中間值定理 (Intermediate Value Theorem)
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**Theorem. (IVT)** 
假設 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是連續函數(continuous function)，$a<b$ 為相異實數並且 $f(a)<K<f(b)$。則存在 $c$ 位於 $a$ 和 $b$ 之間滿足 $f(c)=Ｋ.$
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>**Proof.**
>我們依序建構三個數列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 如下：
>1. 令$\displaystyle a_1=a,b_1=b,c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$.
>2. 檢查 $f(c_1)$ 的值。
>-- 如果 $f(c_1)=K$，則我們的證明已經完成。
>-- 如果 $f(c_1)>K$，則令 $\displaystyle a_2=a_1,b_2=c_1,c_2=\frac{a_2+b_2}{2}$。
>-- 如果 $f(c_1)<K$，則令 $\displaystyle a_2=c_1,b_2=b_1,c_2=\frac{a_2+b_2}{2}$。
>3. 檢查 $f(c_2)$ 的值。
>-- 如果 $f(c_2)=K$，則我們的證明已經完成。
>-- 如果 $f(c_2)>K$，則令 $\displaystyle a_3=a_2,b_3=c_2,c_3=\frac{a_3+b_3}{2}$。
>-- 如果 $f(c_2)<K$，則令 $\displaystyle a_3=c_2,b_3=b_2,c_3=\frac{a_3+b_3}{2}$。
>4. 我們持續上述建構，如果存在某一正整數 $m$ 使得 $f(c_m)=K$，則我們的證明已經完成。反之，我們會得到一個單調遞增數列$\{a_n\}$和一個單調遞減數列$\{b_n\}$:
>$$a=a_1\leq a_2\leq a_3\leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n\leq \cdots \leq b_3\leq b_2\leq b_1=b$$
>滿足 $\displaystyle b_n-a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$.
>5. 因為 $b$ 是遞增數列 $\{a_n\}$的上界，因此數列 $\{a_n\}$ 必定會收斂至某一個數 $a^*$；同樣地，$a$ 是遞減數列 $\{a_n\}$的下界，因此數列 $\{b_n\}$ 必定會收斂至某一個數 $b^*$。
>6. 因為 $f$ 是**連續函數**，由此我們知道數列 $\{f(a_n)\},\{f(b_n)\}$也都會是收斂數列，並且$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} f(a_n)=f(a^*),\ \lim_{n\to \infty}f(b_n)=f(b^*).$$
> (:key:煩請參閱[連續函數和收斂數列](https://hackmd.io/@yangeel/continuity-convergence//) 一文。)
>7. 此外，由於 $\displaystyle b_n-a_n=\frac{1}{2^{n-1}},n=1,2,3,\dots$，我們可以得到 $a^*=b^*$ 以及 $f(a^*)=f(b^*)$。
>(:key:煩請參閱[習題：收斂數列](https://hackmd.io/@yangeel/ex-convergence//)一文。)
>8. 並且由於 $f(a_n)<Ｋ,n=1,2,3,\dots$，我們可以得到 $f(a^*)\leq K$；基於同樣的理由，我們也可以得到$K\leq f(b^*)$。由此可得 $f(a^*)=f(b^*)=K$。
>9. 令 $c=a^*$，很容易可以檢查 $a<c<b$ 且 $f(c)=K$。

:bulb:上面證明中的第5點使用了實數的**完備性公設**(completeness axiom of real numbers)如下：
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**實數完備性公設.**
如果一個單調遞增(遞減)數列有上界(下界)，則該數列必定會收斂。
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