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# 淺談群論
> [name=W_Ice_Tri] [time=Mon, June 8, 2021] [color=#1f1e33]
## 概要
[TOC]
## 警告
裡面的二元運算子皆以"$\times$"乘法偷懶
## 基本概念&名詞
1. **群**group:
有一集合$G:\{E,A,B,C,D\}$，其元素$E,A,B,C,D$等，若滿足如下的「乘法」運算條件，則稱$G$為一個 **群**(group):
a.具有封閉性:若$A\in G$、$B\in G$，則乘積$AB \in G$。
b.具有結合律:$A(BC)=(AB)C$。
c.具有單位元素$E$:對任意元素$A\in G$ ，可有$AE=EA=A$。
d.具有反元素$A^{-1}$:對任意元素$A\in G$，必存在一反元素 $A^{-1}\in G$，$AA^{-1}=A^{-1}A=E$
而群的元素個數稱為 **階**(oder)
2. **阿貝爾群**(abelian group):
若它滿足乘法交換律$AB=BA$，則此種群稱為 **阿貝爾群**(abelian group)
**Remark.** 通常來說$AB\neq BA$的機率比較大
3. **子群**(subgroup):
若群$G$的部分元素組成一個集合$S$，在群的「乘法」下，它能滿足群的定義，則群$S$即為群$G$的 **子群**(subgroup)
4. **循環群**(cyclic group)
若群$G$的全部元素皆可用一元素$D$及其冪次表示，則稱$D$為群$G$的生成元，而群$G$則稱為 **循環群**(cyclic group)，若$D$超過$a$個冪次就會循環，則稱群$G$的 **階**(order)為$a$
若群$G$階為$a$而子群$H$階為$b$，則稱$i=\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Z}$為子群$H$的 **指數**(index)
5. **陪集**(coset)
若$S$為群$G$的子群，寫成$S:\{E,s_2 ,s_3 ,...,s_k\}$;在群$G$中，我們可另找任一個元素$A$，但此$A$不屬於子群$S$
當我們將$A$右乘子群$S$的所有元素後，可得 **右陪集**:
右陪集:$SA:\{EA,s_2A,s_3A,...,s_kA\}$
當我們將$A$左乘子群$S$的所有元素後，可得 **左陪集**:
左陪集:$AS:\{AE,As_2,As_3,...,As_k\}$。
6. **共軛類**(conjugate class)
群$G$中有兩元素$A、B$，若存在一元$U\in G$，使得$A、B$滿足$B=UAU^{-1}$，則稱$B$為$A$的 **共軛元素**(conjugate element)。至於$UAU^{-1}$的操作，則稱為$A$的 **相似轉換**(similarty transformation)操作。
在群$G$中，彼此共軛的元素們所組成的集合稱為 **類**(class)，因此$G$群可被分成若干類。
7. **共軛子群**(conjugate subgroup)
若群$G$的子群$K:\{k_1,k_2,...,k_m\}$，則將子群$K$的每個元素對群$G$中某特定的元素$X_i$作相似轉換[註:是某特定元素。]，則可表示成:
$X_iKX_i^{-1}:\{X_ik_1X_i^{-1},X_ik_2X_i^{-1},...,X_ik_mX_i^{-1}\}$，
此$X_iKX_i^{-1}$也可構成群，稱為 **共軛子群**(conjugate subgroup)。
8. **正規子群**(normal subgroup)
若群$G$的子群$K$，則將子群$K$的每個元素對群$G$中的每個元素$X_i$作相似轉換[註:是每個元素。]，且滿足$X_iKXi^{-1}=K$時，則稱此子群$K$為群$G$的
**正規子群**(normal subgroup)，或稱為 **不變子群**。
9. **商群**(factor group)
若群$G:\{a_1=E,a_2,a_3,...,a_g\}$有$g$階，其不變子群$K$有$n_K$階， 可知群$G$可分解成$K$與左陪集之組合，令其為:
$G=a_1K+a_2K+...+a_mK=K+a_2K+...+a_mK$
共有$m$項。現若將$K$與左陪集看成元素，可組成一個群$\{K,a_2K,...,a_mK\}$其階為$m$，此群稱為$G$的 **商群**(factor group)，可記為$\dfrac{G}{K}$;它的階為$m=\dfrac{g}{n_K}\in\mathbb{Z}$。而不變子群$K$就是商群$\dfrac{G}{K}$的單位元素。
10. **同構**(isomorphism)
如果有兩個群$G:\{a,b,c,...\}$和$G:\{a',b',c',...\}$，它們的每個元素都能一一對應;而且在乘法運算下也相同;則稱此兩群為 **同構**(isomorphism)，記為$G\approx G'$。
11. **同態**(homomorphism)
若兩個群的階不同，階數較大的$G$群的數個元素對應到階數較小的$G'$群的 某一個元素，屬於多對一的對應;但也有相同的乘法運算關係，則稱此兩群為 **同態**(homomorphism)，記為$G \sim G'$。
12. **直積群**(direct product group)
設有兩群$G_1:\{E,a_2,a_3,...,a_n\}$與$G_2:\{E,b_2,b_3,...,b_m\}$，它們除了單位元素$E$之外，沒有共同的元素;並且分屬兩個群的元素之乘積可對應。那麼，由兩群之所有元素乘積組合而成的集合$G$也是一個群，稱為$G_1$與$G_2$的 **直積群**(direct product group)，可表示成:
$G=G_1\otimes G_2=\{a_ib_j\mid a_i\in G1,b_j\in G_2\}$。此時$G_1$與$G_2$兩群是為$G$群的不變子群。
13. **半直積群**(semi-direct product)
若有$G_1$與$G_2$兩群，而且$G_1$是在$G_2$下不變的[註:不是在群$G$下不變。]。則$G_1$與$G_2$的每個元素之乘積可構成一群，稱為 **半直積群**(semi-direct product)，記為$G_1\Lambda G_2$
14. **李群**(Lie group)
在$n$維空間中，某一向量的分量為$x_1,x_2,...,x_n$，現作一個轉換操作，使新向量的分量為$x_1',x_2',...,x_n'$ 。若任一新分量$x'$可表示成舊分量的一次線性組合，
12ni 則稱此轉換為 **線性轉換**(linear transformation)。亦即:
$x'_1=T_{11}x_1+T_{12}x_2+...+T_{1n}x_n$
$x'_2=T_{21}x_1+T_{22}x_2+...+T_{2n}x_n$
.....................................
$x'_n=T_{n1}x_1+T_{n2}x_2+...+T_{nn}x_n$
或用矩陣式表示成:
$\vec{X'}=T\vec{X}=\left( \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{array} \right)
=\left[ \begin{array}{cccc}
T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n} \\ T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ T_{n1} & T_{n2} & \cdots & T_{nn} \end{array} \right]\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)$, $\det(T)\neq 0$
其中$T$為$n\times n$矩陣。
如果向量的分量$x_i$為複數，則稱此向量所在之空間為$n$維複數空間，其線性轉換矩陣$T$將由$2n^2$個變數來描述。如果向
量的分量$x_i$為實數，則稱此向量所在之空間為$n$維實數空間，其線性轉換矩陣$T$將由$n^2$個變數來描述。
所有的這些$n$維轉換矩陣的集合，可構成一個連續群，此種連續群是為 **李群**(Lie group)，以紀念挪威數學家李(Lie)而得名。按理來說，連續群的群元素有無限多個，應有無限多階;但在李群中，對其階的定義又有所不同，而是以其矩陣的變數之數目為階。譬如:$n$維複數空間之線性轉換群的階為$2n^2$，而實數空間之線性轉換群的階為$n^2$。
15. **么正群**(unitary grou)
一個矩陣$T$的反矩陣$T^{-1}$，若與其轉置共軛矩陣$T^*$ 相等，則稱此矩陣$T$為 **么正矩陣**(unitary matrix)。
若一個$n$維複數轉換群的所有元素均為么正矩陣，則稱此群為$n$維 **么正群**(unitary grou)，簡稱為$U(n)$群。由於么正矩陣的條件$TT^*=1$，給出$n^2$個限制條件，則原來的$2n^2$階的群，只剩下$n^2$個變數，故$U(n)$群的階為$n^2$。
對於U(n)群的任一元素U 而言，若它又多了一項限制，令$\det U =1$，則稱此種群為 **特殊么正群**， 記作$SU(n)$群，其階為$n^2-1$。
滿足實正交轉換的$n$維么正群，即可構成實 **正交群**(orthogonal group)，也稱為$O(n)$群。易知$\det O=\pm 1$，其中$\det O=1$的變換稱正當轉換，此種群稱為$n$維空間轉動群，簡稱為$SO(n)$群。而$\det O=-1$的變換稱為非正當轉換。
## **置換群**(permutation group)
我們可將$n$個物體按不同之順序加以排列，總共有$n!$個排列方式。每個排的方式可視為一個操作元素，所有操作元素可形成一個群，稱為 **置換群**(permutation group)，簡稱$S_n$群。

某一個置換群的元素若表示成$\left(\begin{array} {c} 1&2&3&...&n\\3&1&2&...&n\end{array}\right)$，則上排的$1,2,3,...,n$表示原來物體的位置，而下排的$3,1,2,...,n$表示新的位置。

習題：證明上述元素構成群

若置換操作中，只有$n$個物體依循環的轉換，如下所示:
$$\left(\begin{array} {c} x_1&x_2&...&x_n&a_1&a_2&...&a_{n-1}&a_n\\x_1&x_2&...&x_n&a_2&a_3&...&a_n&a_1\end{array}\right)$$
其中$x_i$的物體都沒變換位置，僅有$a_k$物體變換位置;並且$a_1$移至$a_2$ $(a_1 \rightarrow a_2 )$，$a_2$移至$a_3$ $(a_2 \rightarrow a_3 )$，......，$a_n$移至$a_1$ $(a_n \rightarrow a_1 )$，而形成一個循環的置換。我們可以利用循環操作的符號來表示:$a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow a_3 \rightarrow ...\rightarrow a_n \rightarrow a_1$
或是用$(a_1a_2a_3...a_n)$表示

對於任一循環操作而言，我們可以將它化成由數個對換操作的乘積來組成。亦即:$(1\ 2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2)$
其中$(1\ 2)$中是$1,2$互換，稱為對換操作

$\sigma$為一置換操作，將其分解成對換操作的個數之奇偶性，可由sgn$(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}$來判斷，這裏的$N(\sigma)$為$\sigma$中逆序對對數，可由對換等價於分解中對換操作的個數$m$ $\Rightarrow$ sgn$(\sigma)=(-1)^m$

當sgn$(\sigma)=-1$時$n$為偶數，當sgn$(\sigma)=1$時$n$為奇數。亦即，當$n$為奇數時，其sgn$(\sigma)=-1$，表示分解的對換操作的個數必定是偶數個，稱其為偶循環;當$n$為偶數時，其sgn$(\sigma)=1$表示分解的對換操作的個數必定是奇數個，稱其為奇循環。

循環操作的分解方式有很多種，而分解成對換操作的個數也不同。譬如:一個對換$(1\ 2)$可改成$3$個對換$(2\ 3)(1\ 3)(2\ 3)$，其效果是相同的。因此，分解的個數不一定;但偶循環一定分解成偶數個對換操作，奇循環一定分解成奇數個對換操作;這是一定不變的。

各對換的順序是不能任意更動的;譬如:$(1\ 2\ 3)=(1\ 3)(1\ 2)\neq(1\ 2)(1\ 3)$，其中$1(\ 2)$與$(1\ 3)$之中有共同的物體$1$，故順序不能顛倒;但當兩個對換操作，沒有共
同的物體時，稱為獨立循環，則可不論其順序;譬如:$(1\ 2)(3\ 4)=(3\ 4)(1\ 2)$。

將一個置換操作拆成許多個循環操作的乘積，若算出來sgn$(\sigma)=-1$，稱為 **偶置換**；反之，則稱為 **奇置換**

對於$n$個物體的$S_n$置換群而言，$(1^{\nu_1}2^{\nu_2}3^{\nu_3}...n^{\nu_n})$稱為其 **循環結構**，其中$\nu_i$代表長度為$i$的循環操作個數。易知
$$1\nu_1+2\nu_2+3\nu_3+...+n\nu_n=n$$
不難知道$\nu_i$的分配方法數對應於$n$的楊表。