基礎射影幾何

--- tags: 數讀 --- # 基礎射影幾何 > [name=W_Ice_Tri] [time=Sun, March 7, 2021] [color=#1f1e33] ## 1. 射影空間(Projective space) - 兩個不同的點$A,B$恰在一條直線上。 - 兩條平行線交於無窮原點，且數條互相平行的線交於同一個無窮原點，並稱之平行線束。 - 兩條直線必交於一點。 - 四相異點$A,B,C,D$，若通過$AB$與$CD$的直線相交，則通過$AC$與$BD$的直線也相交。 ## 2. 交比(Cross ratio) ### Definition (點) :::info 四個共線的點$P_1,P_2,P_3,P_4$之交比為$$(P_i)=(P_1,P_2;P_3,P_4)=\frac{P_3P_1}{P_3P_2}\div\frac{P_4P_1}{P_4P_2}$$若四點座標$p_1,p_2,p_3,p_4$，則$$(P_i)=\frac{p_3-p_1}{p_3-p_2}\div\frac{p_4-p_1}{p_4-p_2}$$ ::: 這邊定義事實上有點問題，因為我們並沒有排除$P_i\in L_∞$ 上的情形，不過對於任意兩點$A,B\notin L_∞$，我們可以定義：$$\frac{A∞_{AB}}{∞_{AB}B}=-1$$在這樣的定義下，就只剩$P_i$都在無窮遠線上的情形了，等等回來定義～ ### Theorem2.1 (線) :::info 四條共非無窮遠點的點的線$l_1,l_2,l_3,l_4$與一非無窮遠線的直線$L\notin\cap l_i$分別交$l_i$於$P_i$，則$(P_i)$為定值(與$L$無關)，且$$(P_i)=\frac{\sin\measuredangle(l_3,l_1)}{\sin\measuredangle(l_3,l_2)}\div\frac{\sin\measuredangle(l_4,l_1)}{\sin\measuredangle(l_4,l_2)}$$ ::: 那我們就可以定義線束的交比了～ ### Definition (線束) :::warning 對於線束$(l_1,l_2,l_3,l_4)$ 的交比為$$(l_i)=(L\cap l_i)$$其中$L\notin\cap l_i$為非無窮遠線的直線。 ::: 還有所有點都位於無窮遠線上的點交比： ### Definition (點special case) :::warning 對於共線四點$P_1,P_2,P_3,P_4\in L_\infty$，$$(P_i)=\dfrac{\sin\measuredangle P_3AP_1}{\sin\measuredangle P_4AP_1}\div\dfrac{\sin\measuredangle P_3AP_2}{\sin\measuredangle P_4AP_2}$$其中$A\notin L_\infty$。 ::: 以此定義，**Theorem2.1**仍然成立於$L_\infty$ ### Definition (點線) :::info - 對於任意五點$P_1,P_2,P_3,P_4,A$，$$A(P_i)=A(P_1,P_2; P_3, P_4) = (AP_1, AP_2; AP_3, AP_4)$$ - 對於任意五線$l_1,l_2,l_3,l_4,L$，$$L(l_i)= L(l_1,l_2;l_3,l_4) = (L\cap l_1,L\cap l_2;L\cap l_3,L\cap l_4)$$ ::: ### Theorem2.2 (點<->線) :::info 四個共線的點$A,B,X,Y$分別在四條共點$P$的線$a,b,x,y$上，則$$P(a,b;x,y)=(A,B;X,Y)$$ ::: ### Theorem2.3 (點<->極線) :::info 給定任意一圓$O$，令共點四線$l_1,l_2,l_3,l_4$分別為共線四點$P_1,P_2,P_3,P_4$關於$O$的極線，則$(P_i) = (l_i)$。 ::: ### Theorem2.4 (點<->圓) :::info 四個共圓$O$的點$A,B,X,Y$，$P$位於$O$上，則$$P(A,B;X,Y)=\pm\frac{XA}{XB}\div\frac{YA}{YB}=(A,B;X,Y)$$ ::: #### Problem2.1 三個共線的點$A,B,X$與一正實數$k$，試證恰存在一點$Y$使得$$(A,B;X,Y)=k$$ #### Problem2.2 如果$(A,B;X,Y)=-1$，試證：$$(A,B;X,Y)=(B,A;X,Y)=(A,B;Y,X)=(X,Y;A,B)=-1$$ #### Problem2.3 令$P$為$\vartriangle ABC$內任意一點，$BP,CP$分別交$CA,AB$於 $E,F$，$EF$交$(ABC)$於$B',C'$，$B'P,C'P$分別交$BC$於$C'', B''$，證明： $B'B'',C'C'',(ABC)$共點。 #### Problem2.4 在銳角三角形$ABC$中，令$A,B,C$對$BC,CA,AB$的垂足分別為$D,E,F$。點$X\neq F$與點$Y\neq E$分別在$CF$與$BE$上使得$\measuredangle XAD=\measuredangle DAB$與$\measuredangle YAD=\measuredangle DAC$。試證$X,D,Y$三點共線。 ## 3. 調和(Harmonic) ### Definition :::warning 當四個共線的點$A,B,X,Y$滿足$(A,B;X,Y)=-1$時，稱$A,B,X,Y$為調和(點列)，$X,Y$為$AB$之調和共軛點對。 ::: ### Lemma3.1 (中點) :::success 給定相異兩點$A,B$，另$M$為$AB$線段之中點且$P_{\infty}$為$AB$直線上的無窮遠點，則$$(A,B;M,P_{\infty})=-1$$ ::: ### Lemma3.2 (西瓦) :::success 給定一$\vartriangle {ABC}$與一點$P$(不在$\vartriangle{ABC}$上)，令$D=AP\cap BC,E=BP\cap CA,F=CP\cap AB$且$X=EF\cap BC$，則$$(X,D;B,C)=-1$$ ::: ### Lemma3.3 (完全四線形) :::success 給定四邊形$ABCD$，令$E=AB\cap CD,X=AC\cap BD$，且直線$EX$分別交$AD$與$BC$於$M,N$，則$$(E,X;M,N)=-1$$ ::: #### Example3.1 給定一$\vartriangle{ABC}$，令其內切圓分別交$AB,BC,CA$於$D,E,F$，若$X=EF\cap BC$試證：$${(X,D;B,C)=-1}$$ ### Lemma3.4 (角平分) :::success 令線上四點$X,A,Y,B$與不在此線上的點$C$，下列三個敘述滿足任意兩個可推得第三個敘述： 1. $(A,B;X,Y)=-1$ 2. $\angle{XCY}=90^\circ$ 3. $CY$ 平分 $\angle{ACB}$ ::: #### Problem3.1 給定一$\vartriangle{ABC}$與其內心$I$和旁切圓旁心$I_A$，試證：$$(I,I_A;A,AI\cap BC)=-1$$ ## 4. 極點與極線(Pole and Polar) ### Definition :::warning 給定$O$，$P$為任意一點，過$P$作一動線交$O$於$M_1,M_2$兩點，取$Q$ 使得$(P,Q;M_1,M_2)=−1$，則$Q$的軌跡為一直線或一線段$l$，我們將$l$ 或其延長的直線定義為$P$關於$C$的極線。 ::: ### Theorem4.1 (La Hire) :::info 如果$X$在$Y$之極線上若且唯若$Y$在$X$之極線上 ::: ### Theorem4.2 :::info 給定一圓$O$與圓外一點$P$，做$P$對$O$之切線$\overline{PX}$與$\overline{PY}$，過$P$做一直線交$O$於$A,B$相異兩點，則$ABXY$為調和四邊形，設$Q$為$\overline{AB}$上一點，則： $(A,B;P,Q)=-1$ 若且唯若 $P$ 在 $Q$ 之極線上 ::: ### Theorem4.3 (Brocard) :::info 給定圓心為$O$的一圓與其內接四邊形$ABCD$，令$P=AB\cap CD,Q=BC\cap DA,R=AC\cap BD$，則： $P,Q,R$ 分別為 $QR,RP,PQ$ 對 $O$ 之極點且 $O$ $為 $\vartriangle PQR$ 之垂心 ::: #### Example4.1 給定一$\vartriangle ABC$，令其內切圓分別交$BC,CA,AB$於$D,E,F$，若$X=EF\cap BC$，試證$IK\bot AD$。 #### Problem4.1 一四邊形$ABCD$內接於一圓$k$且$AB$ $>$ $CD$,$AB\nparallel CD$。令$M=AC\cap BD$，且$E$為$M$對$AB$之垂足。若$EM$平分角$CED$，試證$AB$ 是圓$k$之直徑。 (18 Balkan) #### Problem4.2 圓內接四邊形$ABCD$中，令$AC\cap BD=P,AB\cap CD=Q,AD\cap BC=R$ ，做一線過$P$且平行$QR$，若此線交圓於$X,Y$，且$X,Y$對圓之切線交於$W$。試證$W$為四邊形$ABCD$之密克點。 #### Theorem4.4 給定任意一圓$O$，令共點四線$l_1,l_2,l_3,l_4$分別為共線四點$P_1,P_2,P_3,P_4$關於$O$的極線，則$(P_i)=(l_i)$。 #### Problem4.3 令$\vartriangle ABC$的內切圓$\omega$分別切$CA,AB$於$E,F$，$P=BC\cap EF$，平行於$BC$且與$\omega$相切的直線分別交$CA,AB$於$Y,Z$，證明$P$關於 $\omega$異於$BC$的另一條切線平分$YZ$。 ## 5. 常見定理 ### Theorem5.1 (Butterfly) :::info 設$M$為圓內弦$PQ$的中點，過$M$作弦$AB,CD$，設$AC,BD$分別交$PQ$於$X,Y$，則$XM=MY$。 ::: ### Theorem5.2 (Desargues) :::info 在射影空間中，有六點$A,B,C,A',B',C'$。$AA',BB',CC'$共點若且唯若$AB\cap A'B',BC\cap B'C',CA\cap C'A'$共線。 ::: ### Theorem5.3 (Pascal) :::info 圓內接六邊形其三條對邊的交點共線。(Pascal的對偶定理即Brianchon，證法與Pascal類似) ::: #### Example5.1 給定一圓與圓上三點$A,B,C$，令三點之切線分別交$BC,C$ $A,AB$於$X,Y,Z$試證：$X,Y,Z$三點共線。 #### Problem5.1 令$H$為$\vartriangle ABC$的垂心，$M$為$AH$的中點，$E,F$分別為$B,C$關於$CA,AB$ 的垂足。在$EM$上取點$R$使得$\measuredangle RBC = 90^\circ$，在$FM$上取點$S$使得$\measuredangle BCS = 90^\circ$。證明：$A,R,S$共線。 ### Theorem5.4 (龐色列閉合/Poncelet's Closure Theorem) :::info $\vartriangle A_1B_1C_1$中，令$\omega,\Omega$分別代表其內、外接圓，若$\Omega$上有兩點$B_2,C_2$滿足$B_2C_2$切$\omega$，分別做$B_2,C_2$對$\omega$之切線$l_B,l_C$，令$l_B,l_C$交於$A_2$，試證：$A_2$在$\Omega$上 ::: ## 6. 題目醬 #### Problem6.1 令$\vartriangle S_1S_2S_3$為一個正三角形，$P$為任意一點，令$Q_1$為 $PS_1$的中垂線與$S_2S_3$的交點，類似定義$Q_2,Q_3$。證明：$Q_1,Q_2,Q_3$共線。 ($\mathcal{L}i\mathit{4}$) #### Problem6.2 令$\triangle ABC$滿足$AB=AC$，$D$為線段$AB$上一點。$D$對$(BCD)$之切線交$AC$於$E$，$E$對$(BCD)$的另一切線交$(BCD)$於$F$。若$G=BF \cap CD$、$H=AG \cap BC$，試證$BH=2HC$。 (14 ELMO G12) #### Problem6.3 給定一圓$O$及其上三點$A,B,C$，若$A,B,C$對$O$的對鏡點分別為$A',B',C'$，設$AC\cap BC'=P,A'A\cap CB'=R,RB'\cap CA'=Q$，試證：$PQ//AB$。 #### Problem6.4 銳角$\vartriangle ABC$中，在線段$BC$上取兩點$P,Q$使得$\angle PAB=\angle BCA$且$\angle CAQ=\angle ABC$，分別$AP,AQ$在上取兩點$M,N$使得$P,Q$兩點分別為$AM,AN$之中點，試證：$BM,CN$交在$(ABC)$上 (14 G1) #### Problem6.5 令$ABCD$為一圓內接四邊形，設$AC$交$BD$於$E$且$AD$交$BC$於$F$。若$AB$與$CD$的中點分別為$G$與$H$，試證$EF$切$(EGH)$於$E$。 (09 G4) #### Problem6.6 令$ABCD$為一個四邊形內接於圓$\omega$, $P$為$AC$上一點使得$PB,PD$與$\omega$相切。$C$關於$\omega$的切線分別交$PD,AD$於$Q,R$，令$E$為$AQ$與$\omega$的另一個交點。證明：$B,E,R$共線。 (13 APMO P5) #### Problem6.7 $\vartriangle ABC$中$K$為共軛中心，令$BK\cap (ABC)=F$。若點$E\in CK$滿足$EF//BC$，設$EF\cap AC=P$，試證：$PE=2PF$。 (新手村) #### Problem6.8 令$\vartriangle ABC$中，內切圓分別交$AB,AC$於$F,E$，$M$為$BC$中點。令$AM$交$EF$於$T$，在內切圓上任取一點$I$，做$IT$交內切圓於$J$，若$EI$與$FJ$之交點、$EJ$與$FI$之交點分別為$P,Q$，試證$P,A,Q$共線，且此線平行$BC$。 #### Problem6.9 在$\vartriangle ABC$($CA\neq CB$)中，令$D,F,G$分別為$AB,AC,BC$的中點。一圓$\Gamma$過$C$切$AB$於$D$且分別交線段$AF,BG$於$H,I$，令$H',I'$分別為$H$對$F$與$I$對$G$的對稱點。設$H'I'$分別交$CD,FG$於$Q,M$。若$CM$交$\Gamma$於$P$($\neq C$)，試證：$CQ=QP$。 (15 G5) #### Problem6.10 令$I$為$\vartriangle ABC$之內心且$l'$為內切圓之切線，設另一直線$L$分別交$BC,CA,AB$於$A',B',C'$，設$A'$對內切圓之切線$(\neq BC)$交$l'$於$A_1$，同理定義$B_1,C_1$。試證：$AA_1,BB_1,CC_1$共點。 (08 Iran TST P5) #### Problem6.11 $\vartriangle ABC$內心$I$，令$BI\cap AC=E,CI\cap AB=F,BC$中點為$M$。試證：$EF,IM,A$對$\vartriangle ABC$的共軛中線三線共點。 #### Problem6.12 $\vartriangle ABC$內心$I$，以$I$為圓心做一圓$\Gamma$。若$\Gamma$與$AB,BC,CA$均有二交點，設為$P_{ab},P_{ba},P_{bc},P_{cb},P_{ca},P_{ac}$，其中$P_{xy}$代表$P_{xy}$在$XY$上且距離$X$比較近的交點。令$A_1=P_{ab}P_{ca}$與$P_{ac}P_{ba}$交點，同理定義$B_1,C_1$。試證：$I$為$A_1B_1C_1$垂心。 (又是新手村) #### Problem6.13 令$\vartriangle ABC$之外接圓為$\gamma$。令$A$-旁心對$\gamma$的極線交$BC$於$A^\prime$，同理定義$B^\prime C^\prime$。試證： $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime$ 三線共在 $\gamma$ 上 #### Problem6.14 $\vartriangle ABC$與一對等角共軛點對$P,P^*$ wrt. $\vartriangle ABC$，令$A_1B_1C_1$與$A_2B_2C_2$分別為$P,P^*$的佩多三角形，$Q$為$PP^*$上一點。若$A_2Q,B_2Q,C_2Q$分別交$(A_1B_1C_1$於$A_3,B_3,C_3$。試證：$A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3$交於$PP^*$上。 :::spoiler 醬汁 https://artofproblemsolving.com/community/c6h431409 ::: #### Remark. 其實$AA_3,BB_3,CC_3$也會共點可以自己證明看看，很難。 ### Theorem6.1 (三線性極線) :::info 給定$\vartriangle ABC$與一點$P$，令$\vartriangle DEF$為$P$關於$\vartriangle ABC$的西瓦三角形，設$X=BC\cap EF,Y =CA\cap FD,Z=AB\cap DE$，則$X,Y,Z$共線，我們稱它是$P$關於$\vartriangle ABC$的三線性極線(Trilinear Polar)。 ::: ### Theorem6.2 (正交截線) :::info 給定$\vartriangle ABC$與一點$P$，分別在$BC,CA,AB$上取點$D,E,F$使得$AP\bot DP,BP\bot EP,CP\bot FP$則$D,E,F$共線，我們稱它是$P$關於$\vartriangle ABC$的正交截線(Orthotransversal)。 ::: #### Problem6.15 證明**Theorem6.1,Theorem6.2**中的$DEF,XYZ$分別三點共線。 #### Problem6.16 $\vartriangle ABC$內心$I$，我們先定義幾條線： 1. 若內切圓分別切$BC,CA,AB$於$A_1,B_1,C_1$，若$B_1C_1\cap BC=A_2$，令$A_2$與$A_1$的中點為$A_3$，同理定義$B_3C_3$，則$A_3B_3C_3$三點共線$l_1$ 2. $l_2$為$I$對$\vartriangle ABC$的三線性極線 3. $l_3$為$I$對$\vartriangle ABC$的正交截線 4. 令$OI$為$l_4$，其中$O$為$\vartriangle ABC$的外心試證：$l_1//l_2//l_3\bot l_4$ ##### Remark. 其實這只是個特例而已。 ### Theorem6.3 :::info $\vartriangle ABC$與一點$P$，$P$的三線性極線、正交截線、對(關於$\vartriangle ABC$的)佩多圓的極線共點。 ::: ## 7. Hints 題目順序與難度不呈正相關。