# 陸軍餐盤

在軍中，洗餐盤洗得乾淨不油膩是基本，但邊緣角落累積的陳年汙垢，洗起來費力費時，就很多人不願去理會 (畢竟洗完餐盤後的一分一秒可能攸關洗澡時排隊的人流長度呢)。每次我在洗餐盤，都在想到底是不是要多花點心思刷掉頑強的汙垢，到底我下次再拿到相同餐盤的機率是多少呢?

餐盤示意圖 (非當事餐盤)，[引用出處](https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fopinion.udn.com%2Fopinion%2Fstory%2F6085%2F2180120&psig=AOvVaw09stqMGfa7g5LZ1cgTPfCu&ust=1726419050997000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBcQjhxqFwoTCLjqzqrywogDFQAAAAAdAAAAABAS)。

## 問題描述

單兵每次拿餐盤，都會從籃中任意挑選一個餐盤，並且用餐完後會將髒污洗乾淨放回籃中。籃中有兩種餐盤：一是被我取出並且洗去角落污垢者；一是尚未被我取過者。請問在 $t$ 餐後，我拿到曾經被我洗過的、沒有角落汙垢的餐盤機率?

**假設條件**
- 不管籃中餐盤乾淨與否，被取到的機率相同，也就是弟兄們不會挑餐盤 (然而，顯然在現實中這是不可能的)。
- 假設無不同區隊用餐前後之分 (當過兵應該都懂，好想加菜阿)。
- 每餐置於籃中的餐盤數量固定。
- 汙垢成長的速度慢至可以被忽略。
- 假設軍中學長們之前都沒把餐盤洗乾淨 (都有汙垢)。

令 $p(t)$ 為第 $t$ 餐時，拿到曾經洗過餐盤的機率。令隨機變數 $X(t)$ 為在第 $t$ 餐用餐後，籃中我洗過的餐盤數量。假設單一餐盤被取到的機率為 $p_0$ ，因此，
$$
p(t) = p_0 \, \mathbb{E}[X(t-1)], \tag{1}
$$
其中 $\mathbb{E}[\cdot]$ 為期望值。

## 估計籃內乾淨餐盤數量

籃內洗過餐盤的數量根據是否取到「曾經洗過的」餐盤計算：
- 若取到曾經洗過的乾淨餐盤，該餐結束後，乾淨的餐盤總數不會增加；
- 若取到有汙垢的餐盤，該餐結束後，乾淨的餐盤總數比餐前多一。

經由以下遞迴描述：
$$
\mathbb{E}[X(t)]
= p(t)\mathbb{E}[X(t-1)] + (1-p(t)) \left(\mathbb{E}[X(t-1)] + 1\right) \tag{2},
$$
帶入 $(1)$ 後， $(2)$ 可以化簡為
$$
\mathbb{E}[X(t)]
= 1 + (1 - p_0) \mathbb{E}[X(t-1)] \tag{3},
$$
其初始值 $\mathbb{E}[X(1)] = 1$。 $(3)$ 之解為等比級數和：
$$
\mathbb{E}[X(t)]
= \sum_{k=0}^{t-1}(1-p_0)^k
= \frac{1-(1-p_0)^k}{1-p_0}
\tag{4}
$$
假設籃中有 100 個餐盤，$p_0=0.01$，該函數隨用餐次數增加如下圖：
隨著用餐次數增加，抽中乾淨餐盤的次數也不斷提升。然而，其機率增加的幅度卻也不斷下降，因為經常會抽到過去曾經洗過的餐盤。

## 小結
入伍至今已經第七周結束，算下來已經是第 111 餐，若我每餐都有認真洗餐盤，取到我曾經洗過的乾淨餐盤機率大約是七成，摸摸鼻子之前的努力不是白費的呀!

# 理性的弟兄

人類是自私的，弟兄肯定都想拿被我洗過的乾淨餐盤 (自己說) ，因此重新描述抽籤機率 $(1)$
$$
p(t) = 1 - e^{-\alpha \frac{ \mathbb{E}[X(t-1)]}{X_n - \, \mathbb{E}[X(t-1)] + \epsilon}},
\tag{5}
$$
$\epsilon$ 是一個很小的值，避免除以零的狀況發生，這邊取 $10^{-5}$。$\alpha \in \mathbb{Z}$，$\alpha$ 越大，弟兄們抽到乾淨餐盤的機率越高：

令 $\alpha=1.2$，結合 $(2)$ 和 $(5)$，可以得到以下函數圖形：
整體來說，籃內乾淨的餐盤數量相較於完全不做選擇的情況 (圖二) 減少許多。在第一百餐時，不做選擇的情況下，乾淨餐盤數約為 65；若對乾淨餐盤有選擇偏好，乾淨餐盤數約為 55 ，需要認真喜的次數較少；然而，不做選擇的情況下，抽中乾淨餐盤的機率超過七成五，也高於不做選擇的六成五，抽中乾淨餐盤的機率較高。隨著用餐次數增加，這樣的差距變得更為明顯。

## 結論
這表示，若在挑選餐盤時多費心思，需要花費精力洗餐盤的次數不但變少，抽中乾淨餐盤的次數還會增加。這也印證了「==選擇比努力重要==」的道理。

# 參考資料

1. 我用來產生以上圖表的與 ChatGPT 的[對話紀錄](https://chatgpt.com/share/66e645d8-1ca4-8004-8b86-959ba41ebaac)