# 高中數學公式證明 by惠文高中 陳俊霖 張景旭
###### tags: `Math`
* ## 證明內容：
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### 證明在高中課綱出現過但未證明公式，和一些不在課綱內的進階公式
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## 單元一 數據分析
* ### 在下方的散布圖中，對任意直線L:y=ax+b，把數據$(x_i,y_i)$與點 $(x_i,y_i)$的距離$| y_i-(ax_i+b) |$稱為點 $(x_i,y_i)$ 到直線L的鉛直線段長度。當有n筆數據據 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)$ 時，會有n筆鉛直線段長度，並定義　$E =\displaystyle \sum_{i=1}^n (a +bx_i-y_i)^2$。　$\\pf:當其直線L: y-\mu_y = r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)，E有最小值，\\其中\mu_x、\mu_y分別為X、Y之算術平均，\sigma_x\sigma_y分別為X、Y之標準差，r為X、Y之相關係數$
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1. ### 設$S_{xy} = \displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\ \mu_x)(y_i-\ \mu_y),\quad S_{xx} = \displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\ \mu_x)^2,\quad S_{yy} = \displaystyle \sum_{i=1}^n(y_i-\ \mu_y)^2$
2. ### 其中$S_{xy} = \displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i y_i-x_i\mu_y-y_i\mu_x+\mu_x\mu_y) =\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i y_i-\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i\mu_y-\displaystyle \sum_{i=1}^ny_i\mu_x+\displaystyle \sum_{i=1}^n\mu_x\mu_y = \displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i-n\mu_x\mu_y \\同理\\S_{xx} = \displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^2-n\mu_x^2, \quad S_{yy} = \displaystyle \sum_{i=1}^ny_i^2-n\mu_y^2 \\且\\ \sigma_x= \sqrt{\frac{S_{xx}}{n}}、\sigma_y= \sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}、r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$
3. ### $\begin{aligned} E &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (a +bx_i-y_i)^2 \\&= \displaystyle \sum_{i=1}^n(a^2+b^2x_i^2+y_i^2+2abx_i-2bx_iy_i-2ay_i)\\&= \displaystyle \sum_{i=1}^na^2+ \displaystyle \sum_{i=1}^nb^2x_i^2+ \displaystyle \sum_{i=1}^ny_i^2+ \displaystyle \sum_{i=1}^n2abx_i- \displaystyle \sum_{i=1}^n2bx_iy_i- \displaystyle \sum_{i=1}^n2ay_i \\&= na^2+b^2(S_{xx}+n\mu_x^2)+(S_{yy}+n\mu_x^2)+2ab(n\mu_x)-2b(n\mu_x\mu_y)-2a(n\mu_y) \\&= n(a^2+2ab\mu_x +b^2\mu_x^2)+b^2S_{xx}+S_{yy} + n\mu_y^2 - 2bS_xy-2bn\mu_x\mu_y-2an\mu_y \\ &= n[(a+b\mu_x)^2-2\mu_y(a+b\mu_x)] +S_{xx}(b^2-\frac{2S_{xy}b}{S_{xx}})+S_{yy} +n\mu_y^2 \\&=n(a+b\mu_x-\mu_y) +S_{xx}(b-\frac{S_{xy}}{S_{xx}})^2 + S_{yy} -\frac{S^2_{xy}}{S_{xx}} \\ &\therefore 當\left\{ \begin{matrix} a+b\mu_x -\mu_x &=& 0 \hfill\\ b-\frac{S_{xy}}{S_{xx}} &=& 0 \end{matrix} \right. 即\left\{ \begin{matrix} a&=&\mu_y -\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x \hfill\\ b&=&\frac{S_{xy}}{S_{xx}} \end{matrix} \right. \\ &E有最小值產生 \end{aligned}$
4. ### 故$\large \large L: y-\mu_y = \large \frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x)$
5. ### 其斜率 $\large \large \frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{r\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}{S_{xx}}=r\frac{\sqrt{S_{yy}}}{\sqrt{S_{xy}}}=r\frac{\sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}}{\sqrt{\frac{S_{xx}}{n}}}=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Q.E.D$

* ### 心得
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### 這個證明最困難的部分是將代數的離散和展開再合併的繁瑣過程，下標的判讀也令人眼花
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## 單元二 平面幾何

* ### 有一半徑為r之圓$\\pf: 其圓面積A = \pi r^2$
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1. ### 建立一座平面標系並將原心設於原點如圖，則其方程式為 $x^2 + y^2 = r^2$
2. ### 其上半圓方程式為 $y = \sqrt{r^2-x^2}$
3. ### 其位於第一象限之面積為 $A_{I} = \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\text{d}x$
4. ### $令\quad x =r\cos{\theta}， 則dx =-r\sin{\theta}\text{d}\theta，\\且當x \to 0^+ \Rightarrow \theta \to \frac{\pi}{2} \\又當x \to r \Rightarrow \theta \to 0$
5. ### 則 $A_I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{r^2-r^2\cos^2{\theta}}(-r\sin{\theta}\text{d}\theta) = r^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta$
6. ### 由倍角公式$\cos2\theta=1-2\\sin^2\theta \Rightarrow \sin^2\theta =\frac{1-\cos2\theta}{2}$
7. ### 則$A_I = r\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-cos2\theta}{2} = \frac{1}{2}(\theta-\frac{1}{2}sin2\theta|^\frac{\pi}{2}_{0})=\frac{\pi}{4}r^2$
8. ### 所求$A=4A_I= \pi r^2 \\ \qquad \qquad \qquad \quad Q.E.D$

* ### 心得
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### 這是我們第一次遇到變數在根號裡面的定積分，在處理的時候需要一些技巧。一直很好奇圓面積中的$\pi$究竟從何而來，現在我知道答案了
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## 單元三 空間幾何
* ### 一四面體PABC，以P為頂角之三面餘弦值為p,q,r，又P到ABC之向量分別為$\vec{a},\vec{b} ,\vec{c}$ $\\pf: 四面體積V = \frac{\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \lvert \vec{c} \rvert }{6}\sqrt{1-p^2-q^2-r^2+2pqr}$

1. ### $V = \frac{1}{6}\lvert\begin{vmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \\\end{vmatrix}\rvert$
2. ### 由行列式性質 $\begin{vmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \\\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \\\end{vmatrix}$
3. ### $\begin{aligned} V^2 &= \frac{1}{36}\begin{vmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \\\end{vmatrix} \times (\begin{vmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \\\end{vmatrix}) = \frac{1}{36}det(\begin{bmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \\\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \\\end{bmatrix} )= \frac{1}{36}det(\begin{bmatrix} \vec{a}^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b}^2 & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c}^2 \end{bmatrix}) \\ &= \frac{1}{36}\begin{vmatrix} \lvert \vec{a}\rvert^2 & \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert p & \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{c} r \rvert \\ \lvert \vec{b} \rvert \lvert \vec{a} \rvert p& \lvert\vec{b}\rvert^2 & \lvert \vec{b} \rvert \lvert \vec{c} \rvert q \\ \rvert \vec{c} \rvert \lvert \vec{a} \rvert r& \lvert \vec{c} \rvert \lvert \vec{b} \rvert q & \lvert \vec{c}\rvert^2 \end{vmatrix} = \frac{(\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \lvert \vec{c} \rvert )^2 }{36}\begin{vmatrix} 1 & p & r \\ p & 1 &q \\ r& q & 1 \end{vmatrix} \end{aligned}$

4. ### $V = \frac{\lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \lvert \vec{c} \rvert }{6}\sqrt{1-p^2-q^2-r^2+2pqr} \\ \text{. Q.E.D}$
* ### 心得
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### 在瀏覽維基百科時注意到四面體有新的算法，便嘗試自己推導。最重要的是行列式平方時需要進行行列互換，就可以看到很漂亮的結果。
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* ### 空間中有一半徑為$R$之球體，$\\pf:其體積V=\frac{4}{3}\pi R^3,\quad其表面積A=4\pi R^2$

1. ### $V =2\int_{0}^{R}{\pi(\sqrt{(R^2-x^2)})^2}dx =2\pi\int_{0}^{R}(R^2-x^2)=2\pi (R^2x-\frac{1}{3}x^3|_0^R)= \frac{4}{3}\pi R^3 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \quad \text{Q.E.D}$
2. ### $將一球分割為無數圓錐台如圖，則圓錐台側面積\\ dA_0=\frac{1}{2}(dR+R)^2\theta-\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}2rdr\theta-\frac{1}{2}dr^2\theta\cong r dr \theta\quad(dr\gg dr^2)$
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4. ### $下圖著色區域為球體之部分側面，將其視為圓錐台之底面，其中\overline{PA}=R, \angle APB=d\theta, \angle CPB=\theta\\ 由2.之結論其面積\\ dA=(2\pi R \sin\theta)(Rd\theta)$

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5. ### $\begin{align*} A =\int_{0}^{\pi}dA &=\int_{0}^{\pi}(2\pi R \sin\theta)(Rd\theta) \\&= 2\pi R^2 \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \\&= 2\pi R^2(-\cos\theta|_0^\pi)=4\pi R^2\end{align*}\\\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{Q.E.D}$
* ### 心得
* :::info
### 高中數學對於球體的描述不多，本來想直接用$2\pi r$做定積分，但那樣的話就是圓盤面積了，形狀特別的定積分最重要的是能夠正確的分解圖形
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## 單元四 微積分
* ### $設{\displaystyle f}和{\displaystyle g}為兩個關於{\displaystyle x_0}可導函數，\\ pf:{\displaystyle (g\circ f)'(x_0)=g'[f(x_0)]f'(x_0) }$
1. ### $Define \quad F(x) = \left\{\large \begin{matrix} \frac{g(y)-g[f(x_0)]}{y-f(x_0)} \quad y \not=f(x_0) \hfill\\ g'[f(x_0)]) \quad y =f(x_0) \end{matrix} \right. \\ \Rightarrow \displaystyle{\lim_{y \to f(x_0)}} F(y) =\displaystyle{\lim_{y \to f(x_0)}} \frac{g(y)-g[f(x_0)]}{y-f(x_0)} =g'[f(x_0)]=F[f(x_0)]$
2. ### $\text{For } t\not=x_0 \\ \text{If } f(t)=f(x_0), \large\frac{g[f(t)]-g[f(x_0)]}{t-f(x_0)}=0=F[f(x_0)] \large\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}\\ \text{If } f(t)\not=f(x_0), \large\frac{g[f(t)]-g[f(x_0)]}{t-f(x_0)}= \frac{g[f(t)]-g[f(x_0)]}{f(t)-f(x_0)}\frac{f(t)-f(x_0)}{t-f(x_0)} =F[f(x_0)] \large\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}$
3. ### $\text{So, }\\ \begin{aligned} (g\circ f)'(x_0)&=\displaystyle{\lim_{t \to x_0}} \frac{(g\circ f)(t)-(g\circ f)(x_0)}{t-x_0}\\&=\displaystyle{\lim_{t \to x_0}} \frac{g(f(t))-g(f(x_0))}{f(t)-f(x_0)}\\&=\displaystyle{\lim_{t \to x_0}}F[f(x_0)] \large\frac{f(t)-f(x_0)}{t-x_0}\\&=g'[f(x_0)]f'(x_0) \end{aligned}$
* ### 心得
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### 鏈鎖相較於其他微分公式較不直觀，所以想要證明一下。證明的過程只要謹記導函數的定義就能一直推導下去。
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* ### $pf: \large \frac{d}{dx}\sin x= \cos x \text{ and } \frac{d}{dx}\cos x= -\sin x$
1. ### when $0<x<\frac{\pi}{2},\quad sinx<x<tanx\\ \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\\ \Rightarrow 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x$
2. ### $\because \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}} \cos x=1 \text{ and }\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}}1=1\\ \therefore \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}}\frac{\sin x}{x}=1$
3. ### $\text{let }y=-x\\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^-}}\frac{\sin x}{x}=\displaystyle{\lim_{y \to 0^+}}\frac{\sin -y}{-y}=\displaystyle{\lim_{y \to 0^+}}\frac{\sin y}{y}=1$
4. ### By 2. 3. $\Rightarrow \displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{\sin x}{x} =1$

5. ### $\begin{align*}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}\\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}\\ &= 1 \cdot 0\\ &= 0\end{align*}$

6. ### $\begin{align*}\frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos(h) + \cos x \sin(h) - \sin x}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin x [ \cos(h) - 1] + \cos x \sin(h)}{h}\\ &= \sin x \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos(h) - 1}{h} \right] + \cos x \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin(h)}{h} \right]\\ &= \cos x \end{align*} \\\qquad \qquad\qquad\qquad \text{Q.E.D}$
7. ### $\begin{align*}\frac{d}{dx} \cos x &=\frac{d}{dx} (1-\sin^2 x)^\frac{1}{2} \\&= \frac{1}{2} (1-\sin^2 x)^{-\frac{1}{2}}(-2\sin x\cos x )\\&= \frac{1}{2} (\cos ^2 x)^{-\frac{1}{2}}(-2\sin x\cos x ) \\&=-\sin x \end{align*} \\\qquad \qquad\qquad\qquad \text{Q.E.D}$

* ### 心得
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### 這是我們覺得證明步驟最攏長的一個證明，為了證明正弦函數的微分，居然必須先用夾擠定理證明兩個函數的極限，但證明出來的成就感也讓我們非常滿足。
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* ### 7

## 參考連結
* ### https://www.youtube.com/watch?v=7uizLoI7yVw
* ### https://www.youtube.com/watch?v=mr4-vq8xl7U&list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN&index=11
* ### https://www.youtube.com/watch?v=tKrx2zqdSug
* ### https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E9%AB%94