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# System prepended metadata

title: 数学演習1 第8回資料

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# ロピタルの定理とその背景

## 目的

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ロピタルの定理は、極限計算における強力な道具である。この補助資料では、ロピタルの定理がどのような主張をしているのか、またそれがなぜ正しいのかを直感的に理解できるよう、いくつかの準備定理とともに説明する。

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## 1. ロルの定理

### 定理の主張

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$f$ が区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能で、$f(a) = f(b)$ を満たすとき、ある $c \in (a,b)$ が存在して

$$
f'(c) = 0
$$

となる。

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### 直感的理解

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両端の $y$ 軸の値が同じならば、連続に繋がった滑らかなグラフはどこかで水平になる（＝接線の傾きが0になる）と予想される。 物理の観点から見れば、ある区間で出発点と終点の高さが同じならば、途中に一瞬静止する（速度が0になる）点があると考えられる。

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## 2. ラグランジュの平均値の定理

### 定理の主張

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$f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能ならば、ある $c \in (a,b)$ が存在して

$$
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$

となる。

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### 直感的理解

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これは「ある瞬間の傾き（瞬間の変化率）が、平均の変化率と一致する点がある」ことを述べている。 物理的には「移動距離÷時間（平均速度）」と一致するような「ある瞬間の速度」を持つときが必ずあると言っている。

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### ロルの定理との関係

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$f(a) = f(b)$ のとき、右辺は0なので、ラグランジュの定理はロルの定理を特別な場合として含んでいる。 実際、関数 $g(x) = f(x) - mx$ のようにして、$m$ を調整することで両端の高さが揃った関数 $g(x)$ を作り、$g(x)$ に対してロルの定理を使うことと、元の関数 $f(x)$ にラグランジュの平均値の定理を使うことは等価である。ここで、$m$ は $f(x)$ の平均変化率 $(f(b)-f(a))/(b-a)$ に取ればよい。

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## 3. コーシーの平均値の定理

### 定理の主張

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$f$ と $g$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能で、さらに $g'(x) \ne 0$ が $(a,b)$ の任意の $x$ で成立するならば、ある $c \in (a,b)$ が存在して

$$
\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
$$

となる。

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### 直感的理解

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ラグランジュの平均値の定理が「ある時点の変化率が平均変化率に一致する」というものだったのに対し、 コーシーの平均値の定理は「2つの関数の比の平均変化率に対応する瞬間の変化率の比が存在する」という主張になっている。

グラフ的に言えば、2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、それぞれがどのくらい変化したかを見ると、全体としての変化の比率（右辺）は、どこかの点における瞬間的な変化の比率（左辺）と一致する場所がある、ということ。

特に、$g(x)$ が一次関数のように一定の速度で変化している状況を考えると、その速度と比べて $f(x)$ の変化の速度がどうなっているか、つまり $f(x)$ の「相対速度」に注目しているとも言える。

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### 応用

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これはロピタルの定理の証明に使うための道具だと考えればよい。コーシーの平均値の定理の考え方から、**「$f(x)$ と $g(x)$ が両方とも0に近づくときに、それらの変化の比率で極限を捉える」**というロピタルの定理の発想につながる。


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## 4. ロピタルの定理

### 定理の主張（基本形）

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関数 $f(x)$, $g(x)$ が $x \to a$ の近傍で微分可能、かつ

$$
\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{または} \quad \infty,
$$

さらに $g'(x) \ne 0$ が近傍で成立し、

$$
\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

が存在すれば、

$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$

が成り立つ。
    
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### 注意

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- 不定形 $0/0$, $\pm\infty/\pm\infty$ に対して利用可。
- その他の不定形も、上記の形に変形することで、ロピタルの定理を利用できる。
- $f'(x)/g'(x)$ の極限が存在していないと使えない。
- ただし、$f'(x)/g'(x)$ が依然として不定形であっても、$f''(x)/g''(x)$、 $f'''(x)/g'''(x)$ のように繰り返し使い、不定形が解消して極限を評価することができれば、そもそも最初の段階でロピタルの定理を使ってよかったことが帰納的に示される。

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## 5. まとめ

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- ロピタルの定理は、**分数型の不定形**を扱うための道具。
- 成立の背景には、**平均値の定理やコーシーの平均値の定理**がある。
- 条件の確認（微分可能性、$g'(x) \ne 0$）は重要。（基本的にはこれが満たされる状況で出題される。）
- より一般の場合は、**変形によりロピタルの定理が使える形に持ち込む力**が必要（演習問題）。

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## 参考

- 本資料は講義補助のためのものです。詳細な証明は教科書や参考書に譲ります。
- 演習問題では、実際にロピタルの定理を適用する練習を通じて理解を深めてください。