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title: 中一中垃圾能競(第3場)
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# 中一中垃圾能競(第3場)

## Rules
1. All 填充


2. Time limit : $90$ mins


3. No calculator


## Problem

1. 設滿足$1\leq\log(\log a)\leq 100$的自然數$a$有$n$個，設$x$為$n$的十進位寫法的數字和，試求$x$的十進位寫法的數字和


3. 已知實數$a,b,c$滿足$\left\{ \begin{array}{l}abc=-1 \\ a+b+c=4 \\\dfrac{a}{a^3-3a-1}+\dfrac{b}{b^3-3b-1}+\dfrac{c}{c^3-3c-1}=\dfrac49\end{array}\right.$，求$a^2+b^2+c^2$


5. 設$m$是正整數，$p,q$皆為質數，求滿足方程式$2^mp^2+1=q^5$的所有三元正數組$(m,p,q)$


6. 已知$a,b,c$都不為$0$，$\sin x,\sin y,\sin z,\sin(x-y),\sin(y-z),\sin(z-x)$也皆不為$0$且滿足$\left\{ \begin{array}{l}\sin x=a\sin(y-z)\\ \sin y=b\sin(z-x)\\ \sin z=c\sin(x-y)\end{array}\right.$，求$ab+bc+ca$


7. 若$x,y,z\in\mathbb{R}$且$\left\{ \begin{array}{c}x+y+z=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \\ x^3+y^3+z^3=3 \end{array}\right.$，求$x^5yz+xy^5z+xyz^5$之值


8. 設$a_1,a_2,\cdots,a_9$為$9$個相異正整數，試問在三種形式$a_i+a_j$，$|a_i-a_j|$，$a_ia_j$ $(1\leq i< j \leq 9)$等$108$個數值中，求至多有幾個正奇數


9. 設$\triangle ABC$中，$\overline{BC}=17$、$\overline{AC}=6$。若$\tan\dfrac{A}{2}\times\tan\dfrac{C}{2}=\dfrac23$，試求$\overline{AB}$


10. 假設$a,b$為正整數，且使得$x^2-abx+a+b=0$的兩根都是整數，則滿足條件的有序數對($a,b$)共有幾個


11. 試選取$100$個數字滿足以下條件:$x_1=1,0\leq x_2\leq2x_1,0\leq x_3\leq 2x_2,\cdots,0\leq x_{100}\leq 2x_{99}$且使得$x_1-x_2+x_3-x_+\cdots+x_{99}-x_{100}$為最大，請問此$100$個數字之和除以$100$之餘數為何(此題必須送分due to a misprint in the original question paper $O\omega O$)


12. 設$F$是橢圓$\Gamma: \dfrac{x^2}{3}+y^2=1$的左焦點，過點$F$且斜率為正的直線$L$與$\Gamma$相交於$A,B$兩點，過點$A,B$分別作直線$\overleftrightarrow{AM}$、$\overleftrightarrow{BN}$分別與$x$軸相交於點$M,N$，試求$\overline{MN}$之最小值


13. 銳角三角形$ABC$的三邊長為$\overline{AB}=4,\overline{BC}=5,\overline{CA}=6$，在$\overline{BC},\overline{AB},\overline{CA}$三邊上各取一點$D,E,F$，求三角形$DEF$的周長最小值


14. 已知$A$是集合$\{1,2,3,\cdots,2021\}$的子集，且$A$中任兩個不同元素之和不是$5$的倍數，試求$A$中的元素個數的最大值


15. $\triangle ABC$中，$\angle C$是直角，$\overline{AB}=10$，$\angle A=60^\circ$。設$D$為$\overline{AB}$中點，$E,F$分別為$\overline{BC},\overline{AC}$上一點使得$\angle CDE=\angle CDF$，試求$\triangle DEF$面積的最大值


16. 已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC$的角平分線交$\overline{BC}$於$D$，線段$\overline{AD}$的垂直平分線分別交$\angle ABC,\angle ACB$的角平分線於$E,F$兩點。設$\overline{AB}=4,\overline{BC}=5,\overline{CA}=6$，求$\triangle AEF$的面積


17. 求函數$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+26}+\sqrt{14-x}$的最大值