# 2階線形微分方程式の定数変化法（メモ）

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2階線形微分方程式

:::info
$$
\frac{d^2y}{{dx}^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \tag{★}\label{eq-first}
$$
:::

上記の場合（非同次），右辺を0とおいた次の式

$$
\frac{d^2y}{{dx}^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0
$$

の一般解が

$$
y = uF(x) + v G(x) \tag{1}\label{eq-1}
$$

と求められているとする．

例えば，$y = ue^x+ve^{-x}$なら$F(x)=e^x$，$G(x)= e^{-x}$．

大多数の問題は，未定係数法によって特殊解を1つ求め，$\eqref{eq-1}$に加えれば完了するが， ==R(x)の形によっては未定係数法が使えない==ので，この場合に定数変化法を用いることができる．

ここからは，1変数の場合と同様，$u$,$v$を $x$の関数として，$\eqref{eq-first}$式の一般解を求めることを考える．

まず，$\eqref{eq-1}$を$x$で微分すると，

$$
y^\prime = u^\prime F(x) + uF^\prime (x) + v^\prime G(x) + v G^\prime(x) \tag{2}\label{eq-2}
$$

ここで次の条件を設定する（大事）

:::danger
$$
u^\prime F(x) + v^\prime G(x) = 0 \tag{a}\label{eq-a}
$$
:::

この条件を$\eqref{eq-2}$に適用すると，

$$
y^\prime = uF^\prime (x) + v G^\prime(x) \tag{3}\label{eq-3}
$$

さらに$\eqref{eq-3}$を$x$で微分すると

$$
y^{\prime\prime} = u^\prime F^\prime(x) + uF^{\prime\prime} (x) + v^\prime G^\prime(x) + v G^{\prime\prime}(x) \tag{4}\label{eq-4}
$$

ここで，基本解について以下が成り立つことに注意して，

* $F^{\prime\prime}(x) + P(x)F\prime(x) + Q(x)F(x) = 0$
* $G^{\prime\prime}(x) + P(x)G\prime(x) + Q(x)G(x) = 0$

$y^\prime$と$y^{\prime\prime}$を$\eqref{eq-first}$に代入すると，

$$
u^\prime F^\prime (x) + v^\prime G^\prime (x) = R(x) \tag{b}\label{eq-b}
$$

が得られる．$\eqref{eq-a}$と$\eqref{eq-b}$を連立方程式として解き$u^\prime$と$v^\prime$を求める．

$$
\left\{\begin{array}{l}u^\prime F(x) + v^\prime G(x) = 0\\u^\prime F^\prime (x) + v^\prime G^\prime (x) = R(x)\end{array}\right.
$$

これを行列にすると，

$$
\displaystyle
\begin{pmatrix} F(x) & G(x) \\ F^\prime(x) & G^\prime(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} u^\prime \\ v^\prime \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ R(x) \end{pmatrix}
$$

ここで，==ロンスキアン==を$W(x)$で定義する．（$W(x) \neq 0$を意識）
$$
W(x) = \begin{vmatrix} F(x) & G(x) \\ F^\prime(x) & G^\prime(x)\end{vmatrix}
$$

これより，

$$
\left\{\begin{array}{l}u^\prime = \dfrac{- G(x)R(x)}{W(x)} \\v^\prime = \dfrac{F(x)R(x)}{W(x)}\end{array}\right.
$$

だから，

$$
\left\{\begin{array}{l}u = \displaystyle　\int \dfrac{- G(x)R(x)}{W(x)} dx \\v = \displaystyle \int \dfrac{F(x)R(x)}{W(x)} dx \end{array}\right.
$$

よって，$\eqref{eq-first}$の一般解は，

:::success
$$
y = uF(x) + vG(x) = F(x)\displaystyle \int \dfrac{- G(x)R(x)}{W(x)} dx + G(x) \displaystyle \int \dfrac{F(x)R(x)}{W(x)} dx
$$
:::

と表される．積分項が2つあるので任意定数も2つ登場する．計算を用意にするためにあえて$\eqref{eq-a}$の条件を設定するところがポイント．