# 二元一次聯立方程式 | 七下數學 | 認識代入消去法、加減消去法 (下)

> 這篇文章將帶著各位認識國中七年級下學期會學到的內容：二元一次聯立方程式。並且會和各位介紹它的兩種解法，也就是代入消去法與加減消去法！

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## 前言
這一篇文章接續了上一篇文章，繼續介紹解二元一次聯立方程式的方法。介紹了代入消去法與加減消去法兩種解法，並舉例進行解析。

## 解法
除了上一篇文章介紹的畫圖法外，最主要的兩個解是 **代入消去法** 和 **加減消去法**：

### 代入消去法

接下來要介紹的是第二種解法，也是較為常見的解法，也就是代入消去法。

根據這個名稱，各位可以先猜猜看，這種方法究竟是如何解聯立方程式的？

> (A) 將一個方程式進行代入，並將另一個方程式消去，以簡化題目，得到方程式的解
>
> (B) 將一個方程式轉換為 `未知數 = 算式` 的形式，並代入到另一個方程式，得到方程式的解
選對了嗎？答案是 (B)！

首先，要先和各位補充一點。在解方程式時，為了方便標示方程式，我們通常會賦予每個方程式一個編號，以這樣的形式標記：

$$
\left\{
\begin{array}{c}
x+y=3 \cdots \cdots(1) \\
x-4=y \cdots \cdots(2)
\end{array}
\right.
$$

在這個方程式中，若要使用代入消去法，我們可以將第一式 $(1)$ 的 $y$ 進行移項，化為 $x=3-y$ ，並且將此項定義為第三式 $(3)$ 。

$$
x=3-y \cdots \cdots(3)
$$

並且，可以將第三式 $(3)$ 代入第二式 $(2)$ ，得 $3-y-4=y$ ，並可化簡為 $2y=-1$ ，最終得到 $y=-\frac{1}{2}$ 。

之後，我們將 $y=-\frac{1}{2}$ 這個解再次代入任何一個式子，即可解出 $x=3\frac{1}{2}$ 。

算式整理：

$$
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{array}{c}
x+y=3 \cdots \cdots(1) \\
x-4=y \cdots \cdots(2) \\
\end{array}
\right.\\
& (2)\Rightarrow x=3-y\cdots \cdots(3) \\
& (3) \text{代入} (2)\Rightarrow 3-y-4=y \\
& \Rightarrow 2y=-1 \\
& \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \text{代入} (1)\Rightarrow x-4=-\frac{1}{2} \\
& \Rightarrow x=3\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

### 加減消去法
加減消去法也是一種二元一次方程式的解法，顧名思義可以通過兩個式子的加減來進行解聯立方程式的動作。

同樣舉一個二元一次聯立方程式的例子：

$$
\left\{
\begin{array}{c}
x+y=4 \cdots \cdots(1) \\
x-y=2 \cdots \cdots(2)
\end{array}
\right.
$$

這兩個方程式中，通過觀察我們可以發現，若將兩個式子相加，可以將 $y$ 項消掉：

$$
(1)+(2) \Rightarrow 2x=6
$$

此時，我們得知了 $x=3$ ，並且可以將我們所得到的這個解代入 $(1)$ 或 $(2)$ 任何一個方程式，得到 $y=1$ 。

算式整理：

$$
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{array}{c}
x+y=4 \cdots \cdots(1) \\
x-y=2 \cdots \cdots(2)
\end{array}
\right.\\
& (1)+(2)\Rightarrow 2x=6 \\
& \Rightarrow x=3 \text{代入}(1)\Rightarrow 3+y=4 \\
& \Rightarrow y=1
\end{aligned}
$$

若兩個式子的無法直接進行加減消去：

$$
\left\{
\begin{array}{c}
2x+y=6 \cdots \cdots(1) \\
x-2y=-2 \cdots \cdots(2)
\end{array}
\right.
$$

此時，我們可以將第二式 $(2)$ 乘以2後再減去第一式 $(1)$：

$$
\begin{aligned}
& (2)*2-(1) \\
& \Rightarrow -5y=-10 \\
& \Rightarrow y=2
\end{aligned}
$$

由此可知， $y=2$ ，而我們可以將這個解代入任何一個方程式中得到 $x$ 的解為2。

算式整理：

$$
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{array}{c}
2x+y=6 \cdots \cdots(1) \\
x-2y=-2 \cdots \cdots(2)
\end{array}
\right.\\
& (2)*2-(1) \\
& \Rightarrow -5y=-10 \\
& \Rightarrow y=2 \text{代入} (1)\Rightarrow 2x+2=6 \\
& 2x=4 \Rightarrow x=2
\end{aligned}
$$

## 重點整理
以下整理這篇文章中的重點給各位：

### 代入消去法
1. 將其中一個式子整理為 `未知數 = 算式` 的形式
2. 將整理完的式子代入到另一個式子中，得到其中一個未知數的解
3. 將得到的解代入原先的聯立方程式中的其中一個方程式，得到另一個未知數的解

### 加減消去法
1. 若可直接進行加減消去，則直接將兩算式相加或相減 (若無法直接進行，則先將兩個算式進行乘除的處理後加減消去)
2. 將得到的解代入原先的聯立方程式中任何一個，得到另一個未知數的解

## 結論
這篇文章介紹了二元一次聯立方程式的兩種解法， **代入消去法** 與 **加減消去法** 。期望對各位的國中課程有幫助，謝謝您的閱讀！

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