# 関数の極限と連続性・微分可能性

## 関数は自由だ！
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<summary>🔍 関数とは「入力と出力のルール」に過ぎない</summary>

高校数学では $f(x)=x^2$ や $\sin x$ のような「素直な関数」が中心でしたが、**大学数学ではこんな自由な関数も扱います**：

- 例1 (ヘヴィサイドの階段関数)
$$
f(x) = \Theta(x) = \begin{cases} 1 & (x\geq 0)\\ 0 & (x\lt 0)\end{cases}
$$ → $0$ 以上かどうかを判断。
- 例2 (インパルス関数)
$$
f(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0)\\ 0 & (x\neq 0)\end{cases}
$$ → たった1点だけ値が変わる。
- 例3 (Rectified linear unite (ReLU) 関数)
$$
f(x) = \begin{cases} 0 & (x \lt 0) \\ x & (x\geq 0) \end{cases}
$$ → 機械学習の活性化関数としてよく使う！

重要なポイント:
✅ 「$x$ に対応する $f(x)$ が1つ決まれば関数」
✅ 連続性や微分可能性は「追加の制約」であって、関数の定義には含まれない
✅ グラフが描けなくても、数式で表現できれば立派な関数

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## 定義域と値域のおさらい

<details> <summary>📌 関数の「働ける範囲」と「返せる値」</summary>

- 定義域: 関数が入力を受け取れる $x$ の範囲
- 例: $f(x) = \sqrt{x}$ の定義域 → $x\geq0$
- 注意: 高校数学では暗黙に「実数全体で定義」とすることが多いが、曖昧さが残る場合は明示的に宣言すべき
- 値域: 関数が出力できる $f(x)$ の範囲
- 例: $f(x) = \sin x$ の値域 → $[-1,1]$
- 明示的に書くと:
$f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{1}{x}$
→ 「定義域は0を除く実数、値域は実数全体」と最初に宣言

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## 関数の「自由さ」の具体例

<details> <summary>🎨 想像力を解き放つ関数たち</summary>

1. ディリクレ関数:
- 有理数で $1$、無理数で $0$ を返す
- 特徴: すべての点で不連続、かつ至る所微分不可能
- 図示できない！
2. ワイエルシュトラス関数:
- フラクタルなグラフを持つ連続関数
- 特徴: 連続だが、至る所微分不可能
3. 指数関数の拡張:
- $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z) = e^z$
- 特徴: 複素数全体で定義可能
- 他にも様々な関数が複素数へと定義域を拡張可能
4. 超関数（デルタ関数）:
- 物理で使われる「無限大に尖った」関数
- 注意: 伝統的な関数の定義を超える概念
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## 数学の「なんでもあり」精神

<details> <summary>⚠️ ただし「ルールは明示する」が大原則</summary>

- 自由の代償:
「関数が連続である」「微分可能である」といった性質は、証明するまで保証されない
→ 例: $f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続だが微分不可能

- 重要な心構え:
- 定義域と対応規則を常に明確に
- 「なんでもあり」だが「何も保証されていない」と自覚する
- 関数の性質（連続性など）は都度確認が必要

高校との違い:

|高校数学 | 大学数学 |
|----|----|
| 暗黙に「きれいな関数」のみ扱う | 明示的に「変な関数」も分析対象（物理に使えるものが結構ある！） |
| グラフ可視化が前提 | 数式的定義が優先（困ったら定義に戻れ！） |
</details>

## 関数の極限

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<summary>関数の極限の定義（ε-δ論法）</summary>

- $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ の定義：
- $^{\forall}\epsilon \gt 0,\ ^{\exists}\delta \gt 0\ \text{s.t.}\ 0 \lt |x-a| \lt \delta \Rightarrow |f(x)-L| \lt \epsilon$
- 片側極限：
- 右極限（$x \to a+$）：$x \gt a$ の範囲で接近
- 左極限（$x \to a-$）：$x \lt a$ の範囲で接近
- **極限が存在する ⇔ 左右極限が存在し一致する**
</details>

<details>
<summary>不定形の極限（7つの型）</summary>

1. $\dfrac{0}{0}$ 型 2. $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型 3. $0 \cdot \infty$ 型 4. $\infty - \infty$ 型 5. $0^0$ 型 6. $1^\infty$ 型 7. $\infty^0$ 型

→ 式変形・ロピタルの定理（後の講義で扱う）などで解決
</details>

## 関数の連続性
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<summary>連続性の定義</summary>

関数 $f$ が $x=a$ で連続であるとは：
1. $f(a)$ が定義されている
2. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ が存在する
3. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

つまり、左右からの極限と、「その場」で評価した値の3つが全て一致。
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<details>
<summary>不連続点の分類</summary>

1. **除去可能な不連続点**：
- 極限は存在するが $f(a)$ が未定義or不一致
- 例： $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ at $x=0$

2. **跳躍不連続点**：
- 左右極限が存在するが不一致
- 例1： 階段関数 $\Theta(x) = \begin{cases} 1 & (x\geq 0),\\ 0 & (x\lt 0)\end{cases}$
- 例2: $f(x) = \lfloor x \rfloor$ at 整数点

3. **無限/振動不連続点**：
- 極限が無限大or振動
- 例： $f(x)=\dfrac{1}{x}$ at $x=0$ （ただし、$x=0$ は定義域外なので、もし定義域全域で連続か問われたら連続。）
</details>

## 微分可能性
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<summary>微分係数の定義</summary>

- 微分係数：
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
- 右微分係数： $h \to +0$ の極限
- 左微分係数： $h \to -0$ の極限
- **微分可能 ⇔ 左右微分係数が存在し一致する**
</details>

<details>
<summary>微分可能性と連続性の関係</summary>

- **微分可能 ⇒ 連続**（逆は成立しない）
- 例： $f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続だが微分不可能
- 微分不可能な点の特徴：
- 尖点（例： $|x|$ at $x=0$）
- 接線が垂直（例：$\sqrt{x}$ at $x=0$）
- 不連続点
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<summary>代表的な微分公式</summary>

1. $(x^n)' = nx^{n-1}$
2. $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$
3. $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$
4. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
5. 積の微分：$(fg)' = f'g + fg'$
6. 商の微分：$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
7. 合成関数の微分：$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$
</details>

## 重要な定理
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<summary>平均値の定理</summary>

$f$が$[a,b]$で連続、$(a,b)$で微分可能なら：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \quad \text{を満たす} c \in (a,b) \text{が存在} $$
→ 傾きが等しい接線が存在
</details>

<details>
<summary>ロピタルの定理</summary>

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ 型の不定形で：
- $f,g$ が $a$ の近傍で微分可能
- $g'(x) \neq 0$
- $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在するなら：
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
</details>
-->

## 様々な関数

### 1. 初等関数とは？

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高校で扱った関数のほとんどは**初等関数（elementary functions）**である。初等関数とは、以下のような関数たちを有限回の合成・四則演算によって作られた関数のことを指す：

- 多項式関数（例： $x^3 + 2x - 5$）
- 有理関数（例： $\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$）
- 指数関数（$e^x$）
- 対数関数（$\log x$, 何も断っていなければ自然対数を表す）
- 三角関数（例： $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$）
- 逆三角関数（例： $\arcsin x$, $\arctan x$, もうすぐ習います）

これらの合成もまた初等関数に含まれる。例えば：

- $x^x = e^{x \log x}$ は初等関数の合成
</details>

### 2. 代表的な関数と連続性・微分可能性の比較

### （A）初等関数の例

<details>

| 関数 | 定義域 | 連続性 | 微分可能性 | 備考 |
|--------------------|--------------------------|--------|------------|------|
| $x^n$ （$n$ 非負整数） | $\mathbb{R}$| ○ | ○ | 多項式 |
| $\dfrac{1}{x+3}$ | $x\neq -3$ | ○ (定義域内全域；ただし、未定義の定義$x=-3$では不連続) | ○ (定義域内全域；連続性と同様の注意が必要) | 有理関数 |
| $e^x$ | $\mathbb{R}$ | ○ | ○ | 指数関数 |
| $\log x$ | $(0, \infty)$ | ○ | ○ | 対数関数 |
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | ○ | ○ | 三角関数 |
| $\sinh x$ | $\mathbb{R}$ | ○ | ○ | 双曲線関数（もうすぐ習います） |
| $\text{atan} x$ | $\mathbb{R}$ | ○ | ○ | 逆三角関数 |
| $\text{asinh} x$ | $\mathbb{R}$ | ○ | ○ | 逆双曲線関数（もうすぐ習います） |

**基本的には連続かつ微分可能。$0$割りだけ注意が必要。**
</details>

### （B）連続性、微分可能性が問題となり得る初等関数以外の関数

<details>

| 関数 | 定義域 | 連続性 | 微分可能性 | 備考 |
|--------------------|--------------|--------|------------|------|
| $\|x\|$ | $\mathbb{R}$ | ○ | × ($x=0$ で不可）| $\|x\| = \begin{cases} -x & (x\lt 0) \\ x & (x\geq 0)\end{cases}$ |
| ヘヴィサイドの階段関数 $\Theta(x)$ | $\mathbb{R}$ | × ($x=0$ で） | × ($x=0$ で不可） | $\Theta(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$ |
| 符号関数 $\operatorname{sgn}(x)$ | $\mathbb{R}$ | × ($x=0$ で） | × ($x=0$ で不可） | $\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x \lt 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x \gt 0 \end{cases}$ |
| ガウス記号（床関数） $\lfloor x \rfloor$ | $\mathbb{R}$ | × (整数で不連続) | × | $x$ 以下の最大の整数を返す |
| $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ （ディリクレ関数） | $\mathbb{R}$ | × | × | どこでも不連続で微分不可能 |

※ 絶対値関数は $|x|=\sqrt{x^2}$ で書けるという意味で初等関数とすることもある。単に名前だけの問題なので、どうでもよい。
</details>

### 3. 冪関数 $x^a$ の定義と微分可能性

<details>

冪関数 $x^a$ は一見単純に見えるが、定義や性質は $a$ の値によって大きく変わる：

### 📌 定義の注意
- $x^a = e^{a \log x}$ により、$x > 0$ の範囲で自然に定義でき、**初等関数の合成**として扱われます。つまり、この関数は初等関数と見なせる。
- 実数全体で定義するには、$a \in \mathbb{Z}$ または $a \in \mathbb{Q}$ （有理数） かつ 互いに素な整数 $p$, $q$ を使って $a=p/q$ と書いたときに $q$ が奇数であることが必要（例えば $a=1/2$ の場合、$x^a=\sqrt{x}$で、これは $x\geq 0$でのみ定義、一方で、$x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$ は $x \lt 0$ でも定義される）。

### 📌 微分可能性と連続性のまとめ

| $a$ の値 | $x=0$ での連続性 | 微分可能性 | 備考 |
|------------|------------------|------------|------|
| $a \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ | ○ | ○ | 多項式 |
| $a \in \mathbb{Z}_{\lt 0}$ | × （発散） | × | 例： $x^{-1}$ |
| $a \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ | △ （場合による） | △ | 例： $x^{1/2}$ は $x \geq 0$ でのみ連続 |
| $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ | △ （定義域次第） | △ | $x \gt 0$ で定義が自然 |
</details>