# 第3回 相対論講義ノート

## 3. テンソルと物理量の表現

### 3.1 双対基底と双対空間

### 3.1.2 双対基底と添字の上げ下げ

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少し回り道をしたが、ベクトル $\boldsymbol{A}$ から、反変成分 $A^i$ を抜き出す問題に戻ろう。一般の基底を採用した場合、先に見たような射影操作では、もはや単一の成分を抜き出すことができない：
$$
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = A^i\boldsymbol{e}_{(i)}\cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = A^i g_{ij}.
$$ここでも $i$ について和が走ることで、$A^1$, $A^2$, $A^3$が混ざったものが出てきてしまうのだ。そこで登場するのが**双対基底**だ。双対基底と、これが張る双対空間は極めて抽象的な概念であるが、数学的に導入すること自体はそれほど難しくない。双対基底は、
$$
\tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)} \cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = {\delta^i}_j,
$$を満たすようなベクトルの組 $\tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)}$ として定義される。添字の位置から分かるように、この新しいベクトルの組は、座標変換として反変的に振る舞う。そして、元々の基底 $\boldsymbol{e}_{(j)}$ の方が共変的に振る舞うことで、全体としては座標変換に対して不変となり、常にKroneckerのデルタに一致するように作っている。

唐突に出てきた $\tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)}$ であるが、これが便利なことは以下から分かる。
$$
\boldsymbol{A}\cdot \tilde{\boldsymbol{e}}^{(j)} = A^i\boldsymbol{e}_{(i)} \cdot \tilde{\boldsymbol{e}}^{(j)} = A^i {\delta^j}_i = A^j.
$$つまり、基底 $\boldsymbol{e}_{(j)}$ ではなく、双対基底 $\tilde{\boldsymbol{e}}^{(j)}$ に対して射影を取ることで、単一の成分を抜き出すことができたのだ。

「双対基底」と呼ぶくらいだから、ベクトルの組 $\tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)}$ は何らかの空間を張っているのであろう。この**双対空間**が何なのかはこの段階ではよく分からないが、そもそも考えていた空間が「この世」であるとすると、双対空間は「あの世」と思ってもらってもよい。関係式 $\boldsymbol{e}^{(i)} \cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = {\delta^i}_j$ は、味気ない言い方をすれば、「双対基底の定義式」であるが、あの世とこの世の間の関係を定めていると言ってもよいだろう。内積の記号を使っているが、実はこの世の方で使われている内積とは無関係の、新しい演算だと思ってもよい。現状、2つの空間の接点は、この演算を通してのみである。実際、上記の射影に関する議論は、「この世の物理量を観測するのに、あの世の視点が必要になる」ことを示している。そこで、ベクトル $\boldsymbol{A}$ も、この世バージョン $A^i \boldsymbol{e}_{(i)}$ に加えて、あの世バージョン
$$
\tilde{\boldsymbol{A}} := A_i \tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)}
$$を考えることにする。$\boldsymbol{A}$ にもチルダをつけたのは、このベクトルのあの世における対応物であることを明らかにするためである。そして、あの世の基底で展開する際は、縮約のルールにしたがって、成分は $A_i$ と下付添字で書いておく。やはり、$A_i$ と $\tilde{\boldsymbol{e}}^{(i)}$ とが座標変換に対して互いに逆向きに変化することで、ベクトル $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 全体としては不変に保たれる。「座標系という、こちらが勝手に与えた尺度とは無関係に、ベクトルは常に同じ量となるべし」という事情は、あの世であっても同じなのだ。

と、ここまで話をややこしくしておいて恐縮だが、ここで「あの世とこの世を同一視する」ことにして、以後はチルダを落とすことにする。そして、2つの空間の関係を示すために導入した $\cdot$ による演算も、通常の内積と考えてよい。すると、2つの空間で作られたベクトルを同一視することで、$\boldsymbol{A}$というベクトルを2通りに表すことができる：
$$
(\boldsymbol{A} =) A^i\boldsymbol{e}_{(i)} = A_i\boldsymbol{e}^{(i)}.
$$この結果は、*添字を下げるルール*と解釈することができる。両辺に対し、$\boldsymbol{e}_{(j)}$との内積を取ることで：
$$
A^i\boldsymbol{e}_{(i)}\cdot \boldsymbol{e}_{(j)} = A_i\boldsymbol{e}^{(i)} \cdot \boldsymbol{e}_{(j)}, \quad \leftrightarrow \quad A^i g_{ij} = A_i{\delta^i}_j,
\quad \leftrightarrow \quad A^i g_{ij} = A_j.
$$つまり、計量テンソルを利用することで、上付添字の $A^i$ を下付添字の $A_j$ に変換することができるのだ。ここで、計量テンソルが $g_{ij}:=\boldsymbol{e}_{(i)}\cdot\boldsymbol{e}_{(j)}$ で定義されていたことを思い出そう。これにならって、上付添字の基底の方も
$$
\boldsymbol{e}^{(i)}\cdot \boldsymbol{e}^{(j)} := g^{ij},
$$と書くことにしよう。すると今度は
$$
A^i\boldsymbol{e}_{(i)}\cdot \boldsymbol{e}^{(j)} = A_i\boldsymbol{e}^{(i)} \cdot \boldsymbol{e}^{(j)}, \quad \leftrightarrow \quad A^i {\delta^j}_i = A_i g^{ij},
\quad \leftrightarrow \quad A_j = A_i g^{ij}.
$$のように、添字を上げるルールを定めることができるのだ。最後に、上付及び下付添字を持つ計量の関係について考えてみよう。添字の上げ下げのルールを2度利用することで
$$
A^i = g^{ij}A_j = g^{ij}g_{jk}A^k.
$$この左辺と右辺を見比べることで、
$$
g^{ij}g_{jk} = {\delta^i}_k.
$$つまり、2つの計量は互いに逆行列となっているのだ。この式は、同時に、「$g^{ij}$の添字を1つだけ下げたものはKroneckerのデルタである」と解釈できることも重要である。

本稿では結局あの世とこの世を同一視して議論を進めていくが、数学的には元々の空間と双対空間とは互いに同等であることが知られている。つまり、「元々の空間がこの世で、双対空間があの世」でもいいが、逆に「元々の空間があの世で、双対空間がこの世」としても何ら矛盾はない。また、「双対空間の双対空間」は元々の空間であることは、これまでの議論から納得行くだろう。

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### 3.2 テンソル積とテンソルの構成

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上付添字のベクトル（の成分）に対する普通の基底と、下付添字のベクトル（の成分）に対する双対基底まで見たところで、ふと気になるのは、より高階のテンソルがどのような基底で展開されているかということだ。端的に答えを言えば、**ベクトルの基底のテンソル積**なるものが答えになる。

ここでいう「テンソル積（tensor product）」とは、記号 $\otimes$ で表される操作で、「ベクトル空間を“掛け合わせる”操作」のことである。たとえば、あるベクトル空間 $V$ に属する反変ベクトル $A^i$ と、同じく $V$ に属する反変ベクトル $B^j$ を使って、新しい量 $T^{ij} = A^i B^j$ を作ることができる。これが典型的なテンソル積の形であり、$\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ と表す。

このとき重要なのは、$T^{ij}$ はもはや「ベクトル」ではないということだ。なぜなら、添字が2つある、すなわち2階のテンソルになっているからだ。言い換えれば、「どちらか一方が変換すれば、それに応じてもう一方も変換する」ような構造を持っており、これは座標変換においても明確に現れる。

（a）テンソル積の基底と成分

具体的には、反変ベクトルの基底を $\boldsymbol{e}_{(i)}$、共変ベクトルの基底（双対基底）を $\boldsymbol{e}^{(i)}$ としたとき、2階のテンソル空間（たとえばすべて反変成分を持つテンソル）は、次のように基底のテンソル積で張られる：
$$
\boldsymbol{e}_{(i)} \otimes \boldsymbol{e}_{(j)}.
$$テンソル $\boldsymbol{T}$ はこれに展開される：
$$
\boldsymbol{T} = (A^i \boldsymbol{e}_{(i)}) \otimes (B^j \boldsymbol{e}_{(j)}) = T^{ij} \, (e_i \otimes e_j).
$$ここで、演算 $\otimes$ は線形の演算であり、係数 $A^i$, $B^j$ は外に出せる。これらの積のことを $T^{ij}$ とし、残った2つの基底同士のテンソル積を、そのまま2階のテンソルの基底とするのだ。同様に、1個反変・1個共変のテンソルであれば、$\boldsymbol{e}_{(i)} \otimes \boldsymbol{e}^{(j)}$ という規定で展開される。テンソルの種類によって、基底の組み合わせが変わるというわけだ。

（b）物理的イメージ：「x成分がy方向にどれだけ変わるか」

この「成分の掛け合わせ」によって得られるテンソルは、抽象的な操作であると同時に、物理的にも意味を持つ。

たとえば、速度ベクトル $v^i$ の $x$ 成分 （$v^x$） が、$y$ 方向に動いたときにどれだけ変化するか――すなわち、$\partial v^x / \partial y$ のようなもの――を考えると、これを表す量は $T^{xy}$ のような形になる。これは「$x$ 成分が $y$ 方向の位置にどう影響されるか」を見るものであり、明らかに2つの方向に関する情報を持っている。このような量を自然に記述するために、テンソル積という言語が必要になる。

（c）テンソル積の操作の性質

テンソル積にはいくつかの基本的な性質がある：
- 双線形性（線形性が2つの引数に対して成り立つ）
- 非可換性（$v \otimes w \ne w \otimes v$、ただし対称性や交代性を課すことで可換なテンソルも定義できる）
- 次元の増加：$\dim(V \otimes V) = \dim(V)^2$

この「次元が増える」ことが、成分において「$x$-$x$成分、$x$-$y$成分、$y$-$x$成分、…」といった形で情報が増えることに対応している。テンソル積は、物理的な現象の多成分的・多方向的な相互作用を記述するための、自然な拡張なのだ。

ここまでで「テンソル積」という抽象度の高い概念を持ち出したが、実際の計算や応用では、それほど身構える必要はない。というのも、テンソルというものは、成分を添字で表すことで、その本質を捉えることができるからである。つまり、テンソルの「形」（添字の付き方）さえ押さえておけば、具体的な計算においては、あえてテンソル積の構造を意識しなくても済むようになっている。

また、基底に依存した記述（たとえば、ベクトルの成分がどの基底で書かれているか）についても、前出の **計量テンソル** がすべて面倒を見てくれる。計量がわかれば、基底の性質も含めてテンソルの構造が完全に記述できるようになる。

よって、抽象的な構造は一度ざっくりと眺める程度にとどめておいて、以後は添字の付き方や変換法則、そして何より **どんな物理量を記述しているか** に注目していけば、十分に理解できるようになっている。テンソル積は、初めて見ると「数学っぽすぎる」と感じられるかもしれないが、物理ではむしろ「物量の種類を整理する道具」として使っていくことになるので、怖がらずに付き合っていこう。

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### 3.3 よく使うテンソルの例

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こうして、ベクトルを組み合わせることで、より複雑な物理量（たとえば応力テンソルや電磁テンソル）を表す準備が整った。とはいえ、抽象的な定義だけではテンソルが何を表しているのか、今ひとつピンと来ないかもしれない。そこでこの節では、テンソルがどのように具体的な物理量を記述しているかを、いくつかの例を通して眺めてみよう。

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### 3.2.1 応力テンソル

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物体の中のある点に作用する力を考えるとき、単に「この面にこれだけの力がかかっている」と言うだけでは不十分である。面の向きによって力の方向や大きさが変わることがあるからだ。そこで、「ある面（の法線ベクトル）を指定したときに、その面に働く単位面積あたりの力ベクトル」がどうなるかを与える必要がある。

これは言い換えれば、「双対ベクトル（面の法線ベクトル）を入れると、反変ベクトル（力）が出てくる写像」である。したがって、これは**(1,1)型のテンソル**と考えることができる。成分で言えば、力のi成分が、どの面の法線（つまりj方向の面）に対応するかを表す $T^i{}_j$ というテンソルである。

このテンソルの対角成分（例： $T^x{}_x$, $T^y{}_y$, $T^z{}_z$）は各方向にかかる正応力を、非対角成分（例：$T^x{}_y$, $T^y{}_z$など）はせん断応力を意味する。

このように、応力テンソルは力の空間的な分布と伝達の様子を記述するテンソル量として、連続体力学で広く使われている。

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### 3.2.2 慣性モーメントテンソル

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物体の回転運動を記述する際には、慣性モーメントが重要となる。点質量ではスカラー量として定義される慣性モーメントも、三次元物体全体を扱う場合には方向依存性が出てくる。これを記述するのが慣性モーメントテンソルである。

このテンソルは、物体の各軸まわりの回転に対して、どれくらい回りにくいか（慣性があるか）を記述している。特に、角速度ベクトル $\boldsymbol{\omega}$ に対して、角運動量ベクトル $\boldsymbol{L}$ を
$$
L^i = I^{ij} \omega^j
$$と書けるようなテンソル $I^{ij}$ を考える。この $I^{ij}$ が慣性モーメントテンソルである。

このテンソルの成分は、次のように定義される：
$$
I^{ij} = \int \left( \delta^{ij} r^2 - x^i x^j \right) \rho(\boldsymbol{x})\, d^3x
$$ここで、$\rho(\boldsymbol{x})$ は位置 $\boldsymbol{x}$ における質量密度、$r^2$ は原点からの距離の2乗、$\delta^{ij}$ はクロネッカーのデルタで、単位行列の成分である。

この式は、物体の各体積要素が原点を中心とする回転に対してどれだけ「回りにくい」かを、方向成分ごとに合計していると解釈できる。対角成分（$i = j$）は回転軸に垂直な距離の2乗の和であり、非対角成分（$i \neq j$）は物体が対称でないときに現れる「軸間の相関項」となる。

このテンソルは、回転軸を変える（つまり座標系を回転させる）と成分が変化するが、物理的な性質は座標系に依存しない。この点がまさにテンソルの本質である。

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### 3.2.3 電磁場テンソル（予告）

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電磁気学においても、テンソルは重要な役割を果たす。特に相対論的記述において、電場と磁場をひとまとめにして記述する電磁場テンソルが登場する。これは4次元時空における　**(0,2)型の反対称テンソル**　であり、相対論的変換の下でもうまく変換するように作られている。

このテンソルの定義や具体的な成分展開は、特殊相対論の形式を学んだ後に改めて紹介することにしよう。ここでは、電磁場のような一見バラバラな物理量も、テンソルを用いれば一体的に記述できる、ということを感じ取ってもらえれば十分である。

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### 3.4 テンソルの演算

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テンソルがどのように構成され、基底に対してどのように展開されるかを見てきたが、テンソルはそれ自身にさまざまな演算を定義することができる。これらの演算は、座標系に依存しない方法で量を構成したり、物理量の意味を解釈したりする上で本質的な道具になる。

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### 3.4.1 縮約とスカラーの構成

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まず最も基本的な演算は、縮約（contraction）である。これは、テンソルに含まれる1つの上付き添字と1つの下付き添字を対にして足し合わせる操作である。たとえば、
$$
T^i_{\ i}, \quad T^{ij}_{\ \ j}, \quad A^i B_i,
$$などは縮約の例であり、テンソルの階数が1つ（上と下を1つずつ）下がる（たとえば、2階テンソルが1階テンソルに）か、すべて縮約されればスカラーが得られる。

この縮約操作を通じて、座標変換に対して不変な量＝**スカラー（0階のテンソル）**を構成することができる。物理理論において、スカラー量は観測者によらず意味を持つため、しばしば理論の構成要素や保存量の記述に現れる。

とくに相対論においては、ローレンツ変換に対して不変なスカラーを作ることが重要である。これは物理法則の形式的な不変性、すなわち「どの慣性系から見ても同じ法則が成り立つ」という原理に直結している。

#### 例：内積のスカラー性

反変ベクトル $A^i$ と共変ベクトル $B_i$ によるスカラー
$$
s = A^i B_i,
$$は、座標変換に対して
$$
A^i \to A^{\prime i} = \frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^j} A^j, \quad
B_i \to B^{\prime}_i = \frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime i}} B_k,
$$となるため、
$$
s^{\prime} = A^{\prime i} B^{\prime}_i = \left( \frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^j} A^j \right) \left( \frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime i}} B_k \right) = \delta^k{}_j A^j B_k = A^j B_j = s,
$$と、変換後も不変であることが分かる。

添字を上下で組み合わせて縮約することにより、物理的に意味のあるスカラーを構成できるというこの構造は、今後ローレンツ不変量や作用などを構成するときに何度も現れる。

また、上付添字を持った2つのベクトルに対しても、計量テンソルの力を借りることで
$$
g_{ij} U^i V^j,
$$のようにすることでスカラー量を構成できる。$U$ と $V$ が同一のとき、この量はベクトルの大きさ（の二乗）に他ならない。「ベクトルの大きさ」のような量は、座標系（観測者）には依存せずに常に一定の値を持つべきであり、上記の演算でこのことを自然と実現しているのだ。

この操作の利点は、以下の通りである：
- 座標変換に対して不変な量（＝スカラー）を自然に定義できる
- 物理的意味を持つ量を構成しやすい（たとえば、エネルギー運動量テンソルの縮約からエネルギー密度や流束が得られる）
- 計量テンソルと組み合わせることで、添字の上げ下げを通じて縮約を柔軟に扱える

この意味で、物理的に意味を持つ量がテンソルの縮約によって得られることは極めて多い。テンソルの縮約は、物理法則の記述において中心的な役割を果たすといえる。

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### 3.4.2 （補足） より高度なテンソルの操作について

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より高度なテンソルの演算として、添字の対称化や**反対称化（交代化）**と呼ばれるものがある。これらはテンソルの一部の添字の組について、順序を入れ替えて平均を取ることで定義される。たとえば、2階テンソル $T_{ij}$ に対しては以下のように定義される：
- 対称化（symmetrization）：
$$
T_{(ij)} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}).
$$
- 反対称化（antisymmetrization）：
$$
T_{[ij]} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji}).
$$

一般に、$T_{(ijk)}$ や $T_{[ijk]}$ のように複数添字に対して対称化・反対称化することもできる（全対称・全反対称）。

これらの操作は、特定のテンソルが持つ対称性や物理的性質（例：電磁場テンソルの反対称性）を記述するのに有用である。ただし、特殊相対論の初歩ではこれらの対称性を明示的に使う機会は多くないため、ここでは記号的な定義の紹介にとどめる。より深く相対論、特に一般相対論を学ぶ際に有用なので、ここでまとめて紹介しておいた。

テンソル演算には他にも、微分（共変微分、リー微分など）といった操作があるが、これらは曲がった空間を扱う際に改めて定義・解説する。

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