# 線性代數習題練習 (遠距教學用)
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## HackMD 使用教學
* [hackmd使用說明](https://hackmd.io/c/tutorials-tw/%2Fs%2Ffeatures-tw) (蠻完整的)
* [$\LaTeX$使用說明](http://homepage.ntu.edu.tw/~ntut019/cwtex/cxbook3.pdf)(很強很好用數學式表示法)
## Week 13 (2021.05.20)
* **練習題 p.287 20,23,25,33**
1. (q.20) 求矩陣$A$列空間 (a)零空間；(b)核次數；和\(c\)秩。
然後證明rank($A$) + nullity($A$) = $n$，其中 $n$ 為 $A$ 的行數。
$$A = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -3 & -6 & -4\\ 1 & 5 & -3 & 11\\ 2 & 7 & -6 & 16 \\ \end{array} \right]$$

sol:
* $A = \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -3 & -6 & -4\\ 1 & 5 & -3 & 11\\ 2 & 7 & -6 & 16 \\ \end{array} \right] \xrightarrow{\text{G.J.E.}} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -3 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$
* (a) $x=\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 3s-t\\-2t\\s\\t \end{array}\right]$ 所以零空間 $=\begin{Bmatrix}s\left[\begin{array}{c} 3\\0\\1\\0 \end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c} -1\\-2\\0\\1 \end{array}\right]\end{Bmatrix}$
* (b) 秩: rank($A$) = 2
* (c\) 核: nullity($A$) = 2

2. (q.23) 求下列矩陣的列空間的基底和秩。
$$A = \left[ \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \\ -1 & 16 & 14 \\ \end{array} \right]$$

sol:
* (a) 基底(basis):$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$
* (b) 秩: rank($A$) = 3

3. (q.25) 求齊次方程式系統之解空間的(a) 基底及(b) 維度。
$$ \begin{equation} \begin{split} x_1-3x_2+x_3+x_4=0\\ 2x_1+x_2-x_3+2x_4= 0\\ x_1+4x_2-2x_3+x_4=0\\ 5x_1-8x_2+2x_3+5x_4=0 \end{split} \end{equation} $$

sol:
* (a) 基底(basis):$\begin{Bmatrix}\left[\begin{array}{c} 2\\3\\7\\0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1\\0\\0\\1 \end{array}\right]\end{Bmatrix}$
(b) 秩: rank($A$) = 2

4. (q.33) 求從 $B$ 到 $B'$ 的轉移矩陣
$$ B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $$ $$ B'=\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)\} $$

sol:
* $P_{B\rightarrow B'}=\left[\begin{array}{ccc} 0&0&1\\0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right]$

## Week 14 (2021.05.27)
* **重要觀念練習**
1. 若$v_1=(1,2)$、$v_2=(2,1)$、$v_3=(1,1)$、$v_4=(2,3)$ 的組合中，$\phi$、$\{v_1\}$、$\{v_2\}$、$\{v_3\}$、$\{v_4\}$、$\{v_1,v_2\}$、$\{v_1,v_3\}$、$\{v_1,v_4\}$、$\{v_2,v_3\}$、$\{v_2,v_4\}$、$\{v_3,v_4\}$、$\{v_1,v_2,v_3\}$、$\{v_1,v_2,v_4\}$、$\{v_1,v_3,v_4\}$、$\{v_2,v_3,v_4\}$、$\{v_1,v_2,v_3、v_4\}$，請問
(a) 那些是線性獨立?
(b) 那些可當生成集?
(c\)那些可當基底?

sol:
* (a) 線性獨立: $\phi$、$\{v_1\}$、$\{v_2\}$、$\{v_3\}$、$\{v_4\}$、$\{v_1,v_2\}$、$\{v_1,v_3\}$、$\{v_1,v_4\}$、$\{v_2,v_3\}$、$\{v_2,v_4\}$、$\{v_3,v_4\}$
* (b) 可當生成集: $\{v_1,v_2\}$、$\{v_1,v_3\}$、$\{v_1,v_4\}$、$\{v_2,v_3\}$、$\{v_2,v_4\}$、$\{v_3,v_4\}$、$\{v_1,v_2,v_3\}$、$\{v_1,v_2,v_4\}$、$\{v_1,v_3,v_4\}$、$\{v_2,v_3,v_4\}$、$\{v_1,v_2,v_3、v_4\}$
* (c\) 可當基底: $\{v_1,v_2\}$、$\{v_1,v_3\}$、$\{v_1,v_4\}$、$\{v_2,v_3\}$、$\{v_2,v_4\}$
2. 若原始座標基底$B_0=\{(1,0),(0,1)\}$，為回答以下問題:
* (a) 若座標基底 $B_1=\{(2,0),(0,1)\}$，則有一向量$v$，$[v]_{B_1}=\left[\begin{array}{c} 10\\10 \end{array}\right]$，則 $[v]_{B_0}=?$、$P_{B_1\rightarrow B_0}=?$ 你可以說明其物理含義?

* (b) 若某一基底$B_2$，已知$P_{B_0\rightarrow B_2}=\left[\begin{array}{cc} 0.8&0.6\\-0.6 & 0.8\end{array}\right]$，若$[i]_{B_0}=\left[\begin{array}{c} 1\\0 \end{array}\right]$、$[j]_{B_0}=\left[\begin{array}{c} 0\\1 \end{array}\right]$，則$[i]_{B_2}=?$、$[j]_{B_2}=?$，你可以說明其物理含義?

sol:
* $[v]_{B_0}=\left[\begin{array}{c} 20\\10 \end{array}\right]$，$P_{B_1\rightarrow B_0} = \left[\begin{array}{cc} 2&0\\ 0&1 \end{array}\right]$
$B_1\rightarrow B_0$ 表x軸寬度變成2倍 (表圖形變寬)

* $[i]_{B_2}=\left[\begin{array}{c} 0.8\\-0.6 \end{array}\right],[j]_{B_2}=\left[\begin{array}{c} 0.6\\0.8 \end{array}\right],$
$B_0\rightarrow B_2$ 表將圖形順時針旋轉約$37^{\circ}$ (自行畫圖判斷)

* **練習題 p.369 2,9,11,17**
3. (q.2) $u=(2,1,1)$, $v=(3,2,-1)$ 求 (a) $||u||$、(b) $||v||$、(c\) $u \cdot v$、(b) $d(u,v)$
4. (q.9) 向量 $u=\left( \cos \frac{3\pi}{4},\sin \frac{3\pi}{4}\right),v=\left( \cos \frac{2\pi}{3},\sin \frac{2\pi}{3}\right)$ 求 $u$ 及 $v$ 之夾角。
5. (q.11) 向量 $u=(0,-4,3)$ 求所有和 $u$ 正交的向量。
6. (q.17) 向量 $u=(2,5)$、$v=(0,5)$，求$\text{proj}_v u$。

## Week 15 (2021.06.03)
* **練習題**
1. 將 $B=\{(0,0,2),(0,1,1),(1,1,1)\}$ 依Gram-Schmidt單範正交過程轉換成單範正交基底(Orthonormal Basis)(利用歐基里德內積定義,(類似題型參考p.369 21))
* 為增加理解，若$B=\{(2,0,0),(4,6,0),(5,3,6)\}$，則結果為何?

sol:
* $B=\{u_1,u_2,u_3\}=\{(0,0,2),(0,1,1), (1,1,1)\}$
* $v_1=u_1=(0,0,2)\rightarrow (0,0,1)$
(求Orthonormal Basis，可以單位化，簡化計算)
* $v_2=u_2-\frac{u_2\cdot v_1}{v_1 \cdot v_1}v_1=(0,1,1)-\frac{1}{1}(0,0,1) = (0,1,0)$
* $v_3=u_3-\frac{u_3\cdot v_1}{v_1 \cdot v_1}v_1-\frac{u_3\cdot v_2}{v_2 \cdot v_2}v_2=(1,1,1)-(0,0,1)-(0,1,0) = (1,0,0)$
* $B=\{u_1,u_2,u_3\}=\{(2,0,0),(4,6,0),(5,3,6)\}$
* $v_1=u_1=(2,0,0)\rightarrow (1,0,0)$
* $v_2=(4,6,0)-\frac{4}{1}(1,0,0) = (0,6,0)\rightarrow (0,1,0)$
* $v_3=(5,3,6)-\frac{5}{1}(1,0,0)-\frac{3}{1}(0,1,0) = (0,0,6)\rightarrow (0,0,1)$

2. $R^3$ 有一由基底 $B_1=\{(0,-1,1),(0,1,1)\}$ 組成的子空間 $W$，求 $v=(1,0,-2)$ 在 $W$ 上的投影。(參考p.350 29 或 投影片Ch.05 p.68)

sol:
* $B_1$ 是正交基底改為正交單範基底 $B_2$
$B_1=\{w_1,w_2\}=\{(0,-1,1),(0,1,1)\}$
$B_2=\{u_1,u_2\}=\{(0,\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}),(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\}$
$\text{proj}_W v=(u_1 \cdot v)u_1+(u_2 \cdot v)u_2=\frac{-2}{\sqrt{2}}\cdot (0,\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})+\frac{-2}{\sqrt{2}}\cdot (0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) =(0,1,-1)+(0,-1,-1)=(0,0,-2)$

## Week 16 (2021.06.10)
* **練習題**
1. 求下列線性轉換 $T$ 的標準矩陣 $A$ (p.505 4)
(a) $T(x,y,z)=(x+y,y+z,x-z)$
(b) $T(x,y,z)=(0,0,0)$

sol:
* $T(x,y,z)=(x+y,y+z,x-z)$
$\because \left[\begin{array}{ccc} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&-1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x+y\\y+z\\x-z \end{array}\right]$
$\therefore A=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&-1 \end{array}\right]$
* $A=\left[\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{array}\right]$

2. 令 $T:R^2 \rightarrow R^2$ 為 $R^2$ 上逆時針旋轉30°的線性轉換。
(a) 求線性轉換的標準矩陣$A$。
(b) 用 $A$ 來求向量 $v=(1, 2)$ 的像。
(c\) 畫 $v$ 和它的像的圖。

sol:
* (a) $A = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right]$
* (b) $T(v)=Av=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2}-1 \\ \frac{1}{2}+\sqrt{3} \end{array} \right]$
* (c\) 

3. 令 $B=\{(1,0),(0,1)\}$ 及 $B'=\{(1,1),(1,2)\}$ 為 $R^2$ 中的基底。(Ch.06 pp.78-81)
(a) 求相關於基底 $B$ 之 $T:R^2\rightarrow R^2$，$T(x,y)=(x-2y,x+4y)$ 的線性轉換矩陣 $A$。
(b) 求由 $B'$ 到 $B$ 的轉換矩陣 $P$。
(c\) 求相關於基底 $B'$ 之 $T$ 的轉換矩陣 $A'$。
(d) 若$[v]_{B'}=\left[\begin{array}{c} 3\\-2 \end{array}\right]$，試求$[T(v)]_{B'}$ 。
(e) 求$[v]_{B}$與$[T(v)]_{B}$ 來驗證(d)的答案。

sol:
* (a) $A=\left[ \begin{array}{cc} 1&1 \\-2&4 \end{array} \right]$
* (b) $P=P_{B'\rightarrow B}=\left[ \begin{array}{cc} 1&1 \\1&2 \end{array} \right]$ $\left( P^{-1}=P_{B\rightarrow B'}=\left[ \begin{array}{cc} 2&-1 \\-1&1 \end{array} \right]\right)$
* (c\) 若 $B=\{u_1,u_2\}$、$B'=\{u'_1,u'_2\}$
$A'=\left[ [T(u'_1)]_{B'} [T(u'_2)]_{B'}\right]=\left[ \begin{array}{cc} 2&0 \\0&3 \end{array} \right]$
* (d) $[T(v)]_{B'}=A'\cdot [v]_{B'}=\left[ \begin{array}{cc} 2&0 \\0&3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{c} 3\\-2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 6\\-6 \end{array}\right]$

* (e) $[v]_B=P\cdot [v]_{B'}=\left[ \begin{array}{cc} 1&1 \\1&2 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 3\\-2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1\\-1 \end{array}\right]$
$[T(v)]_B=A \cdot [v]_B=\left[ \begin{array}{cc} 1&1 \\-2&4 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 1\\-1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} 0\\-6 \end{array}\right]$
$[T(v)]_{B'}=P^{-1}\cdot [T(v)]_B=\left[ \begin{array}{cc} 2&-1 \\-1&1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 0\\-6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 6\\-6 \end{array}\right]$

4. 求下列矩陣的特徵值與相對應的特徵向量。(p.506 10,11)
(a) $A = \left[ \begin{array}{cc} -15 & -5 \\ 0 & 5 \\ \end{array} \right]$ (b) $B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$

sol:
* (a) 特徵值 $\lambda = -15,5$
特徵向量 : $\left[\begin{array}{c} 1\\0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1\\-4 \end{array}\right]$
* (b) 特徵值 $\lambda = 1$
特徵向量 : $\left[\begin{array}{c} 1\\0 \\ 0 \end{array}\right]$

5. $A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -3 & 5 \\ -4 & 4 & -10 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right]$，求非奇異矩陣 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 為對角矩陣。(p.506 12)

sol:
特徵值 $\lambda = -2,4,6$
特徵向量 : $\left[\begin{array}{c} 3\\2\\0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -5\\10\\2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1\\2\\0 \end{array}\right]$
$\therefore P=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -5 & 1 \\ 2 & 10 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \right]$