# 微分の応用と計算テクニック

## 導関数の定義からの計算

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<summary>🔍 微分の基本に立ち返る</summary>

関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は、以下の極限で定義される：

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

この定義を直接適用して導関数を求めるプロセス：

1. $f(x+h)$ を計算する
2. 分子 $f(x+h) - f(x)$ を計算し、可能な限り因数分解する
3. $h$ で割り、極限を取る

### 計算のポイント

- **因数分解の重要性**：分子に現れる $h$ を抜き出し、約分する
- **恒等式の活用**：二項展開や三角関数などの恒等式を活用
- **$h \to 0$ のとき不定形になる場合**：
- 約分してから極限を取る
- 基本的な極限（例：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$）を活用

### 特に注意が必要な関数

- 絶対値関数 $|x|$：$x=0$ で左右の挙動が異なる
- 根号を含む関数：定義域と変数の制約に注意
- 三角関数：三角関数の恒等式を使いこなす

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## 微分の基本公式

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<summary>📚 必須の微分公式</summary>

以下の基本公式は微分計算の基礎となる：

1. $(x^n)' = nx^{n-1}$ （$n$ は任意の実数）
2. $(e^x)' = e^x$
3. $(\log x)' = \frac{1}{x}$ （自然対数）
4. $(\sin x)' = \cos x$
5. $(\cos x)' = -\sin x$
6. $\displaystyle(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

また、上記から派生する追加公式も重要：

- $(a^x)' = a^x \ln a$ （$a > 0$）
- $\displaystyle(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}$ （$a > 0, a \neq 1$）

これらは使っているうちに覚えてしまうのが普通だが、忘れても定義に立ち返って再構築できるようにすることが最も重要。

※ 指数関数 $e^x$ のことをしばしば $\exp x$ と書く。例えば $\exp\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)$ は $e^{-x^2/2}$ のこと。

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## 合成関数の微分法則

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<summary>🧩 関数の組み合わせを微分する</summary>

多くの複雑な関数は基本的な関数の組み合わせで表現できる。そのための微分法則を押さえておく：

### 1. 和・差の微分

$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$

### 2. 定数倍の微分

$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ （$c$ は定数）

### 3. 積の微分（ライプニッツの公式）

$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

※拡張：$(f \cdot g \cdot h)' = f' \cdot g \cdot h + f \cdot g' \cdot h + f \cdot g \cdot h'$

### 4. 商の微分

$\displaystyle\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$

### 5. 合成関数の微分（連鎖律）

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

※記号的に：$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ （$u = g(x)$, $y = f(u)$）

### 特に重要な応用例

- $(g(x)^n)' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)$
- $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
- $\displaystyle(\log|g(x)|)' = \frac{g'(x)}{g(x)}$
- $(\sin(g(x)))' = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$

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## 双曲線関数

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<summary>🌊 双曲線関数の世界</summary>

### 双曲線関数の定義

双曲線関数（hyperbolic functions）は指数関数を用いて以下のように定義される：

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

### 三角関数との関係

オイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ を用いると、三角関数と双曲線関数の関係が明らかになる：

$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
$$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

これを比較すると：
- $\sinh x = -i \sin(ix)$
- $\cosh x = \cos(ix)$

逆に解くと：
- $\sin x = -i\sinh(ix)$
- $\cos x = \cosh(ix)$

### 重要な恒等式

三角関数の基本恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ に対応して：

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$

### 微分公式

三角関数と酷似した微分公式が成立。詳しくは演習問題で確認してみよ。

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## 対数微分法

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<summary>🔄 複雑な指数・積・商形式を簡単に</summary>

対数微分法は、以下のような複雑な関数の微分に効果的である：
- 指数が変数を含む関数（例：$x^x$）
- 複雑な積や商の形（例：$\dfrac{(x^2+1)^3}{(x+2)^5}$）
- 複数の関数の積（例：$x^2 \cdot \sin x \cdot e^x$）

### 基本的な手順

1. 関数 $f(x)$ の両辺の自然対数をとる：$\log f(x)$
2. 対数の性質を使って式を変形する
- $\log(AB) = \ln A + \ln B$
- $\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log A - \log B$
- $\log(A^n) = n\log A$
3. 両辺を $x$ で微分する
4. $f'(x)$ について解く：$f'(x) = f(x) \cdot \dfrac{d}{dx}[\log f(x)]$

### 具体的な計算パターン

演習問題から確認してみよ。

### 対数微分法が効果的な場面

- 積や商が多数含まれる関数
- 指数が変数を含む関数
- 多重の指数関数（例：$x^{x^x}$）

この方法は、一見複雑な関数の微分を系統的に行えるようにする。微分の連鎖律や積の法則を何度も適用するよりも、計算ミスが少なく効率的。

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