# 教育統計學1109
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### 檢討考卷答案
是非題
TFTTT
1. 人為零點非自然零點，需有絕對零點才是比率變數，轉成題數差別在於連續變數與不連續變數

選擇題
DBEDB
1. A也是對的，所有的累積次數多邊圖都是尖(J)形
3. 變異量數變分成兩大類，絕對變異量數跟相對變異量數
C.V是相對變異量數
一般書不寫Q，寫 $Q_3-Q1$
4. Q是$Q_3到Q1$之間的距離，其他是數軸上的一點

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P81 橫軸是Z，所以不是一般的常態分配
不能用S，要用$\sigma$ ，且中間不應該用0,要用$\mu$

範例6-5 不同測驗不應該比較，因為測驗方向並不相同，但單純計算Z值比較練習還是可以的

**P73 關鍵值會常常用**

## 簡單相關與回歸

前面幾章主要講X軸，變數多半只有一個，第七章開始講到相關，會開始討Y軸，所以開始要經常標足標不然不知道是誰的數值

回歸其實就是預測的概念

分享周刊資料 - 統計很重要



Causality 因果關係 - 很少出現直接因果關係

相關高也不一定代表有因果關係，X Y可能同時都是果
EX:印度柏油軟度與死亡人數相關 (因天氣熱)，但這兩這並無因果關係，都是果

這裡主要講積差(動差)相關(The pearson product-monent correlation coefficient)，這裡英文monent 即為動差之義
(16章之後會講各種其他相關模式)
目前只教一種，所以不特別強調是皮爾遜積差相關
皮爾遜積差相關最大值1，最小值-1 **(高普考考過證明)**
1完全正相關，-1為完全負相關
畫上$\bar X 與 \bar Y$
探討數組位於何象限 $\Sigma (X-\bar X)(Y-\bar Y)$


因此點數若多在一三像限，為正值

除以N 則為 $\dfrac{\Sigma (X-\bar X)(Y-\bar Y)}{N}$
即是P87 共變數 (covariance)

轉化後可得共變數方程式2=$\dfrac{\Sigma XY-\dfrac{\Sigma X \Sigma Y}{N}}{N}$

1. 然而單位會有兩個，例如身高體重的共變數，算出來單位為 公分/公斤，難以比較
2. 另外這個值沒有範圍，很難得知相對大小(EX:共變數80，無法知道是大是小)
所以共變數$C_{ov}$是非標準化的關聯量數

除以標準差，則能消除以上問題(標準化)

$\dfrac{\dfrac{\Sigma(X-\bar X)(Y-\bar Y)}{N}}{S_xS_y}$ (皮爾遜第一公式)

$=\dfrac{\Sigma(\dfrac{X-\bar X}{S_x})(\dfrac{Y-\bar Y}{S_y})}{N}$

皮爾遜積差相關公式:

$r=\dfrac{\Sigma Z_xZ_y}{N}$

算標準差不好算，於是可以轉為公式7-5 (課本P89有推導方式)

$r=\dfrac{N\Sigma XY-\Sigma X\Sigma Y}{\sqrt{N\Sigma X^2-(\Sigma X^2)} \sqrt{N\Sigma Y^2-(\Sigma Y^2)}}$

證明r 上下限1~-1:
書上還有另一個公式單純證明上下限

這裡因為在群組提問的同學到了，所以跳去解答問題

P81 百分等級是次序變數
對上去的面積一樣

P85 **圖e是錯的**
皮爾遜公式無法算r=0，因為$S_y$為0，分母為零無法計算
所以分散圖就算是一直線，也不一定r=1或-1

完全正相關之條件:
$Z_x=Z_y$

### 相關係數的解釋
**P90~91一定會考**

1. 有相關不一定有因果(有因果一定有相關)
2. |r| 相關強度不看正負，另外不一定.80以上就一定高，例子:離婚率與經濟狀況r要參考過去研究;比馬龍效應(Pygmalion Effect)相關就算不高，也是要重視。所以要考慮三點。
1. 研究的變數是什麼，有些相關天生就很高。
2. 過去研究結果和現在對照比較才有意義
3. 相關一定要用$r^2$去解釋，不要用r去解釋
3. 樣本也會影響相關，樣本太少相關係數較無意義，抽樣會影響相關結果，
4. 全距若受到限制，相關係數通常會變小(EX:只取高智商者比較學業成績)
5. 直線相關才能用皮爾森公式計算，若為曲線相關，較無法用皮爾森公式計算，將在16、17章介紹
6. 極端值影響與處理(極端值影響很大，所以要把不合理的極端值拿掉)

只要不是曲線，都歸到直線趨勢
X與Y相關係數 跟 Y與X相關係數會相等

## 直線回歸與預測

賣栗子比炒股票好賺，學會相關係數炒股也不會贏
[耕耘機補助100W](https://www.newsmarket.com.tw/blog/117140/)

回歸就是預測

迴歸(Regression)使用某些變項預測另一些變項的統計技術

迴歸一詞，是19世紀英國知名統計學家高爾頓（Francis Galton）
為了描述父親身高與兒子身高兩變數間的關係所引進，
也因此產生迴歸分析此一現今常用的統計方法。
高爾頓發現個子較高的父親，兒子有較高的傾向，
至於較矮的父親，兒子也有較矮的傾向。

這當然不是什麼了不起的發現，僅是遺傳而已。
但他亦觀察到，較高的父親，兒子往往比父親稍矮一點，
而較矮的父親，兒子卻常比父親略高些。
高爾頓稱此現象為「趨中迴歸」（regression toward the mean），也就是靠向平均。
regression一詞即有後退或退化的意思。

[向平均數回歸](https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%95%88%E5%BA%94)((Regression to the mean)
$Z_Y'=r_{xy}Z_x$

事情大多是複迴歸，目前先只講單一迴歸

二元一次方程式 為一直線
$y=3x+2$
截距2
斜率3
若有一條適合的線通過分散圖，就可以預測數線上的點

課本P93有推導公式
$b_{y，x}$ 亦即用x預測y的值


迴歸裡面b叫**迴歸係數**，a叫**迴歸常數**


有S的時候這個公式比較好用

* r與b有正負一致的關係


#### 練習講義
先畫分散圖
1. 檢查是否值線趨勢
2. 檢查極端值

r值要盡量算精確，以免後續誤差擴大太多

X變數能夠解釋Y分數變異數中的部分，就叫做決定係數=$r^2$
-課本p100

下次上課記得要帶講義

[本週上課錄音檔](https://drive.google.com/drive/folders/1Rlle6FjmcoZaRnL8hTxPPogDIa6j5Ymd?usp=sharing)

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小考開始 :100: