# 工程數學 資工2B
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## Ch. 01 自行練習題目

### 課本習題解答 (僅供內部參考用)
[第一章習題參考解答(含作法提示)](https://drive.google.com/file/d/1E57oibC3D6_oRNavqtqSxgi-QFBaavni/view?usp=sharing)

### 1.2、1.3 分離變數法 (包含變數代換)
解下列方程式 (共7題)

1. $y'=e^{3x}+\cos{2x}$
2. $x^2(x^3-1)dx+y\sin{y^2}dy=0$
3. $4ydx+3xdy=0$
4. $y'=xe^{x-y}$
5. $(x^2+3y^2)dx-2xydy=0$
6. $2ydx+(2x+3y)dy=0$
7. $y'=2x+y$

Hint:
1. $x$,$y$ 各置一邊。
2. 直接積分，$y$ 的部分要整理一下。
3. 兩邊同除 $xy$
4. $\frac{dy}{dx}=\frac{xe^x}{e^y}$
5. 齊次，令$u=\frac{y}{x}$
6. 齊次，令$u=\frac{y}{x}$
7. $y'=f(2x+y)$, 令$u=2x+y$ 解決掉

### 1.4、1.5 正合微分方程式 (包含積分因子)
解下列方程式 (共7題)
1. $(2xy+1)dx+(x^2-2)dy=0$
1. $(e^{2x}+3y)dx+(3x-\sin y)dy=0$
1. $(2x^3y^2+2x+1)dx+(x^4y+3y^2-2)dy=0$
1. $y'=\frac{-(y+xy^2+x^3)}{y^3+x^2y+x}$
1. $ydx+2xdy=0$
1. $(3y-2)dx+4xdy=0$
1. $xydx+(x^2+y^2)dy=0$

Hint:
1~4: 正合微分方程
5~7: 積分因子前兩型

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### 1.6 合併法
解下列方程式 (共4題)
1. $(e^x+y)dx+xdy=0$
1. $(y-\sin x)dx+(x+\cos y)dy=0$
1. $(xy^2+4)dx+(x^2y-2y)dy=0$
1. $xdx+(y+4x^2y^3+4y^5)dy=0$

### 1.7 線性常微分方程式
解下列方程式 (共6題)
1. $y'+2y=0$
1. $y'+2y=1$
1. $y'+2y=e^{-2x}$
1. $y'+\frac{1}{x}y=0$
1. $y'+\frac{1}{x}y=e^x$
1. $y'+\frac{1}{x}y=\cos x$

### 1.9 應用
1. 若有一曲線之切線斜率已知為$3x^2$，而且通過點$(0,1)$，試求該曲線之方程式。
1. 一火箭自地面以初速度$300$ ft/sec垂直向上發射，若重力加速度為$-32$ ft/sec^2^，請求出火箭發射t秒後之位移。
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## Ch. 02 自行練習題目

[第二章習題參考解答(含作法提示)](https://drive.google.com/file/d/1s1zbI7yRO0OQCO7GHEqYtKS--kATfv4H/view?usp=sharing)

### 2.1, 2.2 高階線性齊次常微分方程式

1. 試問$e^x,e^{2x}$ 是否為$y''-3y'+2y=0$通解之基底？若是，請寫該方程式通解。
2. 解 $y''+y'-6y=0$
3. 解 $y''+7y'+12y=0$
4. 解 $y''+4y'+4y=0$
5. 解 $y''-6y'+9y=0$
6. 解 $y''+4y=0$
7. 解 $y''+2y'+5y=0$

### 2.3 高階線性非齊次常微分方程式

1. $y''-3y'+2y=e^{3x}$
2. $y''-5y'+6y=e^{2x}$
3. $y''-2y'+y=x-2$
4. $y''-4y'=e^{-x}$
5. $y''-9y= \cos 3x+\sin 3x$
6. $y''+9y= \cos 3x+\sin 3x$
7. $y''-y'-2y=xe^{3x}$

## Ch. 08 自行練習題目
### 觀念介紹
Fourier Transform, Fourier Series, and frequency spectrum
{%youtube r18Gi8lSkfM%}

[第八章習題參考解答(含作法提示)](https://drive.google.com/file/d/1rWugXbhvla95qDmrnqBt1xNpDp1gkEi4/view?usp=sharing)

### 8.1 傅立葉級數
1. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
0, -2<t<0 \\
2, 0<t<2
\end{array}
\right. T=4 $$

2. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
-1, -2<t<0 \\
1, 0<t<2
\end{array}
\right. T=4 $$
3. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$f(t)=t+\pi,-\pi<t<\pi, f(t)=f(t+2\pi)$$
4. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{2}+t, -\pi<t<0 \\
\frac{\pi}{2}-t, 0<t<\pi
\end{array}
\right. T=2\pi $$

### 8.2 奇函數與偶函數之傅立葉級數
1.畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
-2, -1<t<0 \\
2, 0<t<1
\end{array}
\right. T=2 $$

2.畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
0, -2<t<-1 \\
4, -1<t<1 \\
0, 1<t<2
\end{array}
\right. T=4 $$

### 8.4 傅立葉級數之複數型式
1. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之複數型傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
0, -2<t<0 \\
2, 0<t<2
\end{array}
\right. T=4 $$
2. 畫出週期函數$f(t)$圖形，並求 其轉換後之複數型傅立葉級數
$$ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
0, -2<t<0 \\
2-t, 0<t<2
\end{array}
\right. T=4 $$

### 8.7 應　用
1. 求週期函數$f(t)$轉換後之傅立葉級數，並求此級數在 $t=\pi/2$ 及 $t=0$ 之收斂值，並證明$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\cdots=\frac{\pi}{4}$
$$f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
0, -\pi<t<0 \\
\pi, 0<t<\pi
\end{array}
\right. T=2\pi$$

2.