小數的儲存

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IEEE 754

浮點數（也就是小數）的儲存方式是由 IEEE 754 來規範。

簡單來說，浮點數是用類似科學記號的方式來儲存，只是換成二進位而已。用來儲存一個浮點數的記憶體由高位（左）到低位（右）被分成三段：

• 符號位，只佔一個位元，0 表示此數為正，1 表示此數為負。
• 指數域，實際表示的值是指數域儲存的值減去指數偏移量，通常
  $k$ 位指數域的偏移量會是
  $2^k-1$。
• 小數域，表示一個介於
  $[(1{)}_2,(10{)}_2)$ 的小數，因為我們知道這個小數的個位數字是
  $1$，這也是唯一在小數點前的數字，所以不需要儲存它，因此這裡只儲存小數點後的位數。

若指數域所表示的指數值是

$n$，而小數域表示的值是

$f$，那麼這個浮點數是：

$$\pm n\times 2^f$$ 至於是正或負，依符號位而定。並且

$n\in [(1{)}_2,(10{)}_2)=[(1{)}_{10},(2{)}_{10})$。

在指數域的部分，大家都知道科學記號的指數可能是負的，但這裡並不是按二補數的規則來處理正負，而是規定一個「指數偏移量」，將欲表示的指數加上指數偏移量後，才是儲存在記憶體裡的數字。若指數偏移量是

$b$，且指數域有

$k$ 個位元，則可表示的指數範圍是

$[-b+1,2^k-b-2]$，至於

$-b$ 和

$2^k-b-1$ 被用作特殊用途，等等會介紹。

因為小數域的長度是有限的，但小數有無限小數，無限小數中又有循環小數和無理數，因此會發生不精確的問題，造成計算和判斷上的錯誤，遇到這種狀況有這幾種辦法：

• 盡量不要用到小數，需要做運算的話，如果不需要做到太多難做的操作（例如乘法就是很簡單的操作），可以先用分子分母分開存的方式來計算，要輸出的時候再換成小數就好。
• 判斷一個浮點數是否等於一個值的時候，允許一個誤差範圍（相差小於一個極小的數），例如：
  ​​​​double a = /*...*/;
  ​​​​if(a == 0){/*...*/}
  

  改成
  ​​​​double a = /*...*/;
  ​​​​if(fabs(a - 0) < 1e-9){/*...*/}
  

因為浮點數利用科學計號的方式儲存一個數，因此它除了可以表示分數以外，也可以表示一個極大的整數，但要注意它的有效位數並不比 long long 之類的整數結構來得長。

資料型態	指數域長度（bit）	指數偏移量	小數域長度（bit）
float	8	127	23
double	11	1023	52

特殊值

前面有提到當

$k$ 位指數域的指數偏移量是

$b$ 時，

$-b$ 和

$2^k-b-1$ 用於表示特殊值，而特殊值如下：

零與負零

指數為

$-b$ 的浮點數，符號位為正表示

$0$，為負則為

$-0$。因為一般小數域只儲存小數點後的位數，也就是自動默認小數點前有一個

$1$，因此

$0$ 這個數字必須要用特殊值來存。至於正零跟負零唯一的差別在於負零輸出的時候會有負號，我不知道要怎樣才會算出負零就是了。

正負無窮

指數為

$2^k-b-1$，小數域為 0，符號位為正表示正無窮，為負表示負無窮，需要它的話，在 C++ 中可以用 INFINITY 來得到，它在 math.h 裡面，只是在競程上沒啥用途，頂多就是除以

$0$ 會出現無窮，可以幫你 debug。

NaN

Not a Number 的縮寫，指數為

$2^k-b-1$，小數域不是 0，在反三角函數丟一些超出定義域的數字時會跑出這東西。