# 計算幾何：向量 ###### tags: `108 師大附中校隊培訓` ###### wiwiho --- # 何謂向量 ---- ## 向量（Vector） - 表示特定的長度和方向 - 可以想成是一個箭頭 - 可以是任何維度，例如二維、三維、一維…… - 一個 $n$ 維向量可以用 $n$ 個數字來表示，第 $i$ 個數字表示要往第 $i$ 個維度的正向走多少距離，而這個向量可以被看成是一個從起點指向終點的箭頭 - e.g. 物理上的力、位移都算是向量 ----  這是一個二維向量，表示向著 $x$ 軸正向走 $2$，並向著 $y$ 軸正向走 $3$。 所以如果從原點開始走，會走到點 $(2,3)$。 ---- ## 表示一個向量 - 橫矩陣：$\left[ \begin{array}{ccc} v1 & v2 & ... \end{array} \right ]$ - 豎矩陣：$\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ ... \end{array} \right ]$ - 多元組：$(v_1, v_2, ...)$ 如果不會特別需要用到矩陣，會用多元組來表示。 ---- ## 向量長度 $n$ 維向量 $(v_1,v_2,...,v_n)$ 的長度是： $$\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}$$ ---- ## 零向量 - 長度為 $0$ 的向量 - 可以是任意方向 - 除非特別註明，接下來提到的向量都不包含零向量 ---- ## 基本符號 - $\overrightarrow{AB}$，也可以寫成 $B-A$，$A$、$B$ 是點，表示由 $A$ 指向 $B$ 的向量 - $\overrightarrow{A}$，$A$ 是點，等同於 $\overrightarrow{OA}$，$O$ 是原點 - $|\overrightarrow{v}|$，向量 $\overrightarrow{v}$ 的長度 ---- 可以發現到，由原點指向某個點 $(x, y)$ 的向量，就是 $(x, y)$ 所以也可以把點想成是向量、也可以把向量想成是點 --- # 基本運算 ## 加減 ---- ## 加法 兩個向量可以相加得到新的向量 $$(u_1,u_2,u_3,...) + (v_1,v_2,v_3,...)\\ = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3, ...)$$ ---- $$(2,3)+(3,1)=(5,4)$$  ---- 力學意義：兩個力的合力 ---- ## 減法 - 把一個向量加上另一個向量的反向向量 - 把向量想成是點，$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=A-B$，也就是一個從點 $B$ 指向點 $A$ 的向量 $$(u_1,u_2,u_3,...) - (v_1,v_2,v_3,...)\\ = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3, ...)$$ ---- $$(2,3)-(3,1)=(-1,2)$$  --- # 基本運算 ## 純量乘法 ---- - 沒有方向的量稱為純量，例如：$1$、$\frac{1}{2}$、$\pi$ - 向量乘上一個純量，得到一個新的向量 把向量的長度乘上一個純量 $$i(v_1, v_2, v_3, ...)=(iv_1, iv_2, iv_3, ...)$$ ---- $$2 \times (2,3)=(4,6)$$  --- # 基本運算 ## 內積（點積） ---- 向量特有的運算 兩個 $n$ 維向量 $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,...,u_n)$ 和 $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,...,v_n)$ 的內積： $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos\theta = \sum_{i=1}^{n} u_iv_i$$ 各維分量長相乘後相加 ---- ## 意義 作一個 $\overrightarrow{u}$ 在 $\overrightarrow{v}$ 上垂直投影的向量，然後將這個向量的長和 $\overrightarrow{v}$ 的長相乘  ---- 如果夾角超過直角，那麼投影會在另一邊 此時 $|\overrightarrow{u}|\cos\theta$ 會是負數 ---- ## 力學意義 對一個物體作一個力 $\overrightarrow{F}$，而物體的位移是 $\overrightarrow{S}$ 則 $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S}$ 是 $\overrightarrow{F}$ 對這個物體所作的功 ---- 既然內積只是多維版本的乘法 那內積也和乘法一樣 滿足交換律、分配律與結合律 ---- ## 夾角 $\theta$ 不同時的內積值 ---- ## $\theta = 90^\circ = \frac{1}{2}\pi$ - 如果作用在一個物體上的力和物體位移方向垂直，那麼這個力對這個物體不作功 - $\cos 90^\circ=\cos \frac{1}{2}\pi = 0$ &rarr; 兩個垂直向量的內積是 $0$ ---- ## $\theta = 0^\circ = 0$ - 如果作用在一個物體上的力和物體位移方向相同，那麼這個力作的功等同於力的大小乘上位移距離 - $\cos 0^\circ = \cos 0 = 1$ &rarr; 兩個方向相同的向量 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 的內積是 $|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $\theta = 180^\circ = \pi$ - 如果作用在一個物體上的力和物體位移方向相反，那麼這個力作的會是負功，且這個負功的大小等於力的大小乘上位移距離 - $\cos 180^\circ=\cos\pi=-1$ &rarr; 兩個方向相反的向量 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 內積是 $-|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $0^\circ=0 < \theta < 90^\circ=\frac{1}{2}\pi$ - 如果作用在一個物體上的力和物體位移方向在同一邊，那麼這個力作的會是正功 - $0 < \cos \theta < 1$ &rarr; 兩個方向在同一邊的向量 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 內積會是一個正數且 $0 < \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} < |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $90^\circ=\frac{1}{2}\pi < \theta < 180^\circ=\pi$ - 如果作用在一個物體上的力和物體位移方向在不同邊，那麼這個力作的會是負功 - $-1 < \cos \theta < 0$ &rarr; 兩個方向在不同邊的向量 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 內積會是一個負數且 $-|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}| < \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} < 0$ ---- ## 兩向量在不同夾角時的內積  ---- ## 兩個長度為 $1$ 的向量在不同夾角時的內積 （$x$ 軸為夾角（弧度）、$y$ 軸為內積）  --- # 基本運算 ## 外積 ---- - 向量特有的運算 - 在定義上，它只能用在三維，而且外積得到的是一個向量 **這不重要，我們只會用到二維** ---- ## 重新定義 兩個二維向量 $\overrightarrow{u}$ 和 $\overrightarrow{v}$ 的外積是一個純量： $$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{array}\right|=x_1y_2-y_1x_2=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\sin\theta$$ ---- ## 意義 - 外積的絕對值等同於兩個向量所夾的平行四邊形面積 - 如果 $\overrightarrow{u}$ 往較近的那邊轉向 $\overrightarrow{v}$ 是逆時針，$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ 是正數，反之，就是負數 ---- （夾角 $\theta$ 是指 $\overrightarrow{u}$ 往逆時針轉到 $\overrightarrow{v}$ 的角度）  ---- 外積不滿足交換律，也就是說 $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}$，但它滿足「負交換律」，也就是 $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=-(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u})$，因為： $$(x_1,y_1)\times(x_2,y_2)=x_1y_2-x_2y_1\\ =-(x_2y_1-x_1y_2)=-(x_2,y_2)\times(x_1,y_1)$$ 外積不滿足結合律，但滿足分配律 ---- ## 夾角 $\theta$ 不同時的外積值 ---- ## $\theta = 90^\circ=\frac{1}{2}\pi$ - 兩個向量會夾一個長方形 - $\sin 90^\circ=\sin \frac{1}{2}\pi=1$ &rarr; 兩個夾角為直角的向量 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 外積為 $|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $\theta = 270^\circ=\frac{3}{2}\pi$ - 這樣兩個向量會夾一個長方形 - $\sin 270^\circ=\sin \frac{3}{2}\pi=-1$ &rarr; $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = -|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $\theta = 0^\circ = 0$ - 兩個向量同向，此時它們夾的平行四邊形面積為 $0$ - $\sin 0^\circ=\sin 0=0$ &rarr; 兩個同向向量的外積為 $0$ ---- ## $\theta = 180^\circ = \pi$ - 兩個向量反向，此時它們夾的平行四邊形面積也為 $0$ - $\sin 180^\circ=\sin \pi = 0$ &rarr; 兩個反向向量的外積為 $0$ ---- ## $0^\circ=0 <\theta < 180^\circ = \pi$ - $\overrightarrow{v}$ 往 $\overrightarrow{u}$ 轉是逆時針 - $0 < \sin \theta \leq 1$ &rarr; $0 < \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \leq |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$ ---- ## $180^\circ=\pi <\theta < 360^\circ = 2\pi$ - $\overrightarrow{v}$ 往 $\overrightarrow{u}$ 轉是順時針 - $-1 \leq \sin \theta < 0$ &rarr; $-|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}| \leq \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} < 0$ ---- ## 兩向量在不同夾角時的外積  ---- ## 兩個長度為 $1$ 的向量在不同夾角時的外積 （$x$ 軸為夾角（弧度）、$y$ 軸為外積）