# 集合
## 集合の基礎
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<summary>集合 = 元の集まり</summary>

- 数学では元として「実数」や「複素数」などの数を取ることが最も基本
- それ以外の例としては、「関数」のような抽象度の高い元からなるものも
- 「色々な関数を寄せ集めたもの」
- 元の数は有限個でも無限でもよい
- $x$は$A$の元である: $x\in A$, $x$は$A$の元でない: $x\notin A$
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<summary>基本的な集合演算</summary>

- $A\cup B$: 和集合（少なくともどちらかに入っているものを全部合わせる）
- $A\cap B$: 共通部分（積集合とも。どちらにも入っていることを要請）
- $A \setminus B$: 差集合（$A$から$B$を除いたもの）
- $A^c$, $\overline{A}$: 補集合（$A$以外）
- $A\subset B$: $A$は$B$の部分集合（$A$の全ての元は$B$の元）
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<summary>基本的な集合と、それらを表す特殊記号</summary>

- $\mathbb{N}$: 自然数、$\mathbb{Z}$: 整数、$\mathbb{Q}$: 有理数、$\mathbb{R}$: 実数、$\mathbb{C}$: 複素数
- $\mathbb{R}^3$: 3つの実数の組から成る集合=3次元空間（の座標）
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$: 実数から有理数を除いたもの（差集合）=無理数
- $\emptyset$: 空集合
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<summary>集合の表記</summary>

- $\{1,3,5\}$
- $\{2n-1\mid n\in \mathbb{N}\}$
- $\{\sin, \cos, \tan, \sec, \text{cosec}, \cot\}$
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## 数列や関数も集合の仲間
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<summary>数列の集合としての表記</summary>

- $\{a_1,a_2,\cdots\}$
- $\{a_n\}_{n=1}^\infty$
- $\{a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$
- 単に $\{a_n\}$ とも
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<summary>関数の集合としての表記</summary>

- $\{f(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$
</details>

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<summary>注意</summary>

- これらは無限個の元から成る集合
- 数列の要素は何も断らない限り実数を考える (実数列： $a_n\in \mathbb{R}$)
- もちろん、複素数を元に持つ数列を考えることもできる
- 数列は自然数から実数への写像として捉えることもできる $a_n: \mathbb{N}\to\mathbb{R}$
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## 集合の上界・下界と有界性
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<summary>定義</summary>

- 全ての元 $a\in A$ が $a \leq u$ を満たすとき、$u$ は $A$ の**上界**と呼ぶ
- 全ての元 $a\in A$ が $a \geq d$ を満たすとき、$d$ は $A$ の**下界**と呼ぶ
- 上（下）界を持つ集合を「上に（下に）**有界**な集合」と呼ぶ
- 上にも下にも有界な集合を単に「有界な集合」と呼ぶ
- 「有界な数列」や「有界な関数」という概念が存在
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<summary>上限と下限</summary>

- 上（下）界の中で最も小さい（大きい）ものを**上（下）限**と呼ぶ
- 上界、下界の定義で、そもそも上界や下界は1つだけに限られないことに注意
- なので、最も小さいとか大きいとかここで言っている
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# 数列と級数の極限

## 数列の特徴
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<summary>数列は無限集合</summary>

数列 $\{a_n\}$ は暗に $i=1, 2, 3, \cdots$ と自然数で指定される「項」が無限個集まってできている
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<summary>数列には順序がある</summary>

単なる集合とは違い、数列にはそれぞれの元が何番目の「項」として配置されているのかを一意に示すように、番号付けができなければならない
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<summary>漸化式、単調性など</summary>

項の間で順序付けができているからこそ、これまでに出てきた項を使って次に出てくる項を評価する**漸化式**を考えることがある。また、前後で比較することで、「増加」や「減少」について判断することができ、常に増加し続ける**単調増加列**や、減少し続ける**単調減少列**がある。さらに細かく言えば、**狭義**（狭い意味での）単調増加・減少列と、**広義**（広い意味での）単調増加・減少列が存在する。
$$
a_{n+1} \gt a_n
$$があらゆる自然数 $n$ で成り立つのが狭義単調増加列、そうではなく、$a_n=a_{n+1}$ となるような自然数 $n$ が存在するものの、これらを含めて常に
$$
a_{n+1} \geq a_n
$$が成り立つものを広義単調増加列と呼ぶ。これは、減少の場合も同様である。
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## 数列の極限
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<summary>実数列の極限は以下のいずれか</summary>

- $c$ $(\in \mathbb{R})$ に収束
- 発散（さらに以下の3種類に分類される）
- 正の無限大に発散
- 負の無限大に発散
- 振動（極限が確定しないこと）
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<summary>数列の極限の定義</summary>

- 収束する場合、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = c$ は
- $^{\forall\!}\epsilon \gt 0,\,^{\exists\!}N\in\mathbb{N}$ \, s.t. $^{\forall\!}n\in\mathbb{N}$ $[n \gt N \Rightarrow |a_n - c| \lt \epsilon]$ によって定義される
- 意訳すると「（どんなに小さな正の数）$\epsilon$に対しても（十分大きな）自然数$N$が存在して、$n$が$N$より大きければ、$a_n$と$c$の差が$\epsilon$よりも小さくなるようにできる」
- 無限大に発散する場合
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \infty$
- $^{\forall\!}M\in\mathbb{R},\,^{\exists\!}N\in\mathbb{N} \;\; \text{s.t.}\; ^{\forall\!}n\in\mathbb{N} \;[n \gt N \Rightarrow a_n \gt M]$
- どんなに大きな実数$M$に対しても自然数$N$が存在して、$n$が$N$より大きければ、$a_n$が$M$より大きくなるようにできる
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$
- $^{\forall\!}M\in\mathbb{R},\,^{\exists\!}N\in\mathbb{N} \;\; \text{s.t.}\; ^{\forall\!}n\in\mathbb{N} \;[n \gt N \Rightarrow a_n \lt M]$
- どんなに小さな実数$M$に対しても自然数$N$が存在して、$n$が$N$より大きければ、$a_n$が$M$より小さくなるようにできる
</details>

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<summary>数列の組み合わせの極限</summary>

- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ のとき
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n b_n =\alpha \beta$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}\quad(\beta=0)$
</details>

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<summary>7つの不定形（独立に極限を取っただけでは評価できない2数列の組み合わせ）</summary>

- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$ のとき
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n - b_n)$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0$のとき
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n)^{b_n}$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$ のとき
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n b_n$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (b_n)^{a_n}$
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty$ のとき
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n)^{b_n}$
- ラフに言えば、これらは順に、$\infty - \infty$, $\infty / \infty$, $0 / 0$, $0^0$, $0 \times \infty$, $\infty^0$, $1^\infty$ を表している
</details>

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<summary>ネイピア数（自然対数の底）</summary>

- $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ は不定形（$1^\infty$の形）
- この数列は収束することが知られており、その収束先を $e$ と**定義**する
- $e$ の定義としては、「微分しても変わらないような指数関数の底」、すなわち、 $(a^x)' = a^x$ を満たすような $a$ というものもあり（オイラーによる定義）、これらは同値であることを示すことができる
</details>

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<summary>極限に関する有用な性質</summary>

- 上(下)に有界な単調増加列（減少列）は収束する
- 数列$\{a_n\}$が $c$ $(\in\mathbb{R})$ に収束するとき、$c$ はこの数列が従う漸化式の$a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$などの一般項を全て$c$に置き換えた式を満たす
- ある数列が収束することと、コーシー列であることとは同値
- コーシー列とは
- $^{\forall\!}\epsilon \gt 0, ^{\exists\!}N \in \mathbb{N} \;\; \text{s.t.} \;\; ^{\forall\!}k, l \in \mathbb{N} [k, l \gt N \Longrightarrow |a_k - a_l| \lt \epsilon]$
- 「十分右の方に限れば、好きに取ってきた2つの差がいくらでも小さくなる（そうなるように「十分右」を決められる）」
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## 級数

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<summary> （無限）級数とは </summary>

- $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k$ のこと
- $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を**部分和**と呼ぶ
- 級数の収束性 = 部分和 $S_n$ を数列 $\{S_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ と見たときの数列の収束性
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<details>
<summary>気をつけるべきこと</summary>

- 無限個足したからと言って、発散するとは限らない
- $a_n$が収束するからと言って、$S_n$が収束するとは限らない
- ラフに言えば、*十分速く* $0$に収束する数列$a_n$ を加えて構成した級数は収束する
- ここで、どれくらい速く収束すれば十分なのかが重要（後述）
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<summary>有名な級数</summary>

- 等比級数
- $\{a_n\}$　を初項 $a (\neq 0)$ 公比 $r$ の等比級数とする
- 一般項は $a_n = ra^{n-1}$
- 部分和は $S_n = \dfrac{a(1-r^{n-1})}{1-r}$
- 極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$ を等比級数と呼ぶ
- その収束性は
- $|r|\lt 1$　のとき、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{a}{1-r}$
- $|r| \geq 1$ のとき、発散
- 調和級数
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots = \infty$
- バーゼル問題（リーマンゼータ関数$\zeta(2)$）
- $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots = \dfrac{\pi^2}{6}$
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<summary>代表的な級数の収束判定法</summary>

- ダランベールの判定法
- 数列 $\{a_n\}$ が極限 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r$ を持つとき、$r \lt 1$ であれば級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束、$r > 1$ であれば発散、$r=1$のときは判定不能
- 極限 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r$ を持つということは、要するのこの数列は十分大きな $n$ に対してはほぼほぼ等比数列なので、等比級数とおおむね同じ議論ができますよねという話
- コーシーの判定法
- 数列 $\{a_n\}$ が $a_n>0$ であり、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = r$ を持つとき、級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ の収束性について、$r$の値に応じてダランベールの判定法と同じことが言える
- こちらも理屈は同じ
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