Delta \theta = \omega \Delta t$，線圈於 N 極磁場內的面積增加 $\Delta A$，射出紙面方向的磁通量增加 $B \Delta A$；於 S 極磁場內的面積減少 $\Delta A$，進入紙面方向的磁通量減少 $B \Delta A$，由扇形面積公式可得
$$
\Delta A = \frac{1}{2} r_O^2 \Delta \theta - \frac{1}{2} r_I^2 \Delta \theta = \frac{1}{2} \omega (r_O^2 - r_I^2) \Delta t
$$
線圈的磁通量變化為射出紙面方向，量值為
$$
| \Delta \varPhi_B | = 2B \Delta A = 2B \cdot \frac{1}{2} \omega (r_O^2 - r_I^2) \Delta t = \omega B (r_O^2 - r_I^2) \Delta t
$$
感應電動勢量值為定值，因此
$$
\varepsilon_M = \left| -\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \varPhi_B}{\Delta t} \right| = \omega B (r_O^2 - r_I^2)
$$

註：108課綱中使用的名詞是**應電動勢**，過去的課本則是用**感應電動勢**，但我相信大部份的同學應該知道這兩個名詞是指一樣的物理量。

\(c\) 單一線圈發電可達到最大功率
$$
P_M = \frac{\varepsilon_M^2}{R} = \frac{\omega^2 B^2 (r_O^2 - r_I^2)^2}{R}
$$
<br />

## 參考資料

1. [大考中心112分科測驗物理科試題](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0N193362122184555288/05-112%E5%88%86%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E7%89%A9%E7%90%86%E8%80%83%E7%A7%91%E8%A9%A6%E9%A1%8C.pdf)
2. [大考中心112分科測驗物理科答案卷](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0N193362452728424215/05-112%E5%88%86%E7%A7%91%E7%89%A9%E7%90%86%E7%AD%94%E9%A1%8C%E5%8D%B7.pdf)
3. [大考中心112分科測驗物理科參考答案](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0N194641611208750637/05-112%E5%88%86%E7%A7%91%E6%B8%AC%E9%A9%97%E7%89%A9%E7%90%86%E9%81%B8%E6%93%87%E9%A1%8C%E5%8F%83%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88.pdf)
4. [大考中心112分科測驗物理科非選擇題評分標準](https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n049420368813156510/07-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e8%87%aa%e7%84%b6%e9%9d%9e%e9%81%b8%e6%93%87%e9%a1%8c%e5%8f%83%e8%80%83%e7%ad%94%e6%a1%88%e8%88%87%e8%a9%95%e5%88%86%e5%8e%9f%e5%89%87.pdf)

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###### tags:`Physics`