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title: 'Nodal Integration'
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# Integração Nodal
Data: 03 de Maio de 2025
Resumo feito com o DeepSeek

## Sumário

[TOC]

## Introdução
**O que é?**
Técnica de integração numérica que usa os próprios nós da discretização como pontos de integração, atribuindo pesos baseados na distribuição nodal (ex.: volume associado a cada nó). Comum em métodos meshless como **EFG (Element-Free Galerkin)** e **Meshless Local Petrov-Galerkin**.

**Como funciona:**
A integral é aproximada por uma soma ponderada dos valores do integrando nos nós: $$\int_{\Omega}f(x)d\Omega \approx \sum_{i=1}^n f(x_i)w_i$$ onde $w_i$ é o peso associado ao nó $x_i$ (ex.: área da célula de Voronoi)

**Variantes:**
* Direct Nodal Integration (DNI): Simples, mas pode instabilizar.
* Stabilized Nodal Integration (SNI): Adiciona correções para evitar instabilidades numéricas.
**Relação com métodos meshless:**
* Métodos sem malha (como MLPG, EFG, RPIM) não possuem elementos ou conectividade estruturada.

## Histórico, Desafios e Soluções
**Origem**
A técnica foi proposta para resolver um problema crítico em métodos meshless: a integração numérica em domínios irregulares, onde malhas de fundo (background grids) ou subdomínios locais são ineficientes ou complexos de implementar.

A nodal integration foi popularizada por trabalhos como os de Beissel e Belytschko (1996) no EFG (Element-Free Galerkin) e depois adaptada para o MLPG por Atluri e colaboradores. Surgiu como uma alternativa à quadratura de Gauss em métodos meshless, que enfrentava desafios em:

* Domínios com nós irregularmente distribuídos.
* Problemas com grandes deformações (onde malhas de fundo se tornam inviáveis).

**Vantagens Chave:**
* Eficiência: Não requer cálculo de domínios de integração complexos.
* Simplicidade: Os pesos de integração são baseados na densidade nodal (ex.: volume da célula de Voronoi).
* Consistência: Alinha-se com a ideia de que os nós são a única entidade geométrica necessária.

**Desafios e Soluções**
A nodal integration "pura" (Direct Nodal Integration - DNI) tem um problema grave:

* **Instabilidades numéricas:** Pode levar a modos de energia zero (zero-energy modes ou hourglass modes), causando soluções espúrias.
* **Como resolver?** Foram desenvolvidas técnicas de estabilização:
- **Stabilized Nodal Integration (SNI)**: Adiciona termos de estabilização baseados em derivadas de alta ordem. Ex.: Strain Smoothing (suavização de deformações).
- **Voronoi Cell Integration**: Usa as células de Voronoi dos nós para definir pesos de integração mais precisos.
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## Função Teste vs Peso $w_i$
> **Não Confunda:** O **peso associado** a célula de Voronoi dentro dessa estratégia **não é** similar a assumir uma **função teste** $v$ da forma fraca.

### Função de Teste (Forma Fraca)
**O que é:** Uma função escolhida para multiplicar a EDP e transformá-la em uma forma integral.
**Papel:** No MLPG, $v$ não precisa ser igual à função de forma (por isso é Petrov-Galerkin).
**Exemplo comum:** pode ser uma função constante ou linear no subdomínio local $\Omega_s$.

> Não tem relação com os pesos da quadratura!

### Peso (Integração Nodal)
**O que é:** Um fator que pondera o valor do integrando no nó $x_i$ durante a integração numérica.
**Origem:**
* Se usar células de Voronoi, $w_i$ é a área/volume da célula associada ao nó $x_i$.
* Se usar outra técnica (ex.: quadratura adaptativa), $w_i$ vem dos pesos do método de integração.

**Papel:** Aproximar a integral $$\int_{\Omega}f(x)dx \approx \sum_i f(x_i)w_i$$

### Exemplo
Suponha a equação do calor $\nabla^2 u = f$. A forma fraca pode ser escrita como segue: $$\int_{\Omega_s} v (\nabla^2 u - f) d \Omega =0$$ aqui $v$ é uma função de teste arbitrária (ex.: $v=1$ em $\Omega_s$).

Fazendo a integração por partes na expressão acima $$\int_{\Omega_s} \nabla v \cdot \nabla u \ d \Omega= \int_{\Omega_s} vf d \Omega + \text{termos de contorno}$$

Para essas duas integrais podemos fazer a aproximação por Integração Nodal usando os nós $x_i$ e pesos $w_i$ $$\sum_{i=1}^n \nabla v(x_i) \cdot \nabla u (x_i) w_i \approx \sum_{i=1}^n v(x_i)f(x_i)w_i$$ os $w_i$ vêm das células de Voronoi ou outra estratégia.

## Estratégias de Pesos $w_i$
### Volume Associado a Nós (Nodal Volume)
**Como funciona:** Atribui a cada nó um volume baseado na distribuição local dos nós (sem calcular Voronoi).

**Exemplo:** Em 1D,$w_i = \frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{2}$

**Vantagens:** Simples e rápido. Não requer geometria complexa.

**Desvantagens:** Menos preciso para nós irregularmente distribuídos.

### Método de Densidade Nodal (Nodal Density)
**Como funciona:** Usa a densidade local dos nós para calcular pesos.
$w_i = \frac{1}{\rho_i}$, onde $\rho_i$ é a densidade de nós ao redor de $x_i$.

**Vantagens:** Adapta-se automaticamente a regiões com mais/menos nós.

**Desvantagens:** Sensível a ruídos na distribuição nodal.

### Integração por Partição da Unidade (Partition of Unity)
**Como funciona:** Usa as próprias funções de forma meshless (ex.: MLS, RPIM) para definir os pesos.
$w_i = \int_\Omega \phi_i(x) d \Omega$, onde $\phi_i$ é a função de forma do nó $x_i$.

**Vantagens:** Consistente com a aproximação meshless.

**Desvantagens:** Caro computacionalmente (requer integração numérica).

> **Nota:** Essa estratégia está intimamente ligada ao Método da Partição da Unidade (PUM *Partition of Unity Method*), desenvolvido por Ivo Babuska e colaboradores nos anos 1990.
> **Ler Resumo no Github:** [Método da Partição da Unidade](https://github.com/Paulo-de-Souza/MatPhyEng/wiki/M%C3%A9todo-da-Parti%C3%A7%C3%A3o-da-Unidade-(PUM))

### Método de Weights by Neighbors (Vizinhos Mais Próximos)
**Como funciona:** Calcula com base na distância aos k-vizinhos mais próximos.

**Exemplo:** $w_i = \frac{\text{volume do dominio}}{\text{numero de nos}} \times \text{fator de correcao}$

**Vantagens:** Fácil de implementar.

**Desvantagens:** Pouco preciso para gradientes altos.

### Técnicas Híbridas (Voronoi + Suavização)
**Como funciona:** Combina células de Voronoi com filtros de suavização para evitar instabilidades.

**Exemplo:** *Strain Smoothing* (suavização de deformações).

**Vantagens:** Precisão melhorada.

**Desvantagens:** Mais complexo.

### Tabela Comparativa

|Método | Precisão | Custo | Melhor Para
|--- | --- | --- | --- |
Células de Voronoi | Alta |Moderado | Nós irregulares
Volume Associado|Baixa-Média|Baixo | Nós uniformes
Densidade Nodal|Média|Baixo| Domínios com densidade variável
Partição da Unidade|Alta| Alto |Aproximações MLS/RPIM
Vizinhos Mais Próximos|Baixa|Muito baixo | Protótipos rápidos

**Qual Escolher?**
Precisão: Voronoi ou Partição da Unidade.
Velocidade: Volume Associado ou Vizinhos Próximos.
Problemas com instabilidades: Técnicas híbridas.