---
# System prepended metadata

title: Logika Lista 2
tags: [Logika20]

---

#  Logika Lista 2 

###### tags: `Logika20`

## Przydział zadań 
| Imię     | Nazwisko | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   | 6   | 7   |
| -------- | -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Andrzej  | Abacki   | X   | X   | ✓   |  ✓    |  ✓    |  ✓    |  ✓    |
| Basia    | Babacka  | X   | X   |  ✓    |   ✓   |  ✓    |   ✓   | ✓     |
| Celina   | Cebacka  | X   | X   |   ✓   |   ✓   |   ✓   |   ✓   | ✓     |
| Dorota   | Dabacka  |   ✓   | X   | X   |   ✓   |   ✓   |  ✓    |  ✓    |
| Eryk     | Ebacki   |   ✓   |✓      |   ✓   | X   |   ✓   |  ✓    | X   |
| Fabian   | Fabacki  |   ✓   |  ✓    | X   | ✓     | X   |  ✓    |    ✓  |
| Grzegorz | Gabacki  | X   | X   |  ✓    | ✓     |    ✓  |   ✓   |  ✓    |
| Henryk   | Habacki  |   ✓   |  ✓    |  ✓    |   ✓   |  ✓    | X   | X   |
| Ilona    | Ibacka   |   ✓   |   ✓   |  ✓    | X   | X   |   ✓   |  ✓    |
| Kasia    | Kabacka  |   ✓   |   ✓   | X   | X   |  ✓    |   ✓   |    ✓  |
| Leokadia | Labacka  |    ✓  |   ✓   |  ✓    |  ✓    |  ✓    | X   | X   |


## Zad 37.1

Pokażemy, że  ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q  jest tautologią.
Weźmy dowolne wartościowanie σ i rozważmy przypadki:

1. σ(q) = T.

  Wtedy σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T

2. σ(q) = (F).
  Wtedy jeśli σ( p )=T, to σ(p ⇒ q)=F, więc σ ( ( p ⇒ q) ∧ p) = F oraz  σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T.
  Natomiast jeśli  σ( p )=F, to  σ ( ( p ⇒ q) ∧ p) = F oraz  σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T.

We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy  σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T, a zatem ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q jest tautologią.
:::info
W rozwiązaniach można używać znaków UTF-8, takich jak  σ czy ⇒
Jest wiele sposobów wprowadzania ich z klawiatury. 
- można nauczyć się na pamięć numerów znaków i wprowadzać znaki podając ich kody (nie próbowałem)
- ja używam pakietu uim (universal input method) z domyślną metodą Elatin i układem klawiatury TeX; to niestety nie działa w oknie przeglądarki
- można używać swojego ulubionego edytora, który to wspiera
- można skonfigurować metodę XCompose. W Debianie wygląda to tak:
-- w ustawieniach systemowych -> urzadzenia wejsciowe -> klawiatura ->
zaawansowane włączyłem dodatkowe ustawienia i połozenie klawisza Compose
-- definicje wiązań są w pliku /usr/share/X11/locale/en_US.UTF-8/Compose
oraz w ~/.XCompose
:::
:::danger
Skonfigurowanie uim i ustalenie że wolę to niż Xcompose zajęło mi kiedyś około dwóch pełnych dni pracy, a mam już pewnie doświadczenie w adminstrowaniu swoim komputerem. Mimo to nie jestem zadowolony z tego rozwiązania. Nie musicie tego używać i szkoda Waszego czasu na walkę z konfiguracją.
:::
## Zad 37.2

Pokażemy, że ( p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬ p jest tautologią. W tym celu rozważmy tabelkę zero-jedynkową

| p | q |  p ⇒ q |  ( p ⇒ q) ∧ ¬q | ( p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬ p
| --|---|--------|----------------|--------------------
| T | T |    T   | F              | T | 
| T | F |    F   | F              | T | 
| F | T |    T   | F              | T | 
| F | F |    T   | T              | T | 
 ## Zad 41 a)
 Rozważmy dowolne dwie tautologie $\phi$ i $\psi$. Pokażemy, że są one równoważne. W tym celu weźmy dowolne wartościowanie $\sigma$. Wiemy, że $\hat{\sigma}(\phi)=\mathsf{T}$ (bo $\phi$ jest tautologią) oraz  $\hat{\sigma}(\psi)=\mathsf{T}$ (bo $\psi$ jest tautologią). Zatem  $\hat{\sigma}(\phi)=\hat{\sigma}(\psi)$, a to oznacza, że $\phi$ i $\psi$ są równoważne.  
 :::info
HackMD wspiera LaTeXową metodę wprowadzania wzorów matematycznych. Wzory wpisuje się między symbolami \$. W sieci jest mnóstwo miejsc z podpowiedziami jak tworzyć wzory. Najważniejsze dla nas konstrukcje to
- greckie litery $\alpha, \beta, \phi, \varphi, \psi$ itp
- indeksy górne i dolne $\phi_1, \psi^2$
- nawiasy klamrowe $\phi_12$ vs $\phi_{12}$
- daszek nad sigmą $\hat{\sigma}$
- koniunkcja $\wedge$, alternatywa $\vee$, negacja $\neg$
- również w większych wersjach $\bigvee_{i=1}^{n}\phi_i$
- strzałki $\rightarrow \Leftarrow \Longleftrightarrow$
- czcionki: 
-- bezszeryfowa $\mathsf{czcionka}$, 
-- pochyla $\mathit{czcionka}$, 
-- prosta $\mathrm{czcionka}$ 
-- kaligraficzna $\mathcal{CZCIONKA}$ (tylko wielkie litery)
-- blokowa $\mathbb{CZCIONKA}$ (tylko wielkie litery)
:::

:::info
można zrobić zdjęcie rozwiązania
:::

 ![](https://i.imgur.com/s52cqFE.jpg)

:::info
Warto jednak dociąć kadr (na zdjęciu nie powinno być nic oprócz rozwiązania), zadbać o doświetlenie i ostrość
:::

![](https://i.imgur.com/mu0tIcS.jpg)
:::info
Skany wyglądają jednak dużo lepiej niż zdjęcia
:::
![](https://i.imgur.com/FmPWApK.jpg)



## Zad 38 punkt 17
:::info
Czasem (do omówienia rozwiązania; nie jako rozwiązanie pisemne) wystarczy jego schemat. 

Można oczywiście używać edytorów tekstu
:::
:::danger
Uwaga: błąd: w drugiej linii powinno być $\vee$ zamiast $\Rightarrow$
:::
![](https://i.imgur.com/JtS8U9v.png)

:::info
HackMD nie wpiera jednak pisania po obrazkach, więc nie możemy poprawić błędu
:::