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# System prepended metadata

title: HW36

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# HW36

## ![](https://i.imgur.com/cLpP3Rk.png)
* ### (1)
    $a_2 =4, a_3=9$ 
* ### (2)
    猜測
    $$
    a_n= n^2
    $$
* ### (3)

 1. 當$n=1$時，$a_1=1+1\times(1-1)=1$ ，原式成立
 2. 假設$n=k$ ( $k\in N$)，原式成立，則
    $$
    a_k= k^2
    $$
 3. 當 $n=+k+1$，
 $$ 
 a_{k+1}= a_k + [(2(k+1)-1)]  \\=k^2+2k+1  \\= (k+1) \\
 $$
 
 
     原式亦成立
 4. 故原式由數學歸納法得證，$Q.E.D$
## ![](https://i.imgur.com/VxajiSH.png)
* (1) 
$$
a_n=n\times (2n+1)
$$
* (2)
 1. 當$n=1$時，$a_1=1\times3=3$  ，原式成立
 2. 假設$n=k$ ( $k\in N$)，原式成立，則
 $a_k=k\times (2k+1)$
 3. 當 $n=k+1$，
 $$
 a_{k+1} = 4k+3+a_k \\= 4k+3 + k\times (2k+1) =\\= 4k+3 +2k^2 +k \\=(k+1)(2k+3) \\=(k+1)[2(k+1)+1]
 $$
 **原式亦成立**
 4. 故原式由數學歸納法得證，$Q.E.D$
## ![](https://i.imgur.com/EvJ3UGy.png)
$$
a_{100} = {100 \over 100+1} = {100\over 101}
$$
