# HW36

## 
* ### (1)
$a_2 =4, a_3=9$
* ### (2)
猜測
$$
a_n= n^2
$$
* ### (3)

1. 當$n=1$時，$a_1=1+1\times(1-1)=1$ ，原式成立
2. 假設$n=k$ ( $k\in N$)，原式成立，則
$$
a_k= k^2
$$
3. 當 $n=+k+1$，
$$
a_{k+1}= a_k + [(2(k+1)-1)] \\=k^2+2k+1 \\= (k+1) \\
$$

原式亦成立
4. 故原式由數學歸納法得證，$Q.E.D$
## 
* (1)
$$
a_n=n\times (2n+1)
$$
* (2)
1. 當$n=1$時，$a_1=1\times3=3$ ，原式成立
2. 假設$n=k$ ( $k\in N$)，原式成立，則
$a_k=k\times (2k+1)$
3. 當 $n=k+1$，
$$
a_{k+1} = 4k+3+a_k \\= 4k+3 + k\times (2k+1) =\\= 4k+3 +2k^2 +k \\=(k+1)(2k+3) \\=(k+1)[2(k+1)+1]
$$
**原式亦成立**
4. 故原式由數學歸納法得證，$Q.E.D$
## 
$$
a_{100} = {100 \over 100+1} = {100\over 101}
$$