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title: 【時間序列分析】Ch4：落後運算元與移動平均模型
tags: [時間序列分析]

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title: 【時間序列分析】Ch4：落後運算元與移動平均模型
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# 【時間序列分析】Ch4：落後運算元與移動平均模型

# 4.1 落後運算子 

落後運算子 (Lag operator) 是一個描述時間序列模型很常被使用的一個線性運算子，因為在時間序列分析中很常會要討論資料間「跨期」的關係，因而衍生出落後運算子。
我們定義：


$$L^k y_t = y_{t-k}$$

如此便連接起 $y_t$ 與「落後 $k$ 期」資料間的關係。

## 4.1.1 落後運算子的基本性質
以下是落後運算子的基本運算：
1. $(L^k+L^j)y_t = L^k y_t + L^j y_t = y_{t-k} + y_{t-j}$
2. $L^k L^j y_t = L^{k+j}y_t = y_{t-k-j}$
3. $L^0 y_t=y_t$
4. $L^{-k}y_t = y_{t+k}$
5. 若 $c$ 為常數，則 $Lc = c$

在有這些基本的認識後，舉例來說，差分就可以用落後運算子來表示：

- 一階差分：

$$\Delta Y_t = Y_t -Y_{t-1} = Y_t - L Y_t=(1-L)Y_t$$

- 與落後 $k$ 期資料的差：

$$\Delta_k Y_t = Y_t -Y_{t-k} = Y_t - L^k Y_t=(1-L^k)Y_t$$



## 4.1.2 落後運算多項式

從上面的例子來看，對於一個時間序列模型，我們可以使用落後運算元將各期資料與第 $t$ 期的資料做連接。
我們可以依著相同的概念定義**落後運算多項式 (lag polynomial)**：

$$\phi(L) = 1-\phi_1L-\phi_2L^2-\cdots-\phi_kL^k = 1-\sum_{j=1}^{k}\phi_jL^j$$

當 $p \to \infty$，此即**無窮期落後運算多項式**：

$$\phi(L) = 1-\phi_1L-\phi_2L^2-\cdots = 1-\sum_{j=1}^{\infty}\phi_jL^j$$

:::success
💡 對於無窮期落後運算多項式，若我們說常數 $|\phi| <1$，透過無窮等比級數公式，可得：

$$1+\phi L+\phi^2 L^2 + \phi^3 L^3 + \cdots = \frac{1}{1-\phi L}$$

:::

# 4.2 移動平均模型

在介紹**移動平均模型 (moving average model)** 之前，我們先來講講何為[**移動平均**](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%A7%BB%E5%8B%95%E5%B9%B3%E5%9D%87)。


<img style="display: block; margin: auto;"
src="https://ppt.cc/flQk7x@.png" width="100%">

<p style="text-align: center;">
<a href="https://www.cmoney.tw/forum/stock/2330?s=technical-analysis
">CMoney</a>
上的台積電股價 K 線圖
</p>




在討論股票價格時，對於每日成交價的視覺化，常用[ k 線圖](https://startingedu.com/how-to-understand-candlestick-charts/)來表示，在各大股票網站與券商 APP 皆會輔以 5 日線、20 日線以及 60 日線來表示股價的趨勢，而所謂「5 日線」即是「5 日簡單移動平均線」的意思。

## 4.2.1 簡單移動平均 

讓我們以 **20 日線**為例來介紹**簡單移動平均 (simple moving average，SMA)**，就是蒐集從今天開始前 20 個交易日的收盤價 $\{ p_t,p_{t-1},p_{t-2},\dots,p_{t- \color{Red}{19} } \}$ 一共 20 筆資料：

$$\text{SMA}_{20} = \frac{ p_t+p_{t-1}+p_{t-2}+\dots+p_{t- \color{Red}{19} }   }{20}$$

當時間又過到明天 (新的一個交易日)，移動平均就會進行更新，將最舊的一筆資料 ($p_{t-19}$) 移除，並且加入新的一筆資料 ($p_{t+1}$)：

$$\text{SMA}_{20,\color{Red}{\text{next}}} = \frac{ p_{t \color{Red}{+1} }  + p_t+p_{t-1}+p_{t-2}+\dots+p_{t- \color{Red}{18} }   }{20}$$

我們可以將 20 日線的例子一般化成 $n$ 日線：

$$\text{SMA}_{n} = \frac{ p_t+p_{t-1}+p_{t-2}+\dots+p_{t- \color{Red}{n+1} }   }{n}$$

$n$ 日移動平均的更新過程為：

$$\text{SMA}_{n,\color{Red}{\text{next}}} = \text{SMA}_{n} + \frac{1}{n}(p_{t+1}-p_{t-k+1})$$

## 4.2.2 移動平均模型

移動平均模型 (moving average model，MA model) 是認為當期時間序列的值由「當期隨機衝擊」與「過去所面對之隨機衝擊的加權平均」所組成，描述隨機變數某種誤差修正的能力。移動平均模型也是一個「**定態**」的時間序列模型。

MA 模型可以是 AR 模型的一種拓展，但我們暫時在此打住不提。

**1. 一階移動平均模型 (MA(1) model)**

$$Y_t = \mu + e_t + \theta_1 e_{t-1},\ e_t \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim}  WN(0,\sigma^2) $$

此為 MA(1) 模型，其中 $e_t$ 為嚴格定態並具有遍歷性之白噪音。
接著，我們可以討論 MA(1) 模型 的動差性質與自我共變異數：

- 均數

$$\begin{align}
E[Y_t] &= E[ \mu + e_t + \theta_1 e_{t-1}]\\
       &= \mu +E[e_t] + \theta_1 E[e_{t-1}] \\
       &= \mu + 0 + 0 \\ 
       &=\mu
\end{align}
$$

- 變異數

$$\begin{align}
Var[Y_t] &= Var[ \mu + e_t + \theta_1 e_{t-1}]\\
         &=  E[e_t^2] - 2\theta E[e_t e_{t-1}] + \theta_1^2 E[e_{t-1}^2]    \\ 
         &=  \sigma^2 - 0 +\theta_1^2 \sigma^2\\
         &= (1+\theta_1^2) \sigma^2
\end{align}
$$

- 1 階自我共變異數 (Lag-1 autocovariance)

$$\begin{align}
\gamma(1)
        &= E[(e_t + \theta_1 e_{t-1})(e_{t-1} + \theta_1 e_{t-2})]\\
        &= E[e_t e_{t-1}] +\theta_1E[e_t e_{t-2}] +\theta_1 E[e_{t-1}^2] + \theta_1^2 E[e_{t-1}e_{t-2}]\\        &= \theta_1 \sigma^2
\end{align}
$$

故 $\theta_1$ 的正負號決定了 1 階自我共變異數為正相關或負相關。

- - 1 階自我共相關係數 (Lag-1 autocorrelation)

$$\rho(1) = \frac{\gamma{1}}{\gamma{0}} = \frac{\gamma{1}}{Var[Y_t]} = \frac{\theta_1 \sigma^2}{(1+\theta_1^2 )\sigma^2}  =\frac{\theta_1 }{1+\theta_1^2  }   $$

:::info
📚 $\gamma(k) = \rho(k) =0, \ k \geq 2$ 。
:::


**2. q 階移動平均模型 (MA(q) model)**

在認識 MA(1) 模型後，我們跟著相同的概念，來建立一個 q 階 (有限階) 的移動平均模型：

$$Y_t = \mu + \color{red}{\theta_0} e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2}+ \cdots + \theta_q e_{t-q}$$

通常 $\theta_0 =1$。

MA(q) 模型 的動差性質：

- 均數

$$E[Y_t] = \mu$$

因為 $\{e_t\} \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} WN(0,\sigma^2)$。

- 變異數

$$Var[Y_t] = (\sum_{j=0}^q \theta_j^2)\sigma^2$$

因為「白噪音」是序列無關，任兩不同期的一階交叉動差階為0。


- k 階自我共變異數 (Lag-k autocovariance)

$$\gamma(k) = (\sum_{j=0}^{q-k} \theta_{j+k}\theta_j)\sigma^2,\ k \leq q$$

此式透過「白噪音」是序列無關的性質一樣可以簡單地推出。


- k 階自我共相關係數 (Lag-k autocorrelation)

$$\rho(k)=\frac{\gamma(k)}{Var[Y_t]}=\frac{(\sum_{j=0}^{q-k} \theta_{j+k}\theta_j)\sigma^2}{ (\sum_{j=0}^q \theta_j^2)\sigma^2}=\frac{\sum_{j=0}^{q-k} \theta_{j+k}\theta_j}{ \sum_{j=0}^q \theta_j^2 }, \ k \leq q$$

$\rho(k) =0, \text{if}\ k>q$。


:::success
💡 用**落後運算子**描述 MA(q) 模型：

$$\begin{align}
Y_t &=
    \mu +{\theta_0} e_t + \theta_1 e_{t-1} + \theta_2 e_{t-2}+ \cdots + \theta_q e_{t-q} \\
    &=\mu + \color{red}{(\theta_0+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)} e_t\\
    &=\mu + \color{red}{\theta(L)} e_t
\end{align} $$


💡 MA(q) 模型的**可逆性 (invertibility)**：

承上，我們用落後運算子去描述了 MA(q) 模型，我們可以對其進行簡單的代數運算得：

$$\begin{align}
e_t &= \frac{1}{\color{red}{\theta(L)}} (Y_t -\mu)
\end{align} $$

若此式成立，則表示該 MA(q) 模型可逆，其必要條件為 $\theta(z) =0$ 之根要落在單位圓之外。
(此性質牽涉到 MA 與 AR 模型的關聯性以及[**單根**](https://www.ptt.cc/bbs/CCU-GIE96/M.1219732052.A.268.html)問題，我們會於後續部分補充)
:::

:::success
💡 MA(1) 模型的可逆性 (invertibility)：

MA(1):
$$Y_t = \mu + e_t + \theta_1 e_{t-1},\ e_t \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim}  WN(0,\sigma^2)$$

當 $|\theta_1| < 1$，表示 MA(1) 是可逆的。

:::spoiler 說明


我們先將 MA(1) 移項為：

$$e_t = -\mu + Y_t - \theta_1 e_{t-1}$$

因此，$e_{t-1} = -\mu + Y_{t-1} - \theta_1 e_{t-2}$

將其代入 $e_t$，並且反覆帶入 n 次：

\begin{align*}
e_t &= -\mu + Y_t - \theta_1 e_{t-1} \\
    &= -\mu + Y_t - \theta_1 (-\mu + Y_{t-1}-\theta_1 e_{t-1}) \\
    &= (-1+\theta_1)\mu + Y_t - \theta_1 Y_{t-1} + \theta_1^2 e_{t-2} \\
    &= (-1+\theta_1 -\theta_1^2)\mu + \sum_{j=0}^2(-\theta_1)^j Y_{t-j} - \theta_1^3 e_{t-3}\\
    & \cdots \\
    &= \sum_{j=0}^n(-\theta_1)^j(-\mu) +  \sum_{j=0}^n(-\theta_1)^j Y_{t-j} + (-\theta_1)^{n+1} e_{t-n-1}
\end{align*}  

此時當 $n \to \infty$，

\begin{align*}
e_t &= \sum_{j=0}^\infty (-\theta_1)^j(-\mu) +  \sum_{j=0}^\infty (-\theta_1)^j Y_{t-j} 
\end{align*} 

若上式要成立，則必須要求 $|\theta_1|<1$，此為 MA(1) 可逆的充要條件。
:::


**3. 無窮階移動平均模型 (MA(∞) model)**

近一步地拓展 MA(q) 模型，當 $q \to \infty$，即為 MA(∞) 模型。

$$Y_t = \mu +\sum_{j=0}^{\infty}\theta_j e_{t-j} $$

MA(∞) 模型 的動差性質與 MA(q) 相近：

- 均數

$$E[Y_t] = \mu$$

因為 $\{e_t\} \overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} WN(0,\sigma^2)$。

- 變異數

$$Var[Y_t] = (\sum_{j=0}^\infty \theta_j^2)\sigma^2$$



- k 階自我共變異數 (Lag-k autocovariance)

$$\gamma(k) = (\sum_{j=0}^{\infty} \theta_{j+k}\theta_j)\sigma^2 $$



- k 階自我共相關係數 (Lag-k autocorrelation)

$$\rho(k)=\frac{\gamma(k)}{Var[Y_t]}=\frac{\sum_{j=0}^{\infty} \theta_{j+k}\theta_j}{ \sum_{j=0}^\infty \theta_j^2 } $$

MA(∞) 模型是一個類似無窮級數的模型，因此我們不會希望該模型發散，如此會使得模型沒有意義。

我們說 MA(∞) 模型的定態條件為：
1. 絕對可加 (absolutely summable)：$\sum_{j=0}^{\infty} |\theta_j|<\infty$。
2. 且 $\{e_t\}$ 為白噪音序列。


:::info
📚 對於 MA(q) 模型來說，可以將其當成 MA(∞) 模型的一個特例，當 $j>q$ 時，$\theta_q=0$。 
:::


# 4.3 用 R 語言模擬 MA 模型

本部分例題取自賓夕法尼亞州立大學：[應用時間序列課程](https://online.stat.psu.edu/stat510/lesson/2/2.1)開放式網頁。

在 R 語言中，我們可以使用內建 `stats` 套件中的 `arima.sim` 函數去模擬 MA 模型。

## 4.3.1 模擬 MA(1) 模型 

若有一 MA(1) 模型為


$$Y_t=10+e_t+0.7e_{t-1}$$

其中，$e_t \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)$。

讓我們來計算其理論上的動差性質並與模擬的結果做對比。

在理論上：

$$\begin{align}
E[Y_t]  &=10 \\
Var[Y_t] &= (1+0.7^2)\times 1^2 = 1.49 \\
\gamma(1) &= 0.7 \times 1^2 =0.7 \\
\rho(1)  &= \frac{0.7}{1+0.7^2} = 0.4697987
\end{align} $$

此外，當 $k \geq 2$ 時，$\gamma(k)=\rho(k)=0$。


讓我們用 `R` 去生成此 MA(1) 模型的 150 個資料點：

```
Input:
set.seed(9527)
# 生成 MA(1) 的資料, theta1 = 0.7 的模型，預設的白噪音 error 是標準常態
Yt <- 10 + arima.sim(n=150, list(ma=c(0.7))) 
# 匯出生成點們
print(Yt)
```

```
Output:

Time Series:
Start = 1 
End = 150 
Frequency = 1 
  [1] 10.260616 10.760471  9.620448 10.139701 10.486962 11.741849 10.905336
  [8] 10.234828 11.200450 11.095247  9.817264  9.364172  9.932086 11.139503
 [15] 10.950566  8.761292  8.486231  9.762064 10.999911  9.871114  8.919616
 [22]  9.075657 10.288620 11.120364 12.034646 10.346365  9.783456  9.652560
 [29]  9.101388  8.503054  9.137114  9.646895  8.497241  8.106173  7.869598
 [36]  8.499379  9.158426 10.579906 10.298106  8.409116  8.593474 11.026008
 [43] 10.671602 10.029862  9.868653 10.170467 10.058508 11.352379 10.655500
 [50]  8.830543  8.526831  7.834692  7.088917  9.854170  9.197635  6.964819
 [57]  9.516030 10.457591  9.971116 11.633726 11.517887  9.859329  8.845964
 [64]  9.197528  9.276873  9.434904  9.755742  9.384180  9.507221 11.108597
 [71] 12.721168 11.324514  8.902170  7.488018  9.422065 10.805050  8.964212
 [78]  9.233536  9.582402  9.410107 11.801972 11.304690  9.664591  9.652011
 [85]  9.938911  9.455853 11.068088 10.940955  9.713682  9.178607  9.398902
 [92] 12.021376 12.211921  9.240717  8.798734  8.846317  8.893808  9.721076
 [99] 11.623914 10.311029  9.365301  9.584360  8.584382  7.594562  9.280879
[106]  8.844267  9.959752 10.360098 10.755162 10.749810 11.480572 11.725094
[113] 11.410181  9.443613 11.522834 12.612947 12.417776  9.709338  9.425732
[120]  9.162034 10.216360 11.969497 10.379672  8.367551  8.069453  8.701267
[127]  9.357364 12.095766 13.097186 11.571759  9.473030  8.650896  9.162105
[134]  8.532963  9.739305 11.004739 11.495611 10.360584  9.565874  9.374666
[141] 10.309911 11.534165 10.409513  9.140342  8.814228  9.989354 11.013241
[148] 11.048444  9.238198 11.124185
```


```
Input:
# 繪圖看看走勢
plot(Yt,main = "MA(1) theta_1 = 0.7")
abline(h=10)
```

```
Output:
```
![ma1](https://i.imgur.com/MHUplyr.png)


**計算樣本動差**：


```
Input:

#平均數:
mean(Yt)
#變異數 
var(Yt)
```

```
Output:

#平均數:
[1] 9.961232
#變異數
[1] 1.423271
```

```
Input:
#一階自我共變異數 ACVF

ACVF <- acf(Yt,type =  "covariance", xlim=c(1,10), 
            main="ACVF for simulated MA(1)",plot = T)
text(x = 1.5, y =ACVF$acf[2], labels = as.character(round(ACVF$acf[2],4)))
```

```
Output:
```
![ACV](https://i.imgur.com/xA145G6.png)



```
Input:
# 一階自我相關係數 ACF

ACF <- acf(Yt,type =  "correlation", xlim=c(1,10), 
           main="ACF for simulated MA(1)",plot = T)
text(x = 1.5, y =ACF$acf[2], labels = as.character(round(ACF$acf[2],4)))
```
```
Output:
```
![ACV](https://i.imgur.com/enZNa2y.png)

- **理論值與模擬值 (n=150) 的比較**

| 動差 | 理論值 | 模擬值 |
| ---- | ------ | ------ |
| 均數     |   10     |  9.9612      |
| 變異數  |    1.49    |  1.4232
| 一階自我共變數  |  0.7000      |  0.7129      |
|一階自我相關係數 | 0.4698  | 0.5043   |




## 4.3.2 模擬 MA(2) 模型 

現考慮一 MA(2) 模型：

$$Y_t=10+e_t+0.5e_{t-1}+0.3e_{t-2}$$

其中，$e_t \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)$。

我們同樣來計算其理論上的動差性質並與模擬的結果做對比。

在理論上：

$$\begin{align}
E[Y_t]  &=10 \\
Var[Y_t] &= (1+0.5^2+0.3^2)\times 1^2 = 1.34 \\
\rho(1)  &= \dfrac{0.5+0.5 \times 0.3}{1+0.5^2 +0.3^2} = 0.4851 \\
\rho(2) &= \dfrac{0.3}{1+0.5^2 +0.3^2}= 0.2239  
\end{align} $$ 






```
Input:
set.seed(9527)
# 生成 MA(1) 的資料, theta1 = 0.7 的模型，預設的白噪音 error 是標準常態
Yt2 <- 10 + arima.sim(n=150, list(ma=c(0.5, 0.3))) 
# 匯出生成點們
print(Yt2)
```

```
Output:

Time Series:
Start = 1 
End = 150 
Frequency = 1 
  [1] 10.698487  9.589927 10.465117 10.117365 11.945085 10.560790 10.817497 11.017217
  [9] 11.053869  9.987314  9.610258  9.832170 11.032279 10.777348  9.034282  8.828049
 [17]  9.453933 10.809060  9.733347  9.341804  8.957537 10.232058 10.824931 12.103963
 [25] 10.227023 10.408116  9.362516  9.308944  8.433255  9.215778  9.315324  8.541096
 [33]  8.270095  7.682791  8.488076  8.827342 10.529794  9.964732  8.756829  8.757684
 [41] 10.715102 10.262077 10.490012  9.742056 10.294312  9.898318 11.503950 10.296477
 [49]  9.356473  8.589222  7.734815  7.149941  9.744076  8.430541  7.618509  9.424774
 [57]  9.707710 10.259324 11.575034 11.223561 10.251897  9.054667  9.240042  9.061397
 [65]  9.489621  9.613521  9.363058  9.571893 10.977136 12.443637 11.307131  9.465786
 [73]  7.710408  9.439440 10.154880  9.084941  9.597698  9.170044  9.552337 11.695110
 [81] 10.842131 10.268035  9.688088  9.882632  9.403069 11.195540 10.474877 10.172172
 [89]  9.197214  9.464260 11.849427 11.747680  9.729714  9.271869  8.527591  8.987274
 [97]  9.530784 11.481046 10.002577 10.006186  9.355989  8.636960  7.716189  9.252142
[105]  8.286576 10.365546  9.737372 11.106976 10.460537 11.759650 11.458568 11.695902
[113]  9.479100 12.032324 11.784821 12.931725  9.649903 10.250802  8.612140 10.596598
[121] 11.408668 10.443260  8.837954  8.180563  8.519865  9.164928 11.969378 12.573714
[129] 11.947482  9.824828  8.981559  9.042371  8.379625  9.888681 10.512204 11.561230
[137] 10.316951  9.972984  9.284690 10.367723 11.244114 10.398689  9.526266  8.838867
[145]  9.951364 10.686232 11.071509  9.316336 11.536382 11.207942
```

```
Input:
# 繪圖看看走勢
plot(Yt2,main = "MA(2) theta_1 = 0.5 theta_2 = 0.3")
abline(h=10)
```
```
Output:
```
![ma2_line](https://i.imgur.com/5E3qziL.png)


**計算樣本動差**：


```
Input:

#平均數:
mean(Yt2)
#變異數 
var(Yt2)
```

```
Output:

#平均數:
[1] 9.966816
#變異數
[1] 1.296597
```

```
Input:
# 一階自我相關係數 ACF

ACF2 <- acf(Yt2,type =  "correlation", xlim=c(1,10), 
            main="ACF for simulated MA(2)",plot = T)
text(x = c(1.5,2.5), y =ACF2$acf[2:3]+0.05, labels = as.character(round(ACF2$acf[2:3],4))) #圖上加字串
```
![ma2](https://i.imgur.com/P4ntsSB.png)

- **理論值與模擬值 (n=150) 的比較**

| 動差 | 理論值 | 模擬值 |
| ---- | ------ | ------ |
| 均數     |   10     |  9.9668      |
| 變異數  |    1.34   |  1.2966
| 一階自我相關係數 |  0.4851    |  0.4997   |
|二階自我相關係數 | 0.2239  | 0.1575  |


# 參考資料
1. 陳旭昇（2022）。《時間序列分析: 總體經濟與財務金融之應用》(3版)。
2. 陳旭昇（2015）。《統計學: 應用與進階》(3版)。
3. 楊奕農（2017）。《時間序列分析: 經濟與財務上之應用》(3版)。
4. 葉小蓁（1998）。《時間序列分析與應用》。
5. [顏國勇（2011）。《機率論》，電子書。](https://library.math.ncku.edu.tw/documents/1/Probability21A.pdf)
6. [北京大學「金融時間序列分析」講義](https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/course/fts/ftsnotes/html/_ftsnotes/ftsnotes.pdf)。
7. [北京大學「金融中的随机数学」講義](https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/course/stochproc/stochprocnotes/html/_book/index.html)。
8. Klaus Neusser (2015), Time Series Analysis in Economics, Springer.
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16. [Rao, S. S. (2008). A course in time series analysis. In Technical Report. Texas A&M University.](https://web.stat.tamu.edu/~suhasini/teaching673/time_series.pdf)