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# 無限大加無限大？

## 前言
前幾天我在限時動態問了一個問題：**你覺得「無限大+無限大=無限大」是對的嗎？**
~~投票的人意料之外的多(?)~~，而投票結果如下。

||共111票|
|---|---|
|對|35票|
|不對|17票|
|問題不夠明確|37票|
|我...我不知道|22票|

一開始是有朋友問我這個話題，在我跟他解釋完後想說在朋友圈調查看看好了。
而這篇文章會在讓人看懂的前提下，盡可能闡述我的想法。

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## 怎麼可能是對的？！
「不對」只有 17 票，我們先來想想少數人可能怎麼想的。

第一個想法。無限大又不是一個數，怎麼可以做加法？
的確，在你學微積分時被千叮嚀萬囑咐，無限大不是一個數(*至少不是實數*)。
但如果撇開這個不談，你還是會直覺認為 $\infty+\infty=\infty$ 吧！

既然我們都會有這種直覺，那就應該有跡可循。**由直覺寫下來的式子即使可以找地方挑毛病，也應該具有一定的數學意涵**。
或者這樣說好了。的確沒有「無限大」這個數，但我們可以硬是寫下 $\infty$ 的符號，硬是規定 $\infty$ 其他數的加法，只是規定的方式要符合我們的直覺。

*所以上訴無效。*

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就此又衍伸第二個想法。
如果我們規定無限大加無限大等於無限大，那就會有底下的事情：
:::info
+ 規定 $\infty+\infty=\infty$
+ 左右消掉一個 $\infty$，得到 $\infty=0$
+ 因為 $\infty=0$ 產生矛盾，所以原本的規定是不合法的。結論是我們不能規定 $\infty+\infty=\infty$
:::
這樣的敘述看似非常合理，但第二行其實偷偷挪用了**消去律 (cancellation rule)**，也就是$$a+b=a+c\Longrightarrow b+c$$消去律直覺上好像沒錯，不過該直覺建立在 $a,b,c$ 都是一般數的前提下。
根本沒人跟你講過，能不能左右同消一個 $\infty$ 對吧！
畢竟是先有「可以左右同消 $\infty$ 」的假設才導出矛盾，那麼就不是 $\infty+\infty=\infty$ 的錯，而是這個假設出了問題。

*二審上訴無效。*

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總結一下，
:::success
+ 第一個想法的問題是，即使 $\infty$ 不是一個數，你還是可以規定它的(符合直覺的)加法規則。
+ 第二個想法的問題是，導出矛盾的過程偷偷增加了假設，使用了消去律。
:::

看起來我正在把風向帶往「無限大加無限大*是*無限大」...？
但我只會說，**「它可以是。」**

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## 關於加法
要我回答「無限大加無限大是不是無限大」，你要先告訴我**你怎麼定義加法**。或者說，**你希望定義出來的加法要滿足哪些性質**。

:::success
如果你希望加法結構夠好，那就不能考慮 $\infty$；
如果你很希望拿 $\infty$ 來做加法，那你的加法就會捨棄一些良好的性質。
:::
以上大概是本篇文的重點，~~記得這句話就可以關掉離開了(X)~~

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列舉一些加法這樣的二元運算可能要有的性質：
1. 結合律：$a+(b+c)=(a+b)+c$
2. 存在**加法單位元素** $0$，滿足條件 $a+0=0+a=a$
3. 對於每個 $a$，都有一個對應的 $b$ 滿足 $a+b=b+a=0$
4. 交換律：$a+b=b+a$

而一些常見的加法系統又滿足哪些性質呢？

||正整數加法|非負整數加法|整數加法|向量加法、矩陣加法|程式的字串加法(concatenation)|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|1.結合律|O|O|O|O|O
|2.單位元素||0|0|零向量/零矩陣|空字串("")
|3.反元素|||O|O
|4.交換律|O|O|O|O

只考慮正整數的話，沒有 $0$ 跟反元素的概念；把它們加進來就會依序得到非負整數跟整數。
字串加法則是直接不跟你演，連交換律都爛給你看。

而數學上有這些名詞：
+ 滿足性質 1,2 的集合稱為 monoid(么半群)
+ 滿足性質 1,2,3 的集合稱為 **group(群)**
+ 滿足性質 1,2,3,4 的集合稱為 **abelian group(交換群)**

也就是說，非負整數的集合跟字串的集合都是么半群；整數集或矩陣集不只是么半群，還是交換群。

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回到原本的問題。
**你希望加法滿足哪些性質**？

我的答案是 1234。
如果用了 $+$ 這個符號，我就會覺得它要是交換群。
而消去律沒有出現在上面列舉的性質中，則是因為**消去律可以從性質 1,2,3 推得**，所以消去律是所有群共有的性質。

所以說，事情大概是這樣的。
+ 如果只考慮所有整數或所有實數，對應的加法結構是良好的，也就是它是交換群。但我們還不知道如果加入 $\infty$，擴充後的集合還有沒有一樣好的加法。
+ 你理所當然可以隨意定義 $\infty$ 的加法。然而不符合數學直覺的定法沒有討論的意義；那如果要符合直覺，就一定會定成 $\infty+x=\infty$ 的樣子。
+ 另外，只要考慮了 $\infty$，就不能做消去律；由於消去律是群的性質，也就代表加入 $\infty$ 後就不再是群了。(它可以還是么半群，但不會有所有元素的反元素)
+ 「有 $\infty$ 的加法」跟「良好的加法結構」是魚與熊掌，你只能選一個。
:::success
如果你希望加法保持群結構，那就不能考慮 $\infty$；
如果你很希望加入 $\infty$，那就必須捨棄反元素的概念，只能把集合當成么半群。
:::
因為很重要所以講第二次。

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## 一些細節
故事說完了。以下是一些其他的細節 (可能還會更新)：
1. 關於消去律可以用 1,2,3 推得的證明如下：
:::spoiler
假設 $a+b=a+c$，並且 $a,b,c$ 是某個群的元素。我們想證明 $b=c$。
+ 首先由性質3，存在一個 $a$ 的加法反元素。我們把它叫 $-a$ 好了。
(請先把 $-a$ 當成一個符號，不要再去解釋負號是什麼意思)
+ 因為 $a+b=a+c$，所以有 $(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)$。
+ 由性質1，變成 $((-a)+a)+b=((-a)+a)+c$。
+ 由性質3，得 $0+b=0+c$。
+ 由性質2，得到 $b=c$，完工。
的確三個性質都用上了。
:::
2. 據說有人覺得問題不夠明確的原因是，不知道這邊的無限大是「可數無限」還是「不可數無限」。
這邊沒有要區分它們的意思：反正 $\infty$ 就是一個「跟任何數相加都會變成 $\infty$」的東西，而如此一來 $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ 的加法結構就會是一個么半群。
如果要區分可數無限大跟不可數無限大的話，可以這樣想：
:::spoiler
+ 考慮 $\mathbb{R}\cup\{\infty_0,\infty_1\}$，其中對 $\infty_0$ 的想像是「可數無限」，$\infty_1$ 則是「不可數無限」。
+ 規定 $\infty_1+x=\infty_1$。
+ 規定 $\infty_0+x=\infty_0$，唯一的例外是 $x=\infty_1$ 時，$\infty_0+x=\infty_1$。
如此定義出來的加法系統也是一個么半群，並且某種程度上你把可數無限跟不可數無限考慮進去當成不同的數了。
:::
3. 數學系和其他科系(ex. 電機、資工)會在什麼課接觸到文中的概念？

| 概念 | 電機、資工系 | 數學系 |
|:------------:|:--------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 群、交換群 | 離散或線代可能會教 | 代數這堂課，就是在講群、環、體這些結構 |
| 啊字串加法 | ~~這個需要教嗎(X)~~ 大一程式設計會認識 | ~~這鬼東西也配稱為加法？~~ |
| 可數、不可數 | 離散數學 | ~~這個需要教嗎(X)~~ 在微積分、線代、高微等課，可能會作為一個小 topic 被提到