# Analysis
## Grundlagen
### Bruchrechnung
$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a*d}{b*d} + \frac{c*b}{d*b} = \frac{ad + cb}{bd}$
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$
$\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc}$
$\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{ac}{b}$

### Potenz und Wurzelrechnung
$x^0 = 1$
$x^n * x^m = x^{n+m}$
$x^n : x^m = x^{n-m}$
$x^n * y^n = (xy)^n$
$(x^n)^m = x^{nm}$
$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$
$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x^1}$
$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$
$\sqrt[n]{x}*\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$
$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$
$(\sqrt[n]{x})^m = (x^{\frac{1}{n}})^m = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$

### Binomische Formel
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

### p-q-Formel
$x^2 + px + q = 0 \implies x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p/2})^2 - q}$

### Binomialkoeffizienten
$\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} = \frac{n(n-1) * ... * (n - k + 1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

### Fakultät
$0! = 0$

#### Multiplikation
$n! * (n + 1) = (n + 1)!$

#### Division
$\frac{4!}{2!} = \frac{\not 1 * \not 2 * 3 * 4}{\not 1 * \not 2} = 3 * 4$

### Wichtige Funktionen
#### Sin/Cos

| Winkel (Grad) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| -------------- | ------------------------- | ------------------------------------- | --------------------- | --------------------- | ------------------------- | ----- | ---------------- | ------ |
| Winkel (Bogen) | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| sin | 0 ($\frac{1}{2}\sqrt{0}$) | $\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{2}\sqrt{1}$) | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | 1 ($\frac{1}{2}\sqrt{4}$) | 0 | -1 | 0 |
| cos | 1 | $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ | $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |

#### Tan

$sin(-x) = -sin(x)$ (Punktsymmtrisch)
$cos(-x) = cos(x)$ (Achsensysmmetrisch)
$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ (trigometrischer Pythagoras)
$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$
$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \pm sin(x)sin(y)$
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

#### Sinh / Cosh

$sinh(x) = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
$cosh(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
$sinh(-x) = -sinh(x)$
$cosh(x) = cosh(-x)$
$cosh^2(x)-sinh^2(x) = 1$
$cosh(x) + sinh(x) = e^x$
$sinh(x \pm y) = sinh(x)cosh(y) \pm cosh(x)sinh(y)$
$cosh(x \pm y) = cosh(x)cosh(y) \pm sinh(x)sinh(y)$

#### TanH

#### Exponetialfunktion / Logarithmus

$x = log_b(y) \iff y = b^x$
$e = \displaystyle\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$
$f(x) = ab^x \iff f(x) = ae^{x*ln(b)}$

$log(1) = 0$
$log(x) + log(y) = log(xy)$
$log(x) - log(y) = log(\frac{x}{y})$
$-log(x) = log(\frac{1}{x})$
$log(x^y) = ylog(x)$
$log_b(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(b)}$
$lg(x) = log_{10}(x)$
$lb(x) = log_2(x)$

## Sekantensteigung

### Differenzenquotient
$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\triangle f(x)}{\triangle x}$

### Differentialquotient (bzw. Ableitung)
$\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx}f(x)$


### Monotonie
$f'(x) \geq 0$ monoton wachsend

$f'(x) \leq 0$ monoton fallend

$f'(x) \gt 0$ strikt monoton wachsend

$f'(x) \lt 0$ strikt monoton fallend

### Krümmung
$f''(x) \geq 0$ konvex (links)

$f''(x) \leq 0$ konkav (rechts)

### Stationäre Punkte
$f'(x)=0 \land f''(x) < 0$ Hochpunkt

$f'(x)=0 \land f''(x) > 0$ Tiefpunkt

$f'(x)=0 \land f''(x)=0$ möglicherweise Sattelpunkt

## Ableitungsregeln

| Ableitung | Kommentar | |
| ---------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------- |
| $c*f'(x)$ | | |
| $f'(x) + g'(x)$ | | |
| $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ | Produktregel | |
| $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ | Quotientenregel | |
| $f'(g(x))*g'(x)$ | Kettenregel | |
| $nx^{n-1}$ | $nx^{n-1}$ | |
| $sin(x)$ | $cos(x)$ | |
| $cos(x)$ | $-sin(x)$ | |
| $tan(x)$ | $\frac{1}{cos^2(x)}$ | |
| $sinh(x)$ | $cosh(x)$ | |
| $cosh(x)$ | $sinh(x)$ | |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$ | $-1*x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ | |
| $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ | $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} * \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $= \frac{1}{cos^2(x)}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | |
| $ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | |

## Konvergenz von Folgen

### L'Hospital
$\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x} = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ bei $\frac{0}{0} / \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$

### Sandwichsatz
Sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine beliebige Folge. Wenn es zwei Folgen $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ gibt, sodass $b_n <= a_n <= c_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = a$ für ein $a \in \mathbb{R}$, dann konvergiert auch $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen $a$.

### Monotoniekriterium
Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.

## Konvergenzkriterien für Reihen
### Definition Absolute Konvergenz
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ Konvergent
- Konvergiert eine Reihe Betraglich $|x_n|$
- Konvergiert sie auch ohne Beträge
- aus absoluter Konvergenz $\implies$ Konvergenz
- aus Konvergenz $\not \implies$ abs. Konvergenz
### Nullfolgenkriterium
Ist die Folge $a_n$ keine Nullfolge dann ist die Reihe
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ nicht Konvergent $\implies$ Divergent

$\boxed{\text{Mit dem Nullfolgenkriterium kann nur Divergenz aber keine Kovergenz nachgewiesen werden}}$
### Minoranten & Majorantenkriterium

$a_n\quad b_n sind\space Folgen\space mit \space|a_n|\leq|b_n|$
$\forall n\in \mathbb{N}$
i) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ absolut konvergent $\implies$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent
ii) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent $\implies$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ divergent

### Quotientenkriterium
$a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\space |\frac{a_n+1}{a_n}|$
$a<1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ abs. Konvergent
$a>1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent
$a=1\implies$ keine Aussage mit entsprechendem Kriterium möglich

### Wurzelkriterium
> Das Wurzelkriterium ist stärker als das Quotientenkriterium
> Falls Wurzelkriterium nicht geht dann geht das Quotientenkriterium auch nicht.

$a= \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
$a<1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ abs. Konvergent
$a>1\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergent
$a=1\implies$ keine Aussage mit entsprechendem Kriterium möglich

### Leibniz-Kriterium
Wenn $a_n$ eine monotone Nullfolge ist,
dann ist die Reihe $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}(-1)^n \space a_n$ Konvergent
(Nur Konvergenz Nachweisbar)

### Cauchy-Kriterium
Die Reihe $\displaystyle\sum^\infty_{k=1}a_k$ **konvergiert** genau dann, wenn gilt
$\forall\epsilon>0 \space\exists\space n_0 \quad\forall n,m\in \mathbb{N} \space n>m\geq n_0:$
$|a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n|<\epsilon$

## Wichtige Reihen
### Harmonische Reihen
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
- bekanntermaßen divergent
- häufig minorante
### Geometrische Reihe
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty q^n$
- für $|q|\geq 1$ divergent
- für $|q|\lt 1$ abs. Konvergent
- mit Grenzwert $\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}}$

### Die Unbekannte LOL
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k},k\gt 1$
- bekanntermaßen Konvergent
- häufig Minoranten

## Stetigkeit von Funktionen
Definition
Eine Funktion $f: \mathbb{R}\to\mathbb {R}$ heißt stetig in $x_0 \in D(f)$,
falls

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\searrow x_0}f(x) =\lim_{x\nearrow x_0}f(x) =f(x_0)}$

Sie heißt stetig, falls sie in allen x_0 \in D(f) stetig ist.

> Jede Zusammensetzung stetiger Funktionen durch $+,-,\times,\div$ ist wieder stetig.

### Epsilon-Delta Kriterium
$\boxed{\forall\epsilon \gt 0\space \exists\delta \gt 0\space\forall x \in D(f) : |x-x_0| \lt \delta \implies |f(x)-f(x_0)| \lt \epsilon }$

#### Beweisführung nach Epsilon-Delta-Kriterium.
**Behauptung**: $f(x) = ...$ ist stetig.
**Beweis:** Sei $\epsilon > 0$
**Vorrausstetzung:** $| x - x_0 | <= \epsilon$
**Setze:** $\delta :=$ (Einfügen des Ergebnisssen aus nachfolgender Berechnung)

$|f(x) - f(x_0)| =$
1. Funktion einsetzten
2. Nach Vorraussetzung $|x - x_0 |$ durch $\delta$ ersetzten.
3. Ergebnis sollte nur noch $\delta$ und Konstanten enthalten.
4. Berechneter Term mit $k\delta <= \epsilon$ setzen. (k irgendein Term aus konstanten.)
5. Ungleichung umschreiben bis $\delta$ alleinsteihend ist.

$\implies$ Wähle $\delta = k\epsilon$

Also ist f nach $\epsilon-\delta$-Kriterium stetig.

### Zwischenwertsatz
Sei $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ eine stetige Funtkion mit $a, b \in \mathbb{R}$ und $a < b$. Sei $s$ ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten $f(a)$ und $f(b)$. Es gilt also $f(a) <= s <= f(b)$ oder $f(b) <= s <= f(a)$. Dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $x \in [a, b]$ mit $f(x) = s$. Der Zwischenwert $s$ wird also mindestens einmal von der Funtkion $f$ angenommen.

## Konvergenzradius von Potenzreihen
### Grundformeln
1. $\displaystyle\boxed{r=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\sqrt[n]{a_n}|}}$
2. $\boxed{r=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|}$ Falls Grenzwert Existiert

### Konvergenzbereich
1. $|x-x_0|\lt r\implies$ Potenzreihe konvergiert
2. $|x-x_0|\gt r\implies$ Potenzreihe divergiert
3. $|x-x_0|= r\implies$ Randpunkte einzeln Prüfen

### Randpunktbetrachtung
Oberen und unteren Randpunkt in die Potenzreihe für x einsetzen und
Konvergenz / Divergenz einzeln prüfen.

## Kurvendiskussion
### Monotonie
$f'(x) (>) >= 0$: (streng) monoton wachsend
$f'(x) (>) <= 0$: (streng) monoton fallend

### Krümmung
$f''(x) (>) >= 0$: (steng) konvex (linksgekrümmt)
$f''(x) (>) <= 0$: (steng) konkarv (rechtsgekrümmt)

### Stationärer Punkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) < 0$: Hochpunkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) > 0$: Tiefpunkt
$f'(x) = 0 \land f''(x) = 0$: möglicherweise Sattelpunkt

## Integrale
### Partielle Integration
$\displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$

sinnvoll, wenn
1) eine Funktion durch mehrfaches Ableiten "wegfällt" (Beispiel: $e^xx^2$)
2) Funktionstyp durch Ableiten / Integrieren regelmäßig wechselt (sin/cos)

### Substitiuiton
$\displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x))$
$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g'(x) dx$

1) Substitioniere innere Funktion
$g(x) = u$
2) $\frac{d}{dx}g(x) = \frac{dg(x)}{dx} = \frac{du}{dx} = g'(x) \iff dx = \frac{du}{g'(x)}$
3) $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\not{g'(x)} \frac{du}{\not{g'(x)}} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du = [F(u)]_{g(a)}^{g(b)} = [F(g(x))]_{a}^{b}$

### Partialbruchzerlegung
#### Nullstellen bestimmen
$f(x) = 0$
#### Zur jeder Nullstelle Partialbruch bestimmen
m: Anzahl der Nullstelle des Nennerpolynoms
$x_1, ..., x_m$: Nullstellen des Nennerpolynoms
$r_1, ..., r_m$: Vielfachheiten der Nullstelle

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j = 1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$

#### Koeffzientenvergleich

#### Integral als Ergbenis der Partialbruchzerlegung aufschreiben.

## Diffenzieren im $R^n$
#### 1.Gradient
> Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion
$\nabla f(x,y) =\begin{pmatrix}
f´_x(x,y) \\
f´_y(x,y)
\end{pmatrix}$

Beim Ableiten wird der faktor nach dem NICHT abgeleitet wird als Konstante betrachtet.

#### 2.Nullstellen der partiellen Ableitungen
> Gradient Null setzen.

#### 3. Hessematrix aufstellen

$H_f(x,y) =\begin{pmatrix}
f´´_{xx}(x,y)\quad f´´_{xy}(x,y) \\
f´´_{yx}(x,y)\quad f´´_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}$

#### 4. Nullstellen des Gradient in Hessematrix einsetzen
#### 5. Definitheit der Matrix feststellen
pos. definit $\implies$ minimum
neg. definit $\implies$ maximum
indefinit $\implies$ Sattelpunkt

>**Kriterium von Sylvester**
>1.) alle Hauptminoren(Hm) positiv $\implies$ pos. definit $\implies$ Min
>2.) 1 Hm negativ, 2 hm positiv, 3 hm negativ $\implies$ neg. definit $\implies$ Max
>3.) keiner der ersten beiden Fälle und det $\neq$ 0 $\implies$ indefinit $\implies$ Sattelpunkt

<font color="#ff370c">$H_1$ = det (a) = a</font>

<font color="0ca4ff">$H_2 = det \begin{pmatrix}
a & b \\
d& e
\end{pmatrix}= a*e-d*b$</font>

<font color="0cff39">$H_3 = det \begin{pmatrix}
a & b & c\\
d& e & f\\
g & h & i
\end{pmatrix}= a*e*i\quad + \quad b*f*g\quad + \quad c*d*h\quad - \quad g*e*c\quad -\quad h*f*a\quad -\quad i*d*b$</font>

#### Richtungsableitung
Liefert die Steigung von einem **Punkt** in eine vorgegebene Richtung.

$D_{\overrightarrow{v}}\space f´(x,y) = \langle\space \overrightarrow{v} \space f(x,y), \frac{\overrightarrow{v}}{||\space\overrightarrow{v}\space||}\rangle$

$\frac{\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}}{||\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2}||}= \begin{pmatrix}
x \div Norm\\
y \div Norm\\
z \div Norm
\end{pmatrix}$

### Extrema und Sattelpunkte
### Verfahren zur Bestimmung lokaler Extrema