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# System prepended metadata

title: 物理 & 數學

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title: "物理 & 數學"
path: "physics"
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<!--{%hackmd @RintarouTW/DarkTheme %}-->

Physics
===

動量
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$P = mv\quad$
$v = a * \Delta T$
$P = mv$ , $F = ma \implies m = \frac{F}{a}$
$\implies P = \frac{F}{a} * v$
$\implies P = F * \Delta T$

## 衝量
$\vec{J} = \vec{F} * \Delta t$
$\vec{J} = \Delta \vec{p} = m\Delta \vec{v}$

<center>在沒有受外力的情況下動量守恆，比能量守恆好用一點</center>
(有外力就不能用嗎，有外力不是一樣動量守恆) $\implies$ 要加上衝量



<!--基本的公式差不多就這樣
F是啥 力量 為什麼
應該是這樣證的，我不知道什麼時候要加箭頭
-->
<!--P是幹嘛的J又是什麼（就跟能量一樣記起來就好）我現在也還是不了解能量 $p \implies動量$ $j \implies 衝量(暫且不清楚)$
j=p'(?)
要同方向才會等於
有時候動量的變化量和衝量不一定相等
那$衡量$是要做什麼
就是不會變

橫量(固定的量) -->

<!-- $\vec{}$是向量? 對 那為什麼要加$\vec{}$
代表同方向? 應該是吧 反正我看到公式這樣寫
衡量是物體受到外力改變的動量(動量差)?
我不知道　:poop: 我對名詞不熟　-->

## 質心 

**質心可以代表系統**
$兩物體重m_1, m_2, 位置x_1, x_2 \\\implies 質心位置 = \displaystyle \frac{m_1 *　x_1 +　m_2 *　x_2}{m_1 + m_2}$

$兩物體重m_1, m_2　速度v_1, v_2 \\\implies 質心速度 =\displaystyle \frac{m_1 *　v_1 +　m_2 *　v_2}{m_1 + m_2}$

$兩物體重m_1, m_2　加速度a_1, a_2 \\\implies 質心加速度 =\displaystyle  \frac{m_1 *　a_1 +　m_2 *　a_2}{m_1 + m_2}$


 
:::spoiler pf


$\displaystyle v = \frac{\Delta x}{\Delta T} = \frac{m_1 * \displaystyle \frac{\Delta x_1}{\Delta T} + m_2 * \frac{\Delta x_2}{\Delta T}}{m_1 + m_2} \\\implies \displaystyle  \frac{m_1 *　v_1 +　m_2 *　v_2}{m_1 + m_2}$



:::
<!--加速度的證明方法也一樣(這算什麼證明?)
你要說延伸也行
全部應該就這樣了-->


## 單純好玩
:::success
$\displaystyle E = \frac{1}{2} mv^2$ $P = mv$
$\displaystyle E = P * \frac{1}{2} v$
$\displaystyle E = \frac{1}{2} * F * \Delta T * v$
:::

:::info
$\displaystyle E = \frac{p^2}{2m}$

:::
> [color=purple][name=???][time=May, 8, 2023]

## 能量

$為什麼E= \frac{1}{2} mv^2$

$E =F * S \quad F = m * a$
<!--(?能量的定義，我不知道為什麼)(這不是動能嗎，位能也是跟動能差不多)還有其他的嗎(核能? 
我找到怪怪的地方了 能量沒有對吧
那你一個向量乘以一個實數是向量ㄟ
我不知道什麼時候要加
-->
$\implies E = m * a * S$


$v_1^2 = v_0^2 + 2aS$ 動能應該是相對於靜止狀態 所以$v_0 = 0$
<!--那不就是0了嗎(怎麼會是０)-->
<!--0*2aS==0-->

$\displaystyle \implies a*S = \frac{v^2}{2}$

$E = m * a * S$
$\displaystyle \implies E = \frac{1}{2} mv^2$

$E = mc^2$
## 向心加速度（單純我知道的）
$F = ma$

$\displaystyle a = \frac{v^2}{r}$

$\displaystyle E = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = \frac{2E}{m}$

$\displaystyle a = \frac{\displaystyle \frac{2E}{m}}{r} \implies \frac{2E}{mr}$


#### 角速率
$T : 週期$
$\omega : 角速率$
$\displaystyle T = \frac{2\pi r}{v}$

$\displaystyle \omega = \frac{d\theta}{dt} \\\implies\displaystyle  \frac{2\pi}{T} \\\implies \displaystyle \frac{2\pi}{\displaystyle \frac{2\pi r}{v}} \implies \frac{v}{r}$



#### 向心力


$F = ma \\\implies\displaystyle m\frac{v^2}{r} = mw^2r = mvw$ 



總結:
1. $\displaystyle w = \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{r}$

2. $\displaystyle a_{c} = \frac{v^2}{r} = vw = w^2r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$


## 理想氣體方程式 
$PV = nRT$
$P : 壓力$
$V : 體積 (L)$
$n：莫耳數$
$R : 理想氣體常數 \approx 0.082 atm.L/mole.K$ <!--你記得是多少嗎-->
$T : 絕對溫度 \quad 0k \approx -273.15^{\circ}C$

沸騰時溫度$100^{\circ}(373K)$ $一大氣壓$
$請算1mol 水蒸氣的體積?$
::: spoiler answer
$PV = nRT$ $\quad \quad n =1, P =1$
$V(L) = RT \implies V = 0.082 * (373)(L)$　
:::

## 都普勒效應
$v = f * \lambda$
$f_0: 原本波的平率$
$v: 波在介質的移動速度$
$v_1: 波源的移動速度(往觀測者方向為正)$
$v_2: 觀測者的移動速度(往波源反方向為正)$
$f_1: 觀測者觀測到的頻率$
$波源 \implies 頻率不變$
> 介質相對於波源的移動速度為$v - v_1$
> 波長為$\displaystyle \frac{v - v_1}{f_0}$

$觀測者 \implies 波長不變$
>介質相對於觀測者的移動速度為$v - v_2$
>$\displaystyle (v - v_2) = f_1 * \frac{v - v_1}{f_0}$

$\displaystyle f_1 = f_0(\frac{v - v_2}{v - v_1})$


## 角動量
<!--
有速度的物體有會動量
那有角速度的物體應該也會有一個量
讓我們來嘗試推推看吧 -->
![](https://i.imgur.com/fIkBTm4.png)

$L:角動量$
$r:半徑$
$p:動量$
$\theta:半徑和動量的夾角$

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
<!--= |\vec{r}||\vec{p}|sin\theta$-->

:::info
$|\vec{L}| = |\vec{r}||\vec{p}|sin\theta$

> 修改[color=purple][name=???][time=May, 8, 2023]
:::

>$令|\vec{r}| = r, |\vec{p}| = p, |\vec{L}| = L$

$當\theta = 90^{\circ} (圓周運動）\implies$ `L = r p`
> $L = r * p$
> $L = rmv$
> $\displaystyle L = mr^2w \quad w = \frac{v}{r}$　
> $\displaystyle L = \frac{mv^2}{w} = \frac{2E}{w}$
<!-- =\frac{Fr}{w}? 這什麼-->
## 轉動慣量
比較：
> $p = mv$
> $L = mr^2w$
$v可以跟ｗ對應，所以讓m跟mr^2對應$

轉動慣量$I = mr^2$
>$L = Iw$


## 力矩
$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = |\vec{r}||\vec{F}|sin\theta$

$M = r * F$
> $\displaystyle F = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{m\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

> $\displaystyle M = r * \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{r\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$

$\displaystyle M = \frac{\Delta L}{\Delta t}$
$方向一樣自行判斷$

## 簡諧運動

:::info
$$F = -kx$$
$$F \propto x \\ m\cdot a\propto x \\ a\propto x$$
:::

![](https://i.imgur.com/MxxUi90.png)
https://www.geogebra.org/calculator/eyec3xsj


等速圓周運動在直線上的投影

速率:v
半徑:r
夾角:$\theta$

加速度 $\displaystyle \frac{v^2}{r}$

$P'$加速度:
>$\displaystyle \frac{v^2}{r} cos\theta \implies rw^2cos(wt)$

$P'$位置
>$\displaystyle rcos\theta \implies rcos(wt)$

$P'$速度
>$\displaystyle -vsin\theta \implies -vsin(wt)$

$\displaystyle \frac{rw^2cos\theta}{rcos\theta} = w^2$
$加速度 \propto 位置 \implies簡協運動$

### 延伸(擺錘週期)
![](https://i.imgur.com/cMfnfnY.png)


https://www.geogebra.org/calculator/hjk4np74
設最大角度為$\beta$
目前的角度為$\alpha$
加速度 $\implies gsin\alpha$ 當$\alpha$ 很小時 $sin\alpha \approx \alpha$ 詳請見泰勒展開
>$加速度 \implies g\alpha$

位置 $\implies l\alpha$

$加速度\propto 位置 \implies 簡協運動$

簡協運動 
>$r = l\beta$
>$x = r cos\theta = l\alpha$
>$\displaystyle a_x = \frac{v^2}{r} cos\theta = \frac{4\pi^2r}{T^2}cos\theta = g\alpha$

$\displaystyle \frac{l\alpha}{g\alpha} = \frac{l}{g} = \frac{rcos\theta}{\displaystyle \frac {4\pi^2r}{T^2} cos\theta} = \frac{T^2}{4\pi^2}$
$\\\implies \displaystyle \frac{l}{g} = \frac{T^2}{4\pi^2}
\\\implies \displaystyle T = \sqrt{4\pi^2\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$


<!--不是有角加速度 -->
# 數學

## 向量 
<!--$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}*\vec{a}}$-->
<!--沒事　這不會考吧．．．你要去理解
我覺得很有用啊，我原本以為先學向量再學矩陣。
要先學矩陣　你直接學向量沒什麼用 你學過矩陣?　我會相乘  因為程設班的題目
那你會矩陣變換嗎 -->
### 內積(點積)
#### 幾何表示
$|\vec{v}| = \vec{v} 的長度$
$\vec{v}=(a,b)$
$|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta \quad$
物理意義:能量


#### 矩陣表示
$a\begin{bmatrix} x_1, y_1\end{bmatrix} \quad b\begin{bmatrix} x_2, y_2\end{bmatrix}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}^T = \begin{bmatrix} x_1, y_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1*x_2 +y_1 * y _2\end{bmatrix}$



:::spoiler ***pf 兩個相同***  

設$\angle a = \alpha, \angle b = \beta$
>$a[x_1, y_1], b[x_2, y_2]$

>$|a| = \sqrt{x_1^2 +y_1^2} \quad |b| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$ 

>$tan\alpha = \frac{y_1}{x_1} \quad tan \beta = \frac{y_2}{x_2} \implies cos\alpha = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 +y_1^2}} \quad cos\beta = \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$



$cos\theta = cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
$=\frac{x_1 * x_2 + y_1 * y_2}{\sqrt{(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2
)}}$

$|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta =\sqrt{(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2
)} * \frac{x_1 * x_2 + y_1 * y_2}{\sqrt{(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2
)}} = x_1 * x_2 + y_1 * y_2$


:::

---

### 外積(向量積)
<!-- 昨天學的 找不到圖-->


<!--這張圖可以嗎　:+1: -->
#### 幾何表示
有方向性
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|sin\theta\quad 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$
物理意義: 力矩
幾何意義: 面積(大小為面積)

---

#### 行列式
$a[x_1, y_1], b[x_2, y_2]$

$\begin{vmatrix} 
x_1 && x_2 \\
y_1 && y_2
\end{vmatrix} = |x_1 y_2 - x_2y_1|$

---

<!--
#### 順時針逆時針

![](https://i.imgur.com/LnuDLUM.png)


$\displaystyle m_{ab} = \frac{y_1}{x_1}$
$\displaystyle \overleftrightarrow{AB} 方程式, y = \frac{y_1}{x_1} x \\\implies
yx_1 - y_1x = 0 \quad\quad (x_2, y_2)帶入$
$\implies x_1y_2 - x_2y_1 ,如果為正代表點在直線的順時針方向，如果為負的話則為逆時針$
-->


---


## 相消級數
<!-- 
講義上的名稱 (高一上):poop:
-->


$\frac{1}{\displaystyle x * \displaystyle(x+1)} \implies \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x} - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x + 1}$
$\displaystyle \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x * (x+ 1) * (x+ 2)} \implies \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x *(x + 1)} - \frac{1}{(x + 1)* (x + 2)}\right]$



$\displaystyle \frac{1}{1 * 2 * 3} *\frac{1}{2 * 3 * 4} + \frac{1}{3 * 4 * 5} ... +\frac{1}{99 * 100 * 101}$
$\displaystyle \frac{1}{2} \begin{Bmatrix} \displaystyle \frac{1}{1 * 2} - \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{2 * 3} \dots - \frac{1}{100 * 101}\end{Bmatrix} \\\implies  \displaystyle \frac{5049}{20200}$

--- 
另一種解法
$\displaystyle \frac{1}{x*(x+1)*(x+2)}+\frac{1}{(x+1)*(x+2)*(x+3)}\implies
\frac{1}{2}*(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3})$ 
<!--如果奇數個怎麼辦
最後再加就好了
你確定　算起來感覺會很醜
偶數個也不怎麼漂亮阿-->
就用$\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)}*(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3})$推

---

<!--反正我最後的算法跟你差不多都是第一個減第二個減倒數第二個加最後一個(乘以$\frac{1}{2}$) 
你怎麼推出來的．．．用手寫再拍照也可以-->


## 乘法公式
1. $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left[ (a-b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$
2. $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
3. $a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 + b^2 \mp ab)$
4. $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
5. $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$
:::spoiler ***pf 3***
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a + b)\left[ (a + b)^2 - 3ab \right] \\\implies (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$

負號同理
:::

:::spoiler ***pf 4***
$K為多項式$
$a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - K$
$K = 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b\quad$ 想法:強行湊出$(a + b + c)$
$\implies K = 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc \implies -K = -3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc$
$a^3 +b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)\left[ (a + b + c)^2 - 3ab - 3bc - 3ca \right] \\\implies a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
:::

:::spoiler ***pf 5***
$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + b^2)^{2} - a^2b^2 \\\implies (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$
:::



## 三角函數

### 特別的直角三角形

![](https://i.imgur.com/990c0g9.png)

### 和角公式

- $sin(\alpha\pm\beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$
- $cos(\alpha \pm \beta) = cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$
- $\displaystyle tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$
### 延伸

#### 積化合差
和角公式延伸
-  $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\left[ sin(\alpha + \beta) +sin(\alpha - \beta)\right]$
-  $cos\alpha sin\beta = \frac{1}{2} \left[ sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) \right]$
-  $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2} \left[ cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)\right]$
- $sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2} \left[cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)\right]$


#### 二倍角公式
$sin(2\theta) = sin(\theta + \theta) = 2sin\theta cos\theta$
$cos(2\theta) = cos(\theta + \theta) = cos^2\theta - sin^2\theta \\\implies 1 - 2sin^2\theta \\\implies 2cos^2\theta - 1$
#### 半角公式
- $\displaystyle cos(\theta) = cos^2(\frac{\theta}{2}) - sin^2(\frac{\theta}{2}) \\\implies 1 - 2sin^2(\frac{\theta}{2}) \\\implies 2cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$


- $\displaystyle sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - cos\theta}{2} \implies sin(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 - cos\theta}{2}}$
- $\displaystyle
cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + cos\theta}{2} \implies cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + cos\theta}{2}}$


- $\displaystyle tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{sin(\frac{\theta}{2})}{cos(\frac{\theta}{2})} \\\implies \displaystyle \pm\sqrt {\frac{1 - cos\theta}{1 + cos\theta}}\\\implies\displaystyle \pm\frac{\sqrt{1 - cos^2\theta}}{1 + cos\theta} \\\implies\displaystyle \frac{sin\theta}{{1+cos\theta}}$


#### 正切半角公式(萬能公式)
<!-- 圖片.ing-->


- $\displaystyle sin(\theta)=\frac{2tan\frac{\theta}{2}}{1+tan^2\frac{\theta}{2}}$
- $\displaystyle cos\theta=\frac{1-tan^2\theta}{1+tan^2\frac{\theta}{2}}$

$⋯以此類推$


![](http://i.imgur.com/Idgpum6.png)

### 其他
令 $a = sin\theta,\quad b = cos\theta \implies a^2 + b^2 = 1$
$sin^4\theta + cos^4\theta = 1 - 2sin^2\theta cos^2\theta$
$sin^6\theta + cos^6\theta = 1 - 3sin^2\theta cos^2\theta$
:::spoiler ***pf***
$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2) = 1 \implies a^4 + b^4 + 2a^2b^2 = 1$
$\implies a^4 + b^4 = 1 - 2a^2b^2$
:::
:::spoiler ***pf2***
$(a^4 + b^4)(a^2 + b^2) = a^4 + b^4 = 1 - 2a^2 b^2 \implies a^6 + b^6 + a^2b^2(a^2 + b^2)^{=1} = 1 - 2a^2b^2 \\\implies a^6 + b^6 = 1 - 3a^2b^2$
:::

## 矩陣

### 零矩陣
$O = \begin{bmatrix} 0 && 0\\0 && 0\end{bmatrix}$

### 單位矩陣
$I = \begin{bmatrix} 1 && 0 \\ 0 && 1\end{bmatrix}$
### 矩陣相加
:::info
$矩陣大小必須相等$ 
$\implies \quad (2 \times 2) + (2 \times 2)$
:::
$\begin{bmatrix} a && b \\ c && d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} w && x \\ y && z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+w && b+x \\ c+y && d+z\end{bmatrix}$
### 矩陣相乘
:::danger
先決條件:第一個矩陣行數 = 第二個矩陣的列數
<!--(那第一列數=第二行數嗎) 不用-->
:::
$\begin{bmatrix} b_1 && b_2\end{bmatrix} *\begin{bmatrix} a_1 \\ 
a_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1*b_1 + a_2 * b_2\end{bmatrix}$
<!--為什麼
那都橫的勒
怎麼會這樣一定嗎
這就是$定義$
好吧-->
向量 -> 行列式 


|  | | $a_1$ |
| -------- | -------- | -------- |
|  |  | $a_2$ |
| $b_1$ | $b_2$ | $a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2$ |



#### 實例
費氏數列
$\begin{cases}a_n = a_{n - 1} + a_{n -2} \end{cases}$

矩陣$A =\begin{bmatrix} a_{n - 1} && a_{n - 2}\end{bmatrix}$

轉移矩陣$B = \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 1 && 0\end{bmatrix}$

<!--

| | |$1$ | $1$|
|-|-|:-:|:-:|
| | |$1$| $0$|
|$a_{n - 1}$ |$a_{n - 2}$ |$a_{n - 1} + a_{n - 2}$ | $a_{n - 1}$ |
-->

$A * B = \begin{bmatrix} a_{n - 1} + a_{n - 2} && a_{n - 1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_n && a_{n - 1}\end{bmatrix}$
可以做快速冪
啊這有什麼意義
快速冪是什麼

$a^(2^n) 最少需要幾次運算$
這什麼
$123^4 如果用手算的話你會怎麼算$
$((100+20+3)^2)^2$ $((123)^2)^2 就是快速冪$還是不懂轉成二次方?
就是把次方想成二進位  $a^4, 4 = 100_{(2)}, 然後從1次開始,$

$a^n \,\, n\in\mathbb{Z}$
$任何整數都可以表示成2的次方相加, 5 = 2^0 + 2^2$<!--不然要怎麼二進位 我在嘗試解釋:+1:-->

$如果知道a^1, 即可以在k次運算中得到a^{2^k}$

如果$n = 11, n = 1011_{(2)}$
$a^{11} = a^1 * a^2 *  a^8$
$ans = 1$
$開始運算$
>第一次運算 $ans = ans * a$
>第二次運算 $a * a = a^2$
>第三次運算 $ans = ans * a^2$
>第四次運算 $a^2 * a^2 = a^4$
>第五次運算 $a^4 * a^4 = a^8$
>第六次運算 $ans = ans * a^8$
<!--
>為什麼ans要寫兩次-->
 

<!--那不就是$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ :interrobang:-->

## 微分
<!--為什麼每個課本都先教極限--> 
### 極限 
為了處理一些分母可能為0的式子，做出一個接近於０但不為０的值代替

<!--嗯，然後勒 就這樣-->
$$\lim_{x \to a} f(x)  \implies x無限接近於 a時f(x)的值$$

#### 例題

$$\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} =$$


作法
$$\lim_{x \to 3}\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}, x - 3$$
x - 3不為0 (無限接近), 所以約掉 

$$\lim_{x\to 3} = x + 1 = 4$$

<font color =  white>
 
</font>


### 斜率
那現再來嘗試用$lim$來表示斜率吧
設斜率為$f^{'}(0)$
$$\displaystyle f^{'}(x) =\frac{\Delta x}{\Delta y}$$<!--寫錯了-->

$$\displaystyle  f^{'}(x)=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x +　dx) - f(x)}{dx} $$

來嘗試算$x^2$得斜率吧

$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{(x + dx)^2 - x^2}{dx}$$
$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{2x(dx) + dx^2}{dx}$$
$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx\to 0}2x + dx$$
`dx = 0`, 帶入
$$m = 2x$$

### 微分公式1
$x^n 很在f(x)中是最常見的，先來嘗試微分吧$

$先備知識：二項式定理$
$\displaystyle(x + a)^n = x^n + n\cdot ax^{n - 1} + k\cdot x^{n - 2}\dots$
<!--二項式定理?-->
$\implies(x+a)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}\cdot x^n\cdot a^{n-k}$


 

#### n為正整數

$$f(x) = x^n$$

$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx) - f(x)}{dx}$$
$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{(x + dx)^n - (x)^n}{dx}$$
$$\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{n \cdot dx \cdot x^{n - 1} + dx^2(\dots)}
{dx}$$
$$f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}n \cdot x^{n - 1} + dx(\dots)$$
$$f^{'}(x) = n \cdot x^{n - 1}$$


---

#### n為負整數
$$f(x) = x^n$$

$$f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}$$
$$f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0} \frac{\displaystyle \frac{1}{(x + dx)^n} - \frac{1}{x^n}}{dx}$$
$$f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0}\frac{-(n \cdot dx \cdot x^{n - 1}) - dx^2(\cdots)}{dx \cdot x^n \cdot (x + dx)^n}$$

$$f^{'}(x) = \lim_{dx \to 0} \frac{-n \cdot x^{n - 1} - (\dots)}{x^n(x + dx)^n}$$

`dx = 0`帶入

$$f^{'}(x) = -n \cdot \frac{x^{n - 1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{-n-1}$$





---

### 微分公式2　$\implies 加減法$

<!--$微分加減法$-->
$$f(x) = g(x) \pm q(x)$$
$$f^{'}(x) = g^{'}(x) \pm q^{'}(x)$$

想法：斜率代表著變動率，在`dx'相同時，變動率是可以相加的

---

### 泰勒係數
:::info
$$f^{(i)}(x) = f(x) 微分i次$$
:::
一多項式`f(x)`

$$f(x) 必定可以表示為 k_0 + k_1(x - a) + \cdots k_n(x - a)^n$$
$x = a$帶入
$$k_0 = f(a)$$
微分
$$f^{'}(x) = k_1 + 2*k_2(x - a)+... +n(x - a)^{n - 1}$$
$x = a$帶入
$$k_1 = f^{'}(a)$$
以此類推<!--:+1:-->
$$k_i = \frac{1}{i!} \cdot f^{(i)}(a)$$
$$f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot f^{(i)}(a)\cdot(x - a)^i$$

---

<!--
$$\displaystyle \Pi_{k=1}^nk$$你知道這是什麼嗎
連乘符號
之前看過
比較方便吧
你怎麼知道
是說他跟!有什麼差
感覺他能表示的!都能啊
三角函數也是阿

$$\displaystyle \Pi_{k=3}^nk = \frac{n!}{2!}$$ 


---
取到要用的質的話只是估計質
沒關西　反正證明就先把全部寫出來:+1:
可是泰勒不是說取到要用的值就好了約等於?
展開出來就長這樣子阿　實際使用再依情況而定


-->



### 微分公式3　$\implies 乘法$
<!--哪有人這樣證的
那一開始的人怎麼辦
哪個先出現的
泰勒係數不會用到微分乘法律
-->
$$f(x) = p(x) *q(x)$$
$$f^{'}(x) = p^{'}(x)\cdot q(x) + p(x) \cdot q^{'}(x)$$

<font size = 5>***pf:*** </font>


$$p(x) = p(a) + p^{'}(a)(x - a) +　\cdots + \frac{1}{i!} \cdot p^{(i)}(a) \cdot (x - a)^i$$

$$q(x) = q(a) + q^{'}(a) \cdot (x - a) +　\cdots + \frac{1}{i!} \cdot q^{(i)}(a) \cdot (x - a)^i$$

$$f(x) = f(a) + f^{'}(a)(x - a) +　\cdots + \frac{1}{i!} \cdot f^{(i)}(a) \cdot (x - a)^i = p(x) \cdot q(x)$$


$$(1), (2)帶入$$


$$f(x) = p(x) \cdot q(x) = p(a)\cdot q(a) +\left[ p(a) \cdot q^{'}(a) + p^{'}(a)\cdot q(a) \right] (x - a) ......$$
$$和f(x)的泰勒係數比對$$

$$f^{'}(a) = p(a) \cdot q^{'}(a) + p^{'}(a) \cdot q(a)$$

<!--差不多就這樣-->

---


### 連鎖律(learning)
:::info
$[u]^{'} = 對u作微分$
:::

$a為多項式$
$$\left[ a^{\displaystyle r} \right] ^{'} = r \; \cdot a^{r - 1} \cdot a^{'}$$


***pf*** : https://www.youtube.com/watch?v=K0j99cEtAr8

嘗試解釋.ing
$$f(g(x)) $$

```graphviz
digraph main{
    x
    u
    y
    x -> u[label = "g(x)"]
    u -> y[label = "f(u)"]
    
    {rank = same; x, u, y}
    
}
```

:::info 
$$u = g(x),\quad b = g(a)$$
:::
$$目標 :f'(a)\cdot (x - a)$$
$$f(u) = f(b) + f^{'}(b)\cdot  (u - b) \cdots \quad -(1)$$ 

$$g(x) = g(a) + g^{'}(a) \cdot (x - a) \cdots \quad-(2)$$
$$u - b = g(x) - g(a) = g^{'}(a) \cdot (x - a) + g^{"}(a) \cdot (x - a)^2 \cdots\quad帶入(1)$$
$$f(u) = f(b) +  f^{'}(b) \cdot [g^{'}(a) +(x - a)\cdot(...)](x - a)\:+\: (x - a)^2[\cdots] +\cdots$$
$$\begin{aligned}f(u) = f(b) + f^{'}(b)\cdot g^{'}(a)\cdot &(x - a) + \cdots \\  f'(a)\cdot \quad\: &(x - a)\end{aligned}$$
$$f^{'}(a) = f'(b)\cdot g'(a)$$
$$a = x, b = g(a) =g(x)帶入$$
:::success
$$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \quad or$$ 

$$[f(u)]' = f'(u) \cdot [u]'$$
:::



--- 

### 自然常數

:::info
$$[e^x]' = e^x$$
$$\lim_{dt\to 0} \frac{e^{dt} - 1}{dt} = e$$
:::
$$[Inx]' = \frac{1}{x}$$
::: spoiler ***pf***

$$f(x) = In x, 令x = e^k$$
$$f'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{dt \to 0} \frac{In e^k * e^{dt} - In e^k}{e^k \cdot e^{dt} - e^k}$$
$$f'(x) = \frac{dt}{e^k(e^dt - 1)} = \frac{1}{e^k} \times (\frac{e^{dt} - 1}{dt})^{-1} = \frac{1}{e^k} = \frac{1}{x}$$

:::

處理指數微分特別好用
#### 廣義微分公式
:::success 
$$[x^r]' = rx^{r - 1}$$ 
:::

$$f(x) = y = x^n, 同時取對數$$
$$In y = In x^n = n In x$$
$$微分, In y 用連鎖律解決$$
::: spoiler 如果不知道怎麼做點我
::: success
$$令g(k) = In k, g'(k) = \frac{1}{k}$$
$$[g(y)]' = g'(y) * y' = \frac{1}{y} *y'$$
:::
$$\frac{1}{y} * y' = \frac{n}{x}$$
$$y' = y * x^{-1} * n,\ y = x^n代回$$

#### 指數微分

$$f(x) = y = 2^x$$
$$In y = In2^x = xIn2$$
$$\frac{1}{y} \cdot y' = In 2$$
$$y' = yIn2$$
$$f(x) = 2^x In2$$

<font color =  white>
$$
</font>










