# Logika Lista 2

###### tags: `Logika20`

## Przydział zadań
| Imię | Nazwisko | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| -------- | -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Andrzej | Abacki | X | X | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Basia | Babacka | X | X | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Celina | Cebacka | X | X | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Dorota | Dabacka | ✓ | X | X | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Eryk | Ebacki | ✓ |✓ | ✓ | X | ✓ | ✓ | X |
| Fabian | Fabacki | ✓ | ✓ | X | ✓ | X | ✓ | ✓ |
| Grzegorz | Gabacki | X | X | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Henryk | Habacki | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | X | X |
| Ilona | Ibacka | ✓ | ✓ | ✓ | X | X | ✓ | ✓ |
| Kasia | Kabacka | ✓ | ✓ | X | X | ✓ | ✓ | ✓ |
| Leokadia | Labacka | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | X | X |

## Zad 37.1

Pokażemy, że ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q jest tautologią.
Weźmy dowolne wartościowanie σ i rozważmy przypadki:

1. σ(q) = T.

Wtedy σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T

2. σ(q) = (F).
Wtedy jeśli σ( p )=T, to σ(p ⇒ q)=F, więc σ ( ( p ⇒ q) ∧ p) = F oraz σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T.
Natomiast jeśli σ( p )=F, to σ ( ( p ⇒ q) ∧ p) = F oraz σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T.

We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy σ ( ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q ) = T, a zatem ( p ⇒ q) ∧ p ⇒ q jest tautologią.
:::info
W rozwiązaniach można używać znaków UTF-8, takich jak σ czy ⇒
Jest wiele sposobów wprowadzania ich z klawiatury.
- można nauczyć się na pamięć numerów znaków i wprowadzać znaki podając ich kody (nie próbowałem)
- ja używam pakietu uim (universal input method) z domyślną metodą Elatin i układem klawiatury TeX; to niestety nie działa w oknie przeglądarki
- można używać swojego ulubionego edytora, który to wspiera
- można skonfigurować metodę XCompose. W Debianie wygląda to tak:
-- w ustawieniach systemowych -> urzadzenia wejsciowe -> klawiatura ->
zaawansowane włączyłem dodatkowe ustawienia i połozenie klawisza Compose
-- definicje wiązań są w pliku /usr/share/X11/locale/en_US.UTF-8/Compose
oraz w ~/.XCompose
:::
:::danger
Skonfigurowanie uim i ustalenie że wolę to niż Xcompose zajęło mi kiedyś około dwóch pełnych dni pracy, a mam już pewnie doświadczenie w adminstrowaniu swoim komputerem. Mimo to nie jestem zadowolony z tego rozwiązania. Nie musicie tego używać i szkoda Waszego czasu na walkę z konfiguracją.
:::
## Zad 37.2

Pokażemy, że ( p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬ p jest tautologią. W tym celu rozważmy tabelkę zero-jedynkową

| p | q | p ⇒ q | ( p ⇒ q) ∧ ¬q | ( p ⇒ q) ∧ ¬q ⇒ ¬ p
| --|---|--------|----------------|--------------------
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |
## Zad 41 a)
Rozważmy dowolne dwie tautologie $\phi$ i $\psi$. Pokażemy, że są one równoważne. W tym celu weźmy dowolne wartościowanie $\sigma$. Wiemy, że $\hat{\sigma}(\phi)=\mathsf{T}$ (bo $\phi$ jest tautologią) oraz $\hat{\sigma}(\psi)=\mathsf{T}$ (bo $\psi$ jest tautologią). Zatem $\hat{\sigma}(\phi)=\hat{\sigma}(\psi)$, a to oznacza, że $\phi$ i $\psi$ są równoważne.
:::info
HackMD wspiera LaTeXową metodę wprowadzania wzorów matematycznych. Wzory wpisuje się między symbolami \$. W sieci jest mnóstwo miejsc z podpowiedziami jak tworzyć wzory. Najważniejsze dla nas konstrukcje to
- greckie litery $\alpha, \beta, \phi, \varphi, \psi$ itp
- indeksy górne i dolne $\phi_1, \psi^2$
- nawiasy klamrowe $\phi_12$ vs $\phi_{12}$
- daszek nad sigmą $\hat{\sigma}$
- koniunkcja $\wedge$, alternatywa $\vee$, negacja $\neg$
- również w większych wersjach $\bigvee_{i=1}^{n}\phi_i$
- strzałki $\rightarrow \Leftarrow \Longleftrightarrow$
- czcionki:
-- bezszeryfowa $\mathsf{czcionka}$,
-- pochyla $\mathit{czcionka}$,
-- prosta $\mathrm{czcionka}$
-- kaligraficzna $\mathcal{CZCIONKA}$ (tylko wielkie litery)
-- blokowa $\mathbb{CZCIONKA}$ (tylko wielkie litery)
:::

:::info
można zrobić zdjęcie rozwiązania
:::


:::info
Warto jednak dociąć kadr (na zdjęciu nie powinno być nic oprócz rozwiązania), zadbać o doświetlenie i ostrość
:::

:::info
Skany wyglądają jednak dużo lepiej niż zdjęcia
:::

## Zad 38 punkt 17
:::info
Czasem (do omówienia rozwiązania; nie jako rozwiązanie pisemne) wystarczy jego schemat.

Można oczywiście używać edytorów tekstu
:::
:::danger
Uwaga: błąd: w drugiej linii powinno być $\vee$ zamiast $\Rightarrow$
:::

:::info
HackMD nie wpiera jednak pisania po obrazkach, więc nie możemy poprawić błędu
:::