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# System prepended metadata

title: Analysis
tags: [Analysis, 2.Semester, Mathematik]

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# Analysis
## Grundlagen
### Bruchrechnung
$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a*d}{b*d} + \frac{c*b}{d*b} = \frac{ad + cb}{bd}$
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$
$\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc}$
$\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{ac}{b}$


### Potenz und Wurzelrechnung
$x^0 = 1$
$x^n * x^m = x^{n+m}$
$x^n : x^m = x^{n-m}$
$x^n * y^n = (xy)^n$
$(x^n)^m = x^{nm}$
$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x^1}$
$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$
$\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$
$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$
$(\sqrt[n]{x})^m = (x^{\frac{1}{n}})^m = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$

### Binomische Formel
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

### p-q-Formel
$x^2 + px + q = 0 \implies x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p/2})^2 - q}$

### Binomialkoeffizienten
$\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} = \frac{n(n-1) * ... * (n - k + 1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

### Fakultät
$0! = 0$

#### Multiplikation
$n! * (n + 1) = (n + 1)!$

#### Division
$\frac{4!}{2!} = \frac{\not 1 * \not 2 * 3 * 4}{\not 1 * \not 2} = 3 * 4$

### Wichtige Funktionen
#### Sin/Cos
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkwa9sb3C.png)


| Winkel (Grad)  | 0°                        | 30°                                   | 45°                   | 60°                   | 90°                       | 180°  | 270°             | 360°   |
| -------------- | ------------------------- | ------------------------------------- | --------------------- | --------------------- | ------------------------- | ----- | ---------------- | ------ |
| Winkel (Bogen) | 0                         | $\frac{\pi}{6}$                       | $\frac{\pi}{4}$       | $\frac{\pi}{3}$       | $\frac{\pi}{2}$           | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| sin            | 0 ($\frac{1}{2}\sqrt{0}$) | $\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{2}\sqrt{1}$) | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | 1 ($\frac{1}{2}\sqrt{4}$) | 0     | -1               | 0      |
| cos            | 1                         | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$                 | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$         | 0                         | -1    | 0                | 1      |

#### Tan
![image](https://hackmd.io/_uploads/HygZTsW2A.png)

$sin(-x) = -sin(x)$ (Punktsymmtrisch)
$cos(-x) = cos(x)$ (Achsensysmmetrisch)
$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ (trigometrischer Pythagoras)
$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$
$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \pm sin(x)sin(y)$
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

#### Sinh / Cosh
![image](https://hackmd.io/_uploads/S13-Ci-20.png)

$sinh(x) = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
$cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
$sinh(-x) = -sinh(x)$
$cosh(x) = cosh(-x)$
$cosh^2(x)-sinh^2(x) = 1$
$cosh(x) + sinh(x) = e^x$
$sinh(x \pm y) = sinh(x)cosh(y) \pm cosh(x)sinh(y)$
$cosh(x \pm y) = cosh(x)cosh(y) \pm sinh(x)sinh(y)$

#### TanH
![image](https://hackmd.io/_uploads/SkTQejO30.png)

#### Exponetialfunktion / Logarithmus
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkqjJ3W2C.png)

$x = log_b(y) \iff y = b^x$
$e = \displaystyle\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$
$f(x) = ab^x \iff f(x) = ae^{x*ln(b)}$

$log(1) = 0$
$log(x) + log(y) = log(xy)$
$log(x) - log(y) = log(\frac{x}{y})$
$-log(x) = log(\frac{1}{x})$
$log(x^y) = ylog(x)$
$log_b(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(b)}$
$lg(x) = log_{10}(x)$
$lb(x) = log_2(x)$

## Sekantensteigung
![2024_09_01-11_45_49](https://hackmd.io/_uploads/BJGkOnb2R.png)

### Differenzenquotient
$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\triangle f(x)}{\triangle x}$

### Differentialquotient (bzw. Ableitung)
$\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx}f(x)$

![2024_09_01-11_51_28](https://hackmd.io/_uploads/Bk84thWhR.png)

### Monotonie 
$f'(x) \geq 0$ monoton wachsend

$f'(x) \leq 0$ monoton fallend

$f'(x) \gt 0$ strikt monoton wachsend

$f'(x) \lt 0$ strikt monoton fallend

### Krümmung
$f''(x) \geq 0$ konvex (links)

$f''(x) \leq 0$ konkav (rechts)

### Stationäre Punkte
$f'(x)=0 \land f''(x) < 0$ Hochpunkt 

$f'(x)=0 \land f''(x) > 0$ Tiefpunkt

$f'(x)=0 \land f''(x)=0$ möglicherweise Sattelpunkt

## Ableitungsregeln


| Ableitung                                | Kommentar                                                                                     |                        |
| ---------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------- |
| $c*f'(x)$                                |                                                                                               |                        |
| $f'(x) + g'(x)$                          |                                                                                               |                        |
| $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$                  | Produktregel                                                                                  |                        |
| $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ | Quotientenregel                                                                               |                        |
| $f'(g(x))*g'(x)$                         | Kettenregel                                                                                   |                        |
| $nx^{n-1}$                               | $nx^{n-1}$                                                                                    |                        |
| $sin(x)$                                 | $cos(x)$                                                                                      |                        |
| $cos(x)$                                 | $-sin(x)$                                                                                     |                        |
| $tan(x)$                                 | $\frac{1}{cos^2(x)}$                                                                          |                        |
| $sinh(x)$                                | $cosh(x)$                                                                                     |                        |
| $cosh(x)$                                | $sinh(x)$                                                                                     |                        |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$                   | $-1*x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$                                                                  |                        |
| $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$             | $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} * \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $= \frac{1}{cos^2(x)}$ |
| $e^x$                                    | $e^x$                                                                                         |                        |
| $ln(x)$                                  | $\frac{1}{x}$                                                                                 |                        |

## Konvergenz von Folgen

### L'Hospital
$\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x} = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ bei $\frac{0}{0} / \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$

### Sandwichsatz
Sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine beliebige Folge. Wenn es zwei Folgen $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ gibt, sodass $b_n <= a_n <= c_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$ für ein $a \in \mathbb{R}$, dann konvergiert auch $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen $a$. 

### Monotoniekriterium
Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.

## Konvergenzkriterien für Reihen 
### Definition Absolute Konvergenz 
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ Konvergent
- Konvergiert eine Reihe Betraglich $|x_n|$
- Konvergiert sie auch ohne Beträge 
- aus absoluter Konvergenz $\implies$ Konvergenz
- aus Konvergenz $\not \implies$ abs. Konvergenz
### Nullfolgenkriterium
Ist die Folge $a_n$ keine Nullfolge dann ist die Reihe 
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ nicht Konvergent $\implies$ Divergent

$\boxed{\text{Mit dem Nullfolgenkriterium kann nur Divergenz aber keine Kovergenz nachgewiesen werden}}$
### Minoranten & Majorantenkriterium

$a_n\quad b_n sind\space Folgen\space mit \space|a_n|\leq|b_n|$
$\forall n\in \mathbb{N}$
i)  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent $\implies$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent
ii)  $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent $\implies$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ divergent

### Quotientenkriterium
$a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\space |\frac{a_n+1}{a_n}|$
$a<1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ abs. Konvergent
$a>1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent 
$a=1\implies$ keine Aussage mit entsprechendem Kriterium möglich 

### Wurzelkriterium
> Das Wurzelkriterium ist stärker als das Quotientenkriterium
> Falls Wurzelkriterium nicht geht dann geht das Quotientenkriterium auch nicht.

$a= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
$a<1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ abs. Konvergent
$a>1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent 
$a=1\implies$ keine Aussage mit entsprechendem Kriterium möglich 

### Leibniz-Kriterium
Wenn $a_n$ eine monotone Nullfolge ist, 
dann ist die Reihe $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}(-1)^n \space a_n$ Konvergent
(Nur Konvergenz Nachweisbar)

### Cauchy-Kriterium
Die Reihe $\displaystyle\sum^\infty_{k=1}a_k$ **konvergiert** genau dann, wenn gilt 
$\forall\epsilon>0 \space\exists\space n_0 \quad\forall n,m\in \mathbb{N} \space n>m\geq n_0:$
$|a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n|<\epsilon$

## Wichtige Reihen 
### Harmonische Reihen
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
- bekanntermaßen divergent
- häufig minorante
### Geometrische Reihe
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty q^n$
- für $|q|\geq 1$ divergent 
- für $|q|\lt 1$ abs. Konvergent
- mit Grenzwert $\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}}$

### Die Unbekannte LOL 
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k},k\gt 1$
- bekanntermaßen Konvergent 
- häufig Minoranten 

## Stetigkeit von Funktionen
Definition 
Eine Funktion $f: \mathbb{R}\to\mathbb {R}$ heißt stetig in $x_0 \in D(f)$,
falls 

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\searrow x_0}f(x) =\lim_{x\nearrow x_0}f(x) =f(x_0)}$

Sie heißt stetig, falls sie in allen x_0 \in D(f) stetig ist.
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJe4fRWhA.png)

> Jede Zusammensetzung stetiger Funktionen durch $+,-,\times,\div$ ist wieder stetig.

### Epsilon-Delta Kriterium
$\boxed{\forall\epsilon \gt 0\space \exists\delta \gt 0\space\forall x \in D(f) : |x-x_0| \lt \delta \implies |f(x)-f(x_0)| \lt \epsilon }$

#### Beweisführung nach Epsilon-Delta-Kriterium. 
**Behauptung**: $f(x) = ...$ ist stetig.
**Beweis:** Sei $\epsilon > 0$
**Vorrausstetzung:** $| x - x_0 | <= \epsilon$
**Setze:** $\delta :=$ (Einfügen des Ergebnisssen aus nachfolgender Berechnung)

$|f(x) - f(x_0)| =$
1. Funktion einsetzten
2. Nach Vorraussetzung $|x - x_0 |$ durch $\delta$ ersetzten. 
3. Ergebnis sollte nur noch $\delta$ und Konstanten enthalten.
4. Berechneter Term mit $k\delta <= \epsilon$ setzen. (k irgendein Term aus konstanten.)
5. Ungleichung umschreiben bis $\delta$ alleinsteihend ist. 

$\implies$ Wähle $\delta = k\epsilon$

Also ist f nach $\epsilon-\delta$-Kriterium stetig. 

### Zwischenwertsatz
Sei $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ eine stetige Funtkion mit $a, b \in \mathbb{R}$ und $a < b$. Sei $s$ ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten $f(a)$ und $f(b)$. Es gilt also $f(a) <= s <= f(b)$ oder $f(b) <= s <= f(a)$. Dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $x \in [a, b]$ mit $f(x) = s$. Der Zwischenwert $s$ wird also mindestens einmal von der Funtkion $f$ angenommen.


## Konvergenzradius von Potenzreihen
### Grundformeln
1. $\displaystyle\boxed{r=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{a_n}|}}$
2. $\boxed{r=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|}$ Falls Grenzwert Existiert

### Konvergenzbereich 
1. $|x-x_0|\lt r\implies$ Potenzreihe konvergiert
2. $|x-x_0|\gt r\implies$ Potenzreihe divergiert
3. $|x-x_0|= r\implies$ Randpunkte einzeln Prüfen 

### Randpunktbetrachtung 
Oberen und unteren Randpunkt in die Potenzreihe für x einsetzen und 
Konvergenz / Divergenz einzeln prüfen. 

## Kurvendiskussion
### Monotonie
$f'(x) (>) >= 0$: (streng) monoton wachsend
$f'(x) (>) <= 0$: (streng) monoton fallend

### Krümmung
$f''(x) (>) >= 0$: (steng) konvex (linksgekrümmt)
$f''(x) (>) <= 0$: (steng) konkarv (rechtsgekrümmt)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJV44ou2A.png)

### Stationärer Punkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) < 0$: Hochpunkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) > 0$: Tiefpunkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) = 0$: möglicherweise Sattelpunkt

## Integrale
### Partielle Integration
$\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$

sinnvoll, wenn
1) eine Funktion durch mehrfaches Ableiten "wegfällt" (Beispiel: $e^xx^2$)
2) Funktionstyp durch Ableiten / Integrieren regelmäßig wechselt (sin/cos)

### Substitiuiton
$\displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x))$
$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g'(x) dx$

1) Substitioniere innere Funktion 
$g(x) = u$
2) $\frac{d}{dx}g(x) = \frac{dg(x)}{dx} = \frac{du}{dx} = g'(x) \iff dx = \frac{du}{g'(x)}$
3) $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\not{g'(x)} \frac{du}{\not{g'(x)}} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du = [F(u)]_{g(a)}^{g(b)} = [F(g(x))]_{a}^{b}$

### Partialbruchzerlegung
#### Nullstellen bestimmen
$f(x) = 0$
#### Zur jeder Nullstelle Partialbruch bestimmen
m: Anzahl der Nullstelle des Nennerpolynoms 
$x_1, ..., x_m$: Nullstellen des Nennerpolynoms
$r_1, ..., r_m$: Vielfachheiten der Nullstelle

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j = 1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$

#### Koeffzientenvergleich

#### Integral als Ergbenis der Partialbruchzerlegung aufschreiben. 

## Diffenzieren im $R^n$
#### 1.Gradient
> Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion 
$\nabla f(x,y) =\begin{pmatrix}
   f´_x(x,y) \\
   f´_y(x,y)
\end{pmatrix}$

Beim Ableiten wird der faktor nach dem NICHT abgeleitet wird als Konstante betrachtet.


#### 2.Nullstellen der partiellen Ableitungen 
> Gradient Null setzen. 

#### 3. Hessematrix aufstellen 

$H_f(x,y) =\begin{pmatrix}
   f´´_{xx}(x,y)\quad f´´_{xy}(x,y) \\
   f´´_{yx}(x,y)\quad f´´_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}$

#### 4. Nullstellen des Gradient in Hessematrix einsetzen 
#### 5. Definitheit der Matrix feststellen 
pos. definit $\implies$ minimum
neg. definit $\implies$ maximum
indefinit $\implies$ Sattelpunkt

>**Kriterium von Sylvester**
>1.) alle Hauptminoren(Hm) positiv $\implies$ pos. definit $\implies$ Min
>2.) 1 Hm negativ, 2 hm positiv, 3 hm negativ $\implies$ neg. definit $\implies$ Max
>3.) keiner der ersten beiden Fälle und det $\neq$ 0 $\implies$ indefinit $\implies$ Sattelpunkt
![image](https://hackmd.io/_uploads/ByxhV3uhR.png) 

<font color="#ff370c">$H_1$ = det (a) = a</font>

<font color="0ca4ff">$H_2  = det \begin{pmatrix}
   a & b \\
    d& e
\end{pmatrix}= a*e-d*b$</font>

<font color="0cff39">$H_3  = det \begin{pmatrix}
   a & b & c\\
    d& e & f\\
    g & h & i
\end{pmatrix}= a*e*i\quad + \quad b*f*g\quad + \quad c*d*h\quad - \quad g*e*c\quad -\quad h*f*a\quad -\quad i*d*b$</font>

#### Richtungsableitung 
Liefert die Steigung von einem **Punkt** in eine vorgegebene Richtung. 

$D_{\overrightarrow{v}}\space f´(x,y) = \langle\space \overrightarrow{v} \space f(x,y), \frac{\overrightarrow{v}}{||\space\overrightarrow{v}\space||}\rangle$


$\frac{\begin{pmatrix}
   x  \\
   y  \\
   z
\end{pmatrix}}{||\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2}||}= \begin{pmatrix}
  x \div Norm\\
  y \div Norm\\
  z \div Norm
\end{pmatrix}$

### Extrema und Sattelpunkte
### Verfahren zur Bestimmung lokaler Extrema