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title: 第4回 相対論講義ノート

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# 第4回 相対論講義ノート

## 3. テンソルと物理量の表現

### 3.5 テンソルのようでテンソルでないものたち

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ここまでの節では、テンソルがどのように定義され、添字によってその性質がどのように記述されるかを学んできた。本節では、その流れから一歩引いて、「テンソルのような顔をしているが、実際にはテンソルではない」量について整理しておく。

こうした量は、記法としてはテンソルと似た添字を持ち、場合によっては演算に登場することもあるが、変換性を考慮するとテンソルとして振る舞わない。これを正しく見分けることは、テンソル解析を混乱なく運用するうえで重要である。

</details>

### 3.5.1 Kroneckerのデルタ

<details>
    
まずよく登場するのが、Kroneckerのデルタである。

はじめに、$(1,1)$ 型である ${\delta^i}_j$ がテンソルであることを座標変換の下で確認しよう。

座標変換 $x^i \to x^{\prime i}$ を考える。

このとき、$(1,1)$ 型テンソル ${\delta^i}_j$ に対する座標変換は以下のように定義される：
$$
{\delta^{\prime i}}_j = \frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime j}} {\delta^k}_l.
$$ここで2つの変換行列が互いに逆行列であることを使えば、
$$
{\delta^{\prime i}}_j = \frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime j}} = \delta^i_j,
$$となり、変換後も元と同じ値になる。すなわち、${\delta^i}_j$ はテンソルとして正しい変換性を持っている。
    
一方で、$\delta^{ij}$ はどうだろうか？

仮にこれを $(2,0)$ 型テンソルのように変換させるとすると、変換則は次のようになる：
$$
\delta^{\prime ij} = \frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^k} \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^l} \delta^{kl}.
$$しかし、$\delta^{kl}$ が $k=l$ のとき $1$、$k\ne l$ のとき $0$ であるとしても、一般の変換行列 $\frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^k}$ を用いたときに右辺が単位行列の成分を再現するとは限らない。たとえば、2次元シア変換[^19]について考えてみよう。

2次元の座標 $x^i = (x^1, x^2)$ に対して、
$$
\begin{pmatrix}
x^{\prime 1} \\
x^{\prime 2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^1 \\
x^2
\end{pmatrix},
$$という線型変換を考える（$k$ は定数）。これは $x$ 方向の成分が $y$ に比例してずれるような変換である。

対応するヤコビ行列（変換行列）は
$$
\left[\dfrac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^j}\right] =
\begin{pmatrix}
1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
\left[\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x^{\prime j}}\right] =
\begin{pmatrix}
1 & -k \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$である。このとき、$\delta^{ij}$ があたかもテンソルであるかのように変換させてみる。すなわち、変換後の成分が
$$
\delta^{\prime ij} = \dfrac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^k} \dfrac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^l} \delta^{kl},
$$であるとしよう。すると、

$\delta^{kl}$ の成分は $1$ （$k=l$）、$0$ （$k\ne l$） なので、具体的に各成分を見ると：
- $\delta^{\prime 11} = \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2} \cdot 1 = 1^2 + k^2 = 1 + k^2$
- $\delta^{\prime 12} = \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2} \cdot 1 = 1\cdot 0 + k \cdot 1 = k$
- $\delta^{\prime 21} = \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2} \cdot 1 =  0 \cdot 1 + 1 \cdot k = k$
- $\delta^{\prime 22} = \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2} \cdot 1 = 0^2 + 1^2 = 1$

したがって、
$$
\delta^{\prime ij} =
\begin{pmatrix}
1 + k^2 & k \\
k & 1
\end{pmatrix}
\neq
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$つまり、$\delta^{ij}$ は変換後に形を保たず、変換後はもはやKroneckerのデルタとは呼べない。すなわち、最初に仮定したテンソルとしての変換則は誤りであると分かる。
    
すでに一般的な変換について確かめたものの、これとは対照的に ${\delta^i}_j$ がテンソルであるとして矛盾しないことは、以下の通り確認できる：
    
- ${\delta^{\prime 1}}_1 = \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 1}} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^2}{\partial x^{\prime 1}} \cdot 1 = 1^2 + k\cdot0 = 1$
- ${\delta^{\prime 1}}_2 = \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 2}} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^2}{\partial x^{\prime 2}} \cdot 1 = 1\cdot (-k) + k\cdot 1 = 0$
- ${\delta^{\prime 2}}_1 = \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 1}} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^2}{\partial x^{\prime 1}} \cdot 1 = 0\cdot 1 + 1\cdot0 = 0$
- ${\delta^{\prime 2}}_2 = \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^1}\dfrac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 2}} \cdot 1 + \dfrac{\partial x^{\prime 2}}{\partial x^2}\dfrac{\partial x^2}{\partial x^{\prime 2}} \cdot 1 = 0\cdot(-k) + 1^2 = 1$
となり、変換の前後で変わらずKroneckerのデルタとしての成分を維持している。したがって、${\delta^i}_j$ はテンソルである。

これらの結果をまとめると
- ${\delta^i}_j$：これは $(1,1)$ 型のテンソルであり、ベクトルの成分を抽出する作用としての意味を持つ。具体的には、$A^i = {\delta^i}_j A^j$ のように使われる。単位行列をかけることは、「何もしない」という演算としてとらえることができるが、どんな観測者が見ても、何もしていないものは何もしていないのだ。
- $\delta^{ij}$ や $\delta_{ij}$：これらはユークリッド空間においてはよく使われるが、一般の曲がった空間や非ユークリッドな変換則を考えると、テンソルとしては不適切な変換性を持つ。たとえば、$\delta^{ij}$ は $(2,0)$ 型テンソルのような形をしているが、実際にはこれは計量テンソル $g^{ij}$ の特殊なケースにあたる。$\delta^{ij}$ を一般化したものが $g^{ij}$ であり、こちらの方がちゃんとしたテンソルなのだ。
    
</details>

[^19]: 直交座標を斜交座標に持っていくような変換。せん断変換とも。


### 3.5.2 位置ベクトルとテンソル性の落とし穴

<details>

また、以下のような量にも注意が必要である：
- $x^i$： 位置ベクトルの成分のように見えるが、変換に対して線型には振る舞わない。2章でも述べたように、$x^i$ 自体は任意の座標変換に対して非線型に変化するため、テンソルとは言えない。
- 微小変位 $dx^i$：これは逆に、線型変換則に従うため、（反変）ベクトルと見なせる。つまり、物理的に意味を持つ変位ベクトルはテンソルとして扱える。

この違いは、「空間上の点」は物理的に意味のある量ではなく、「点の間の差分（変位）」こそが物理量として測定可能である、という物理的な立場とも一致している。

これと全く同じ理由で、一見すると $x^i x^j$ も $A^i B^j$ と同じように $(2,0)$ 型のテンソルのように見えるかもしれない。しかしこれは一般には誤りである。

</details>

### 3.5.3 時間微分されたベクトル

<details>

反変ベクトル $A^i$ の時間微分 $\dot{A}^i = \dfrac{\mathrm{d} A^i}{\mathrm{d}t}$ を考える。一見して $\dot{A}^i$ も4元ベクトルのように見えるが、これは注意が必要である。

座標変換が時間に依存している場合、たとえば
$$
A^{\prime i} = {T^i}_j(t) A^j
$$
のように変換する場合、両辺を時間微分して
$$
\dot{A}^{\prime i} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( {T^i}_j(t) A^j \right)
= \dot{T}^j{}_i(t) A^j + T^i{}_j(t) \dot{A}^j
$$ となる。

この式から分かる通り、$\dot{A}^{\prime i}$ は $\dot{A}^i$ に対して通常のテンソルの変換則では変換されない。したがって、$\dot{A}^i$ は一般にはテンソルではない。

</details>


### 3.5.4 （参考）Levi-Civita記号とテンソル密度

<details>

完全反対称な記号である Levi-Civita記号（$\varepsilon^{ijk}$ や $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$）も注意が必要である。

この記号は、添字の並びに応じて $+1, -1, 0$ の値をとるが、テンソルではない。なぜなら、座標変換を施したときに、Jacobi行列の行列式が関係する変換因子を持つからである。

このような量は「テンソル密度」と呼ばれ、スカラーやベクトルとは異なる変換法則を持つ。たとえば、密度 $\rho$ はスカラーではなくスカラー密度であり、体積要素と組み合わせて初めてテンソルとして意味を持つ量になる（$d^3x \rho$ のように）。

相対論の枠組みでは、Levi-Civita記号に計量テンソルやその行列式を組み合わせてLevi-Civitaテンソルを構成することがあるが、それはまた別の話になる（一般相対論で登場）。

</details>

### 3.5.5 テンソルと記号の見分け方

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テンソルかどうかを判断するためには、その量が「座標変換に対してテンソルとして定義された変換則に従うかどうか」を確認する必要がある。
- 見た目がテンソルでも、それだけでは不十分
- 変換法則を確認することが決定的
- テンソル密度や記号的操作との混同に注意

今後も、電磁場テンソルやストレス・エネルギー・テンソルなど、具体的なテンソルが登場してくるが、それらが「真のテンソル」であるかどうかは、変換則の確認によって判断できる。
    
また、後に特殊相対論の節で学ぶように、一般の座標変換ではなく、ある条件を満たす座標変換だけに限定された議論が行われる場合がある[^20]。そのような文脈では、限定された座標変換に対して変換則を満たしてさえいれば、テンソルとして扱うことが可能となる。

</details>

[^20]: Newton力学におけるGalilei変換や、特殊相対論におけるLorentz変換がこれに該当する。例えば、一般の座標変換に対しては簡単な変換則が成り立たないものの、Lorentz変換だけに限定したときに反変性を示すようなベクトルのことをLorentzベクトルと呼んだりする。

