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# System prepended metadata

title: 有點難的微積分
tags: [數讀]

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tags: 數讀
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# 有點難的微積分

## 極限

$f$是一個定義於包含$c$的開區間（或此開區間剔除$c$）上的實質函數，令$L$是一個實數，那麼$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L}$$

表示對於任意的$\epsilon>0$，都存在一個對應的$\delta>0$使得：當$x$滿足$0<|x−c|<\delta$時總有$|f(x)−L|<\epsilon$成立。

基本的運算你們都會了
這種完美的定義實際上就只是防bug而已
而且在微分定義上比較沒有漏洞

現在就來比較實用的

### 羅(洛)必達法則(L’Hôpital’s Rule)

![](https://i.imgur.com/nqc9GBM.png)

已知$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0}$且$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0}$

如果現在你要計算

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f(x)}{g(x)}}$, $a\leq c\leq b$

且有(條件超超超級重要)$f,g$在$(a,b)$可微和$g'(c)\neq0$

那麼$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$

**Example.**
Find $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^3}{e^x-1}}$
:::spoiler 解法
兩個在$0$都可微
羅後
變成$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x^2}{e^x}=0}$
:::

剛剛是最簡單的$0/0$分式形式

類似的可以用來處理$\infty/\infty$,$0\cdot\infty$,$\infty\cdot0$...等等的不定式

反正想羅就弄成可以羅的樣子

你們都會我就可以很快講過去了

證明:
> 先備:柯西均值定理
> 若f,g兩函數滿足
> 1. 在$[a,b]$連續
> 2. 在$(a,b)$可導
> 3. 對任意$x\in(a,b)$皆有$g'(x)\neq 0$
> 則$(a,b)$中必有一點$c$使得
> $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$

這東西的證明有需要的話自己危機

如果$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=T}$
由極限定義可知對於任意$\epsilon>0$，必存在$\delta$，使得對任意的$c-\delta\leq x\leq c+\delta$，皆有:$$T-\epsilon\leq \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\leq T+\epsilon$$
而根據柯西均值定理可知
在$[c-\delta,c+\delta]$中必有一數$\mu \neq c$使得對於任意的$c-\delta\leq x\leq c+\delta$，皆有:$$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\dfrac{f'(\mu)}{g'(\mu)}$$
故
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=T}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}\dfrac{f(x)}{g(x)}}$

**Problem.**
Can we find $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^+}}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$ with L’Hôpital’s Rule? If not, why?

來點不能洛的
**Example.** 
Find $\displaystyle{\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}}$

:::spoiler 解法
注意到如果將$x,y$其中一個固定為$0$時
會有$\displaystyle{\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}}$=$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{0}{x^2}}=0$
若$x=y$會有$\displaystyle{\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}}$=$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2}}$
有兩個極限$\rightarrow$極限不存在，笑死
不過這也很重要
就是就算二變數方程也有沒極限的狀況
沒極限$\rightarrow$該點不可微分
:::

## 歡樂單變數微分

我相信郅暟講的差不多了
來點難一點的

### 牛頓法(Newton's method)

現在隨便給你一個連續函數$f$
要求他的實數根
現在有個方法叫做牛頓法(呵呵其實是牛頓-拉弗森法)
在零點附近的點她們的斜率基本上都會指向零點
所以牛大大就想到用切線去**逼近**
如圖
![](https://i.imgur.com/Qo6Bq8s.png)
如果$f$在$x_0$之切線交$X$軸於$x_1$
則可知$f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)}{x_0-x_1}$
故我們有$x_1=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
如此一來就可以一直迭代了，好棒
基本上收斂速度蠻快的
網路上有很多改良版本(下山坡等等)有興趣自己查吧
不過最重要的是initial point要設好
不然有可能會找不到解
而且還有另一個噁心勘根法Sturm's Theorem有興趣自己查

### 曲率半徑

![](https://i.imgur.com/qqTGYUJ.png)

如果要表達彎曲程度
就會用曲率表示
會用圓去貼合(此時的圓稱為密切圓)
定義曲率為此圓半徑的倒數
那如何計算
不同座標方法類似
若$(x(t),y(t))$為位置的參數式
目標:$P(x(p),y(p))$時的曲率
現在如果有$Q(x(q),y(q))$
可知$P,Q$的法線交點到$P$的距離$=k(s), s=q-p$
當$Q$很接近$P$時就是曲率半徑
若法線夾角為$\theta (s)$
可知曲率為
$\displaystyle{\lim_{s\rightarrow 0} \dfrac{|\sin\theta(s)|}{k(s)}}$
(因為我們有$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$)
$P$的法向量$=(y'(p),-x'(p))$
$Q$的法向量$=(y'(q),-x'(q))$
進一步計算可知曲率
::: spoiler 詳細過程
$=\displaystyle{\lim_{q\rightarrow p}\dfrac{|x'(p)y'(q)-x'(q)y'(p)|}{\sqrt{x'(p)^2+y'(p)^2}\sqrt{x'(q)^2+y'(q)^2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{[x(q)-x(p)]^2+[y(q)-y(p)]^2}}}$
$=\displaystyle{\dfrac{1}{x'(p)^2+y'(p)^2}\lim_{q\rightarrow p}\dfrac{|x'(p)y'(q)-x'(p)y'(p)+x'(p)q'(p)-x'(q)y'(p)|}{\sqrt{[x(q)-x(p)]^2+[y(q)-y(p)]^2}}}$
$=\displaystyle{\dfrac{1}{x'(p)^2+y'(p)^2}\dfrac{|x'(p)y''(p)-x''(p)y'(p)|}{\sqrt{x'(p)^2+y'(p)^2}}}$
:::
$=\dfrac{|x'(p)y''(p)-x''(p)y'(p)|}{(x'(p)^2+y'(p)^2)^\frac{3}{2}}$
過程無難度
有點通靈
不過很噁心
建議不要記這個

另一個看法(向量微積分)

如果我們令$r(t)=f(t)i+g(t)j$(基本上就是參數式)

若我們有$|r|=const.\ \forall t$
顯然$\dfrac{d}{dt} r^2=0=2rr'$
故r與r'垂直對於所有$t$皆成立

我們知道單位切線向量$T(t)=\dfrac{r'(t)}{|r'(t)|}$
由上述可知$T$與$T'$垂直
Claim : 曲率=$\dfrac{|T'|}{|r'|}$
:::spoiler 證明
算長顯然
:::
我們知道$|r'|$其實就是$\dfrac{ds}{dt}$
所以$r'=\dfrac{ds}{dt}T$
微
$\Rightarrow r''=\dfrac{ds}{d^2t}T+\dfrac{ds}{dt}T'$
故$|r'\times r''|=(\dfrac{ds}{dt})^2T\times T'=(\dfrac{ds}{dt})^2|T'|^2$
移項得$|T'|=\dfrac{|r'\times r''|}{|r'|^2}$
$\Rightarrow$曲率$=\dfrac{|T'|}{|r'|}=\dfrac{|r'\times r''|}{|r'|^3}$
這個還比較好看，記

類似的可以推出
當$y=f(x)$時
在$P=(p,f(p))$的曲率為$\dfrac{|f''(p)|}{(1+f'(p)^2)^\frac{3}{2}}$
當是極座標時
在$P=(r(\theta),\theta)$的曲率為$\dfrac{|r^2+2r'^2-rr''|}{(r^2+r'^2)^\frac{3}{2}}$

**Example.** 
求出$x^2=4y$的最大曲率。
:::spoiler 解法
易知$r(t)=(2t)i+(t^2)j$
$\Rightarrow r'=2i+2tj,\ r''=2j$
故曲率為$\dfrac{4}{\sqrt{4+4t^2}^3}\leq\dfrac{1}{2}$
:::

## %修微分(偏微分)

跟前面不同
現在定義$\dfrac{\partial f}{\partial x}$就是針對$x$微分，其餘變數當常數，另外可用$f_x$表示
而$f_{xy}$就是先partial $x$再partial $y$
:::spoiler 為啥可以當常數
回到微分定義
如果現在是$f(x,y)$
則$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
所以可以知道
會有影響的只有$x$
其餘皆不動
:::
**Prop.** $f_{xy}=f_{yx}$
對於二變數方程$f(x,y)=z$
我們會有在$(x_0,y_0,z_0)$的切面方程為$(z-z_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
附帶我們會有$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy$
這結論可以直接推到$n$元都一樣

### Chain rule

對於單變數方程的Chain rule 為$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}$
而多變數時就不一樣了
一樣就是利用微分的極限定義可知$$\dfrac{df(x,y)}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$$
一樣可以推到$n$都一樣
所以我們可以利用這種Chain rule得到一些二元三元方程中變數乘在一起時不會求切線斜率的尷尬狀況
如果現在是二元方程$F(x,f(x))=0$
則$\dfrac{\partial F}{\partial x}\dfrac{dx}{dx}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}=0$
化簡得$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}$
這種微分就稱作隱微分(Implicit differentiation)
**Example.** 
Find $y'$ if $x^3+y^3=6xy$.
:::spoiler 解法
$F_x=3x^2-6y,\ F_y=3y^2-6x$
故$y'=\dfrac{x^2-2y}{2x-y^2}$
:::

如果變成$n$變數同理會有$\dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_z}$


定義$\triangledown$為del (nabla)運算子
$\triangledown=\dfrac{\partial}{\partial x}i+\dfrac{\partial}{\partial y}j+\dfrac{\partial}{\partial z}k=\dfrac{\partial}{\partial r}$
### 梯度Gradient
顯然$\triangledown f(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial x}i+\dfrac{\partial f}{\partial y}j+\dfrac{\partial f}{\partial z}k$
代表$f$的變化傾向
純量$\rightarrow$向量$\rightarrow$二階張量
我們稱為$f$的梯度
這東西在跟**場**有關的東西都會出現
三變數有點難想像
用二變數
以$x,y,f(x,y)$表示
![](https://i.imgur.com/oE4l677.png)
![](https://i.imgur.com/RCJOFmj.png)
基本上都是低指向高
所代表的就是坡的傾斜程度
簡單
所以對於任何$r=\langle a,b,c\rangle$
我們會有$\dfrac{\partial f}{\partial r}=\triangledown f \cdot r$

**Example.** 
Find the extreme value of $f(x,y)=y^2-x^2$.
:::spoiler 解法
注意到偏微分之後不會有極值，笑死
:::

### 二階微分判別
對於二變數方程$f(x,y)$
若在$(a,b)$有$f_x=f_y=0$
令$D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-[f_{xy}(a,b)]^2$
則
1. $D>0$且$f_{xx}(a,b)>0$，則$(a,b)$是極小值
2. $D>0$且$f_{xx}(a,b)<0$，則$(a,b)$是極大值
3. $D<0$，則$(a,b)$不是極大極小值，此時稱作鞍點
4. $D=0$，此時我們啥都沒得到，既不知$(a,b)$會不會是極大值，也不知$(a,b)$會不會是極小值，也有可能$(a,b)$其實是鞍點

**Example.** 
禁止使用公式，求$(1,0,-2)$到$x+2y+z=4$的最短距離
:::spoiler 解法
注意到點到點距離為$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
$\Rightarrow d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$
代入可得
$d^2=(x-1)^2+y^2+(z+2)^2$
$z=4-x-2y$代入$\Rightarrow d^2=(x-1)^2+y^2+(6-x-2y)^2$
好開心，是二變數方程，令$d^2=f(x,y)$
所以可知
$f_x=2(x-1)-2(6-x-2y)=4x+4y-14$
$f_y=2y-4(6-x-2y)=4x+10y-24$
當$f_x=f_y=0$時$x=\dfrac{11}{6},y=\dfrac{5}{3}$
又$f_{xx}=4$, $f_{xy}=10$, $f_{yy}=4$
故$D=24>0$
又$f_{xx}>0$
故在$(\dfrac{11}{6},\dfrac{5}{3})$時$d^2$有最小值$\dfrac{25}{6}$
$\Rightarrow$所求$=\dfrac{5}{\sqrt6}$
:::

### 拉拉

我們的小拉說
如果現在要求一個函數$f(a,b,c,...)$的極值
但是有個條件$g(a,b,c,...)=0$
則極值發生在$\triangledown(f-\lambda g)=0$
![](https://i.imgur.com/7njevII.png)
證明:
列出$f,g$的圖形時
可知當$\triangledown g//\triangledown f$時$f$才有極值
否則可透過移動$g$上的點使得$f$更大(小)
所以$\triangledown g$與$\triangledown f$成倍數關係
故極值發生在$\triangledown(f-\lambda g)=0$

**Example.**
若$x^2+y^2=1$，求$f(x,y)=x^2y$之最小值
:::spoiler 做法
令$g(x,y)=x^2+y^2-1$
設$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$
而$f$要有極值$\Leftrightarrow \triangledown F=0$
故我們有
$\left\{ \begin{array}{r}2xy=2\lambda x\\x^2=2\lambda y\\x^2+y^2=1\end{array}\right.$
解得$\sqrt2\lambda =x=\sqrt2y$
$\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}},\ y=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
故$f$之極值為$\pm\dfrac{2}{3\sqrt3}$
取負號
:::
## 歡樂積分
一些積分小技巧
### 微分轉積分
**Example.**(first-order reaction)
>  A first-order reaction is a reaction that proceeds at a rate that depends linearly on only one reactant concentration.

依據這個可以列式$$Rate=-\dfrac{d[A]}{dt}=k[A]$$
此時是一個關於$t$的微分方程，看起來好難
不過可以這樣子移項$$\dfrac{1}{[A]}d[A]=-kdt$$
兩邊積分$\displaystyle\int^{[A]}_{[A]_0}\dfrac{1}{[A]}d[A]=\int^t_{t_0}-kdt$
可知$\ln\dfrac{[A]}{[A]_0}=kt$
所以就輕鬆解出$[A]$與$t$之間的關係

### 三角函數

常見三角函數公式
:::spoiler 基本款
$\sin^2x+\cos^2x=1$
$\tan^2x+1=\sec^2x$
$\cot^2x+1=\csc^2x$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$
$\tan(x\pm y)=\dfrac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}$
$\cot(x\pm y)=\dfrac{\cot x\cot y\mp 1}{\cot x\mp\cot y}$
:::
:::spoiler 絆腳和腳N被攪
$\sin\dfrac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}$
$\cos\dfrac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}$
$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\cos 2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1=\cos^2-\sin^2$
$\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}$
$\cot 2x=\dfrac{\cot^2 -1}{2\cot x}$
$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$
$\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x$
:::
:::spoiler 激化和差和插畫積
$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)$
$2\cos x\sin y=\sin(x+y)-\sin(x-y)$
$2\cos x\cos y=\cos(x+y)+\cos(x-y)$
$-2\sin x\sin y=\cos(x+y)-\cos(x-y)$
$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
:::
:::spoiler special case
If $x+y+z=n\pi$
$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z$
$\cot x\cot y+\cot y\cot +\cot z\cot x=1$
If $x+y+z=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$
$\cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z$
$\tan x\tan y+\tan y\tan +\tan z\tan x=1$
If $x+y+z+w=\pi$
$\sin(x+y)+\sin (z+w)=\sin x\sin z+\sin y\sin w$
:::
:::spoiler 線性組合
$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$
其中$\varphi=\arctan(\dfrac{b}{a})$
:::

常見雙曲三角恆等式(微積分比較會用到的)
$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$
$\tanh^2+sech^2=1$
$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}$
其實跟三角一樣還有和差角積化和差等等的我就不打了
反正你們高中也應該不會遇到(吧

**Example.**
Find $\displaystyle\int\cos 2x\cos 3xdx$
:::spoiler 解法
積化和差告訴我們$\cos 2x\cos 3x=\dfrac{1}{2}(\cos 5x+\cos x)$
故$\displaystyle\int\cos 2x\cos 3xdx$
=$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\cos 5x+\cos xdx$
=$\dfrac{\sin 5x}{10}+\dfrac{\sin x}{2}+C$
:::


常見簡單積分公式
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}=\tan^{-1}x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{-1}x+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^2}=\tanh^{-1}x+C$
所以我們基本上遇到有這種類型的分母
可以嘗試三角代換

**Example.**
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin x}dx$
:::spoiler 解法1
注意到$\dfrac{1}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}=\sec^2 x-\sec x\tan x$
故$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+\sin x}dx=\int\sec^2 x-\sec x\tan x dx=\tan x-\sec x+C$
:::
:::spoiler 解法2
注意到$1+\sin x=1+2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}=(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2})^2$
故$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin x}dx=2\int \dfrac{1}{(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2})^2} d\dfrac{x}{2}=2\int\dfrac{sec^2\dfrac{x}{2}}{(\tan \dfrac{x}{2}+1)^2}d\dfrac{x}{2}=2\dfrac{1}{(\tan \dfrac{x}{2}+1)^2}d\tan \dfrac{x}{2}=-2(\tan \dfrac{x}{2}+1)^{-1}+C$
:::
### 南一中積分
$\displaystyle\int fdg=fg-\int gdf$
使用時機:$f$微分很好看或$g$積分很好看
通常就五種形式
1. 對數$\ln x$ , $\log_a x$...
2. 反三角$\arctan x$...
3. 多項式$x^2$ , $7x^{49}...$
4. 三角$\sin x$ , $\tan x$...
5. 指數$e^x$ , $14^x$...

如果$f,g$都是以上的形式
有時候可以考慮一直做南一中積分
搞不好會跑出甚麼有用的東西
(注意到$f$不斷被微，$g$不斷被積)
## 多重積
![](https://i.imgur.com/MUOImZS.png)
就是積體積
$\displaystyle\int\int f(x,y) dxdy$
**Fubini's theorem**
$\displaystyle\int^a_b\int^c_d f(x,y) dxdy=\int^c_d\int^a_b f(x,y)dydx$
以黎曼和的角度去看是顯然的
有時候會直接以$\displaystyle\iint_D f(x,y)dA$表示
$D$就是封閉區域，$dA$是微小面積
![](https://i.imgur.com/Wwtj4rr.png)
在一些特殊狀況下(如上圖)
可以將$\displaystyle\iint_D$改寫成$\int^a_b\int^{g(y)}_{h(y)}$
**Example.**
Calculate $\displaystyle\int^1_0\int^2_1\dfrac{xe^x}{y}dydx$
:::spoiler 解法
$\displaystyle\int^1_0\int^2_1\dfrac{xe^x}{y}dydx$
=$\displaystyle\int^1_0(xe^x\ln2)dx$
=$\displaystyle\ln 2$
:::

### 極座標
任一點座標由$(r,\theta)$表示
其中$r\geq0,\ 2\pi>\theta\geq0$
換成直角坐標會是$(r\cos\theta,r\sin\theta)$

![](https://i.imgur.com/u9Mbuua.png)
在積分時
原本是$dA=dxdy$
而在極座標下$dA=rdrd\theta$
故$\displaystyle\int^\alpha_\beta\int^a_b f(r,\theta) dr d\theta=\int^\alpha_\beta\int^a_b f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$
**Example.**
求$\displaystyle\iint_D e^{x^2+y^2} dA$其中$D$為一半徑為$r$的圓盤
:::spoiler 解法
可知$x^2+y^2$可對應至$r'^2$
故所求
$=\displaystyle\int^r_0\int^{2\pi}_0 e^{r'^2}r'd\theta dr'$
$=2\pi\times\displaystyle \dfrac{1}{2}(e^{r^2}-e)$
$=\pi(e^{r^2}-e)$
:::
在三維下座標表示法會變成$(r,\theta,z)$
此時稱為**柱座標**
**Example.**
求底面半徑$r$，高為$h$的圓錐體積
:::spoiler 解法
$=\displaystyle\int^h_0\int^{r\frac{z'}{h}}_0\int^{2\pi}_0 1\times r'd\theta dr'dz'$
$=2\pi\displaystyle\int^h_0 \dfrac{r^2z'^2}{2h^2} dz'$
$=\dfrac{r^2\pi}{h^2}\displaystyle\int^h_0  z'^2 dz'$
$=\dfrac{r^2\pi}{h^2}\dfrac{h^3}{3}$
$=\dfrac{1}{3}r^2h\pi$
:::

### 球座標
通常會以$(\rho,\theta,\phi)$表示
其中$\rho\geq0,\ 2\pi\geq\theta\geq0,\ \pi\geq\phi\geq0$
所以用直角坐標表示會是$(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)$
同理可推得
$dV=\rho^2\sin\phi\ d\rho d\theta d\phi$![](https://i.imgur.com/nJkA0i7.png)
**Example.**
試求半徑$r$之球體體積
:::spoiler 解法
$=\displaystyle\int^r_0\int^\pi_0\int^{2\pi}_0 r'^2\sin\phi d\theta d\phi dr'$
$=2\pi\displaystyle\int^r_0\int^{\pi}_0r'^2\sin\phi d\phi dr'$
$=4\pi \displaystyle\int^r_0 r'^2dr'$
$=4\pi\times\dfrac{r^3}{3}$
$=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
:::

## Problem
難度亂序
非刻意

1. 試利用拉乘證明算幾不等式
3. 若$a,b,c\in\mathbb{R}^+$且$a+b+c=3$
試證明$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 8\sqrt[3]{abc}$
4. Find $\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}$
5. Find $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}x^ne^{-x}$
6. 試求半徑$r$球體的轉動慣量
7. Find $\displaystyle\int^\infty_{-\infty} e^{\frac{-x^2}{2}} dx$
8. Find $\displaystyle\int \sin3x\cos2xdx$
9. Find $\displaystyle\int\tan^3 xdx$
10. Find $\displaystyle\int\sqrt{\tan x}dx$
11. Find $\displaystyle\int\sqrt[3]{\tan x}dx$
12. Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{Ax^2+Bx+C}$
13. Find $\displaystyle\int \sin^5x\cos^3xdx$
14. Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx$
15. Find $\displaystyle\int e^x\sin^3x dx$
16. Find $\displaystyle\int x^3\cos 2xdx$
17. Find $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}dx$
18. Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2\sqrt{1-x}}dx$
20. Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^3\sqrt{x^2-4}}dx$
21. Find the maximum value of $\dfrac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}$ where $x,y,z\in\mathbb{R}^+$
22. Find $\displaystyle\int e^{4x}x^3 dx$
23. 設$T(x,y,z)=20+2x+2y+z^2$表示在球面上$x^2+y^2+z^2=11$每一點的溫度，求球面與平面$x+y+z=3$交集的曲線上最高溫與最低溫。