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title: 第7回 相対論講義ノート（オンデマンド講義）

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## 6. 電磁波の波動方程式の導出
### 6.1 前回までのまとめ
前節までに、電磁気学は Galilei 変換に対して共変でないことを見た。その際、波動方程式という真空に対して成り立つ方程式に着目した。

電磁気学においては、grad、div、rotなどの偏微分、ベクトル解析の知識が使われる。そこで、今回は3次元空間ベクトルのテンソル形式（添字を使った記法）を用いて電磁気学の記述について再整備する。特に、波動方程式の導出を題材として、実際の計算例を示す。

今後の講義では、Galilei 変換に代わって Lorentz 変換を採用すれば、光速度の大きさがすべての慣性系で同じになるように構成できることを学ぶ。光速度が波動方程式に由来していることを鑑みると、波動方程式は Lorentz 変換に対して共変であるとも言えそうだろう（後に直接検証する）。さらに、4本の Maxwell 方程式は、時空4次元をまとめたテンソルの形でどのように記述できることを予告しておく。

### 6.2 ベクトル解析
### 6.2.1 Euclid幾何学に従う 3 次元空間

２年次までの基礎物理学に関する講義では **暗黙の了解として Euclid 幾何学に従う3次元空間** を想定していた。まずは、本講義で導入したテンソル記法が Euclid 空間でどのようになるかを整理しておこう。

一般の時空でテンソルを考える場合、基底ベクトルの番号を表す添字を下付きに取り、これと同じように座標変換されるような成分を同じく下付添字で表していた。また、そのような成分を共変成分と呼んだ。一方で、基底ベクトルと逆向きに変換される成分のことを上付添字で表し、反変成分と呼んだ。共変成分 $A_i$ は、双対基底 $\boldsymbol{e}^{(i)}$ と呼ばれる抽象的なもので展開されていると考えるが、いずれの基底で展開したところで
$$
\boldsymbol{A} = A^i\boldsymbol{e}_{(i)} = A_i \boldsymbol{e}^{(i)},
$$ のように物理的実態が同一の、ベクトル量 $\boldsymbol{A}$ を違うやり方で表現しているに過ぎなかった[^25]。ここで、繰り返しの添字 $i$ に対する和が省略されている。2つの基底ベクトルの組は、以下の関係で結ばれていた（そうなるように双対空間を導入した）：
$$
\boldsymbol{e}^{(i)}\cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = \delta^i{}_j.
$$

[^25]: 元の空間と双対空間を全く無関係の空間と見ることも可能で、講義ではこれを抽象的に「この世」と「あの世」などと呼んでいた。今、同一のベクトル量を異なる基底で展開しているだけという見方をしている時点で、2つの世界は同一視されている。

ここまで復習したところで、Euclid 空間の話に戻そう。Euclid 空間では必ず正規直交基底が取れる。これをわざわざ計量テンソルという言い方をしておくと：
$$
g_{ij} = \boldsymbol{e}_{(i)}\cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = \delta_{ij},
$$ であり、通常、
$$
\boldsymbol{e}_{(1)} := \boldsymbol{e}_x, \quad
\boldsymbol{e}_{(2)} := \boldsymbol{e}_y, \quad
\boldsymbol{e}_{(3)} := \boldsymbol{e}_z,
$$ のように表記する。このことと、双対基底と元の基底の関係を見比べると、結局
$$
\boldsymbol{e}_{(i)} = \boldsymbol{e}^{(i)},
$$ となっていることに気づく。つまり、元の基底も双対基底の空間も一緒なのだ。と言うことは、成分についても
$$
A^i = A_i,
$$ のように **添字が上についていても下についていても同じ** である。

そこで、Euclid 幾何学に従う空間3次元について考える場合に限っては、添字の上下を気にしないことにしよう。たとえば、3次元ベクトル $\boldsymbol{v}$ があったとき、その大きさの2乗は
$$
|\boldsymbol{v}|^2 = g_{ij} v^i v^j = v^i v_i = v_j v^j = \delta_{ij}v^i v^j,
$$ のように好きに計算して良いが、どう書いても結局同じなので、単に
$$
|\boldsymbol{v}|^2 = v_i v_i,
$$ と書くことにしよう。つまり、Euclid 空間では、**下付添字同士であっても、同一の添字が繰り返された場合には和を取る** ことにする。事実、$|\boldsymbol{v}|^2 = v_xv_x + v_yv_y + v_zv_z$ は高校数学時代から馴染みのある内積の取り方ではなかろうか。

### 6.2.2 ベクトル解析のテンソル表現

Maxwell方程式をテンソル形式で書き直すためには、まず電場 $\boldsymbol{E}$ や磁場 $\boldsymbol{B}$ の表現をテンソルの言葉で再構成する必要がある。また、それらが登場するベクトル解析の演算（div、rot、gradなど）も、テンソル記法でどのように書けるかを整理しよう。

#### ベクトル解析における基本演算（3次元 Euclid 空間）

まず、3次元ユークリッド空間での基本的なベクトルや行列演算は、テンソルの添字記法で以下のように表される（添字は空間成分に限定し $i, j, k = 1, 2, 3$ とする）：

- 内積：$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_iB_i$.
- 外積：$(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_i = \varepsilon_{ijk}A_jB_k$.[^26]
ベクトル量なので基底もちゃんと書くと $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \varepsilon_{ijk}\boldsymbol{e}_{(i)}A_jB_k$.
- 転置行列：$(^{t\!}M)_{ij} = M_{ji}$.
- 跡：$\text{Tr} M = M_{ii}$.
- 単位行列：$E_{ij} = \delta_{ij}.$

やや煩雑だが
- 行列式(3次正方行列)：$\det M = \varepsilon_{ijk}M_{i1}M_{j2}M_{k3} = \dfrac{1}{3!}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lnm}M_{il}M_{jm}M_{kn}.$

さらに、Levi-Civitaを高階のテンソルに拡張する[^27]と、
- 行列式($n$次正方行列)：$\det M = \dfrac{1}{n!}\varepsilon_{i_1i_2\cdots i_n}\varepsilon_{j_1j_2\cdots j_n}M_{i_1j_1}M_{i_2j_2}\cdots M_{i_nj_n}.$

[^27]: $\varepsilon_{12\cdots n} = 1$ を起点に、添字を一度入れ替えるたびにプラマイが反転するように構成すればよい。

同じように、微分演算子が絡むようなベクトル演算も以下のようにまとめられる：

- 勾配（grad）：$\nabla \phi = \partial_i \phi.$
- 発散（div）：$\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \partial_i A_i.$
- 回転（rot）：$(\nabla \times \boldsymbol{A})_i = \varepsilon_{ijk} \partial_j A_k.$
基底も合わせて書くと$\nabla \times \boldsymbol{A} = \varepsilon_{ijk} \boldsymbol{e}_{(i)}\partial_j A_k,$
- ラプラシアン（Laplacian）：$\nabla^2 \phi = \partial_i \partial_i \phi.$



このように、微分演算を含む式も添字を用いて記述することが可能である。これにより、Maxwell方程式のテンソル化への準備が整う。

[^26]: ここで「完全反対称」とは、添字を入れ替えると$(-1)$倍されることを指し、成分を書き出すと$$
\varepsilon_{ijk} = \left\{
\begin{array}{cl}
1 & (i,j,k)=(1,2,3), (3,1,2), (2,3,1),\\
-1 & (i,j,k)=(1,3,2), (2,1,3), (3,2,1),\\
0 & \mathrm{otherwise},
\end{array}
\right.
$$ となる。


#### ベクトル解析の公式
電磁気学に戻る前に、テンソルの添字記法を利用してベクトル解析の公式をいくつか示しておく。2年次までに見たことがあろうであろう証明と比べてかなり楽であることに気づいてもらえると嬉しい。

まず、準備として Levi-Civita に関する以下の公式を見ておく：
$$
\varepsilon_{ij\color{red}k}\varepsilon_{lm\color{red}k} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
$$$$
\varepsilon_{i\color{red}j\color{blue}k}\varepsilon_{l\color{red}j\color{blue}k} = 2\delta_{il},
$$$$
\varepsilon_{\color{red}i\color{blue}j\color{green}k}\varepsilon_{\color{red}i\color{blue}j\color{green}k} = 6.
$$ 証明は省略するが、これらが成り立つことを確認したければ、フリー添字それぞれに対して$1, 2, 3$のいずれかを入れてみて、両辺が等しいことを確認すればよい[^27]。これらの公式を一度認めれば、以下の計算は比較的スムーズに行く。

[^27]: やってみればわかるが、特に1つ目の式は組み合わせが膨大になるので、必ずしも全部見る必要はない。いくつか試した上で、反対称性に着目し、添字の入替に対して両辺がそれぞれどう変化するか見れば十分だろう。

- スカラー3重積
$$
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}).
$$ 3つのうちいずれでもよいので、添字を使って計算すると、明かに循環入替に対して不変な形が出てくる：
$$
(\text{これら}) = \varepsilon_{ijk}A_iB_jC_k.
$$
- ベクトル3重積
$$
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}. 
$$ 左辺から一直線に計算可能。

また、以下はいずれも添字の入替を利用することで示すことができる：
- $\text{rot}\,\text{grad}\phi = \boldsymbol{0}.$
- $\text{div}\,\text{rot}\boldsymbol{A} = 0.$

最後に、ちょっとややこしいが、
- $\text{rot}\,\text{rot}\boldsymbol{A} = \text{grad}\,\text{div}\boldsymbol{A} - \Delta \boldsymbol{A}$.

あたりが自力で証明できたのであれば、この辺りの計算は十分マスターしたと言っていいだろう。

### 6.3 電磁気学の3次元ベクトル形式表示
ベクトル解析について復習したところで、私たちがこれまでに学んできた電磁気学について具体的に書き下していこう。以下の結果は、後の講義において Lorentz ベクトル、テンソルや Lorentz 不変量を利用することで、時空を合わせた4元形式で書き直されることを予告しておく。

### 6.3.1 Maxwell 方程式

Maxwell方程式
$$
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, & \text{( Gauss の法則)}\\
\nabla \times \boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, & \text{(Faraday の法則)}\\\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0, & \text{(Gauss の磁束保存則)}\\
\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} +  \varepsilon_0\mu_0 \dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, & \text{(Ampère-Maxwell の法則)}.
\end{cases}
$$ これらを添字を使って表示すると、
$$
\begin{cases}
\partial_iE_i = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\\
\varepsilon_{ijk} \partial_jE_k = -\partial_tB_i,\\
\partial_i B_i = 0,\\
\varepsilon_{ijk}\partial_j B_k = \mu_0 J_i + \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_i.
\end{cases}
$$

真空 ($\rho = 0, \, J_i = 0$) において、これらは

$$
\begin{cases}
\partial_iE_i = 0, & ①\\
\varepsilon_{ijk} \partial_jE_k = -\partial_tB_i, & ②\\
\partial_i B_i = 0, & ③\\
\varepsilon_{ijk}\partial_j B_k = \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_i, & ④.
\end{cases}
$$

となる。

### 6.3.2 電磁場の波動方程式の導出

引き続き真空を仮定して、前回講義で扱った波動方程式を導いてみる。②の $\text{rot}$ を取ると

$$
\varepsilon_{ijk} \partial_j \varepsilon_{klm}\partial_l E_m = -\varepsilon_{ijk} \partial_j \partial_0 B_k.
$$ 左辺の 2 つの Levi-Civita の添字のうち、1 つが揃っていることから、前節の公式が使える。まず、添字の持つ対称性を利用して
$$
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}
$$ としておけばまさに先の公式と同じ構造となり、
$$
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl},
$$ のように、Kroneckerのデルタで書き直せる。これと残った部分とを縮約に気をつけて計算すると
$$
\text{(左辺)} = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\partial_j \partial_l E_m
= \partial_j \partial_i E_j - \partial_j\partial_jE_i = -\partial_j\partial_jE_i.
$$ 最後の変形では、①の真空 ($\rho=0$) の場合の結果を利用した。一方で、右辺の計算には④が利用できて
$$
\text{(右辺)} =-\varepsilon_{ijk} \partial_j \partial_t B_k = -\partial_t (\varepsilon_{ijk} \partial_j B_k) = -\partial_t (\varepsilon_0\mu_0
\partial_t E_i) = -\varepsilon_0\mu_0 \partial_t^2 E_i.
$$ これらが等しいので、
$$
-\partial_j\partial_jE_i = -\varepsilon_0\mu_0 \partial_t^2 E_i,\quad \Leftrightarrow \quad
\partial_j\partial_jE_i - \varepsilon_0\mu_0 \partial_t^2 E_i = 0,
$$ を得る。これは波動方程式
$$ \Delta \boldsymbol{E} - \varepsilon_0\mu_0 \partial_t^2 \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0},
$$に他ならない。

磁場の方の波動方程式の導出もほぼ同様である。一応示しておく。まず、真空の場合 ($\boldsymbol{J}=\boldsymbol{0}$) の④の $\text{rot}$ を取って
$$
\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}\partial_l B_m = \varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_k.
$$ 左辺は Levi-Civita の縮約が利用できる。まず、添字の位置をうまく調整し、上で紹介した公式が使う：
$$
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
$$ これを代入し、Kroneckerのデルタの性質を利用して縮約を取ると
$$
(\text{左辺}) = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j\partial_l B_m = \partial_j\partial_iB_j-\partial_j\partial_jB_i = -\partial_j\partial_jB_i.
$$ 最後の変形では、③を利用した。一方で、右辺は②を利用して
$$
(\text{右辺}) = \partial_t\varepsilon_0 \mu_0 (\varepsilon_{ijk}\partial_jE_k) = \partial_t\varepsilon_0 \mu_0(-\partial_t B_i) = -\varepsilon_0\mu_0\partial_t^2B_i.
$$ これらより
$$
\partial_j\partial_j B_i - \varepsilon_0\mu_0\partial_t^2B_i = 0,
$$ すなわち
$$
\Delta \boldsymbol{B} - \varepsilon_0\mu_0\partial_t^2 \boldsymbol{B} = 0,
$$ を得る。